2021届江西省南昌市高三下学期理数一调考试试卷及答案

这是一份2021届江西省南昌市高三下学期理数一调考试试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期理数一调考试试卷
一、单项选择题
1.假设全集 那么集合 等于〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
2.设 ，那么 的共轭复数 〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
3.“ 〞是“直线 与直线 垂直〞的〔    〕
A. 充要条件               B. 充分不必要条件               C. 必要不充分条件               D. 不充分也不必要条件
4.某地为了解居民的每日总用电量 〔万度〕与气温 〔 〕之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：
气温 〔 〕
19
13
9
-1
每日总用电量 〔万度〕
24
34
38
64
经分析，可用线性回归方程 拟合 与 的关系. 据此气温是 时，该地当日总用电量 〔万度〕为〔    〕
A. 32                                         B. 31                                         C. 29                                         D. 28
5.非零实数a，x，y满足 ，那么以下关系式恒成立的是〔    〕
A.                    B.                    C.                    D. 
6.在直棱柱 中，假设 为等边三角形，且 ，那么 与 所成角的余弦值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
7.定义在R上的函数 为偶函数， ， ， ，那么〔   〕
A.                            B.                            C.                            D. 
8.设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，假设 ， ， ，那么 的面积为〔    〕
A.                                       B.                                       C. 4                                      D. 
9.函数 的一个零点是 ，当 时函数 取最大值，那么当 取最小值时，函数 在 上的最大值为〔    〕
A. -2                                        B.                                         C.                                         D. 0
10. ， ， 是球 的球面上的三点， ， ， ，且球 外表积为 ，那么点 到平面 的距离为〔    〕
A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 
11. 为抛物线 的焦点，准线为 ，过焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，点 在准线上的射影分别为 ，且满足 ，那么 〔    〕
A.                                         B.                                         C. 3                                        D. 
12. 是边长为 的正三角形， 为该三角形内切圆的一条弦，且 .假设点P在 的三边上运动，那么 的最大值为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、填空题
13. ，那么 ________．
14.假设 的展开式中 的系数为-80，那么 ________.
15. 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，过点 且与 轴垂直的直线与双曲线 的一条渐近线交于点 〔点 在第一象限〕，点 在双曲线 的渐近线上，且 ，假设 ，那么双曲线 的离心率为________
16.函数 ，假设方程 有两个不相等的实根，那么实数a取值范围是________．
三、解答题
17.在递增的等比数列 中， ， ， 为等差数列 的前 项和， ， .
〔1〕求 、 的通项公式；
〔2〕求数列 的前 项和 .
18.如图，三棱柱 中， ， ，平面 平面 .

〔1〕求证： ；
〔2〕假设 ，直线 与平面 所成角为 ， 为 的中点，求二面角 的余弦值.
19.改革开放40年，我国经济取得飞速开展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通平安意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通平安意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通平安意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如下列图.规定得分在80分以上为交通平安意识强.


平安意识强
平安意识不强
合计
男性



女性



合计



〔1〕求 的值，并估计该城市驾驶员交通平安意识强的概率；
〔2〕交通平安意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通平安意识与性别有关；
〔3〕在〔2〕的条件下，从交通平安意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数 的分布列及期望.
附： ，其中
P〔K2≥k〕



k



20.在平面直角坐标系中， ，设 的内切圆分别与边 相切于点 ， ，记动点 的轨迹为曲线 .
〔1〕求曲线 的方程;
〔2〕过 的直线与 轴正半轴交于点 ，与曲线E交于点 轴，过 的另一直线与曲线 交于 两点，假设 ，求直线 的方程.
21.函数 .
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕假设 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形〞曲线，由圆弧 和线段AB，CD四局部组成，在极坐标系Ox中，A〔2， 〕，B〔1， 〕，C〔1， 〕，D〔2， 〕，弧 所在圆的圆心分别是〔0，0〕，〔2，0〕，曲线M1是弧 ，曲线M2是弧 ．

〔1〕分别写出M1 ， M2的极坐标方程：
〔2〕点E，F位于曲线M2上，且 ，求△EOF面积的取值范围．
23.正实数 ， ， 满足 .
证明：
〔1〕；
〔2〕.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：因为
所以 ，
所以
故答案为：D
【分析】根据补集、并集的定义计算即可.
2.【解析】【解答】解：由 ，得 ，
所以 。
故答案为：D

【分析】利用复数的乘除法运算法那么结合条件，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
3.【解析】【解答】充分性：假设 ，那么 ，即两直线垂直，充分性满足；
必要性：直线 与直线 垂直，
那么 ，解得 ，必要性满足；
即“ 〞是“直线 与直线 垂直〞的充要条件.
故答案为：A

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“直线 与直线 垂直〞的充要条件。
4.【解析】【解答】由题意知： ，
所以 ，即 ，所以线性回归方程 ，
当 时， 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合数据表中的数据，再利用平均数公式求出中心点的坐标，再利用线性回归直线恒过中心点，从而结合代入法求出a的值，进而求出线性回归直线方程，再利用代入法求出气温是14℃时该地当日总用电量。
5.【解析】【解答】依题意非零实数a，x，y满足 ，那么 ，所以 .
不妨设 ，
那么 ，所以A选项错误；
，所以B选项错误；
由于 ，根据指数函数的性质可知： ，所以C选项错误.
依题意 ，要证明 ，只需证明 ，即证 ，即证 ，构造函数 ， ，由于 ，所以 ，所以 在区间 上恒成立，所以 区间 上递增，所以 ，所以 .D选项正确.
故答案为：D

【分析】利用赋值法比较大小法、利用指数函数的单调性和分析法和构造法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而比较出大小，从而选出关系式恒成立的选项。
6.【解析】【解答】由题意，设 ， ，那么连结 交 于点 ，

取 中点 ，连结 ， ，那么 且 ，
那么 与 所成角即为 或其补角，
又由 ， ，
由余弦定可得 .
故答案为：D.
【分析】由题意，设 ， ，取AC中点N，连结MN，BN，得出 与 所成角即为 或其补角，利用余弦定理，即可求解.
7.【解析】【解答】∵ 为偶函数，
∴ ，即 ，且其在 上单调递减，
又因为 ，
∴ 。
故答案为：C

【分析】因为 为偶函数，所以，即 ，且其在 上单调递减，又因为 ，再利用函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。
8.【解析】【解答】由 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ，又由 ，所以 ，
即 ，解得 或 〔舍去〕，
所以 ，又因为C为三角形内角，故 ，
所以三角形 的面积为 。
故答案为：B.

【分析】由 ，再利用同角三角函数根本关系式和两角和的正弦公式以及三角形的内角和为180度的性质，再结合诱导公式，可得 ，再利用正弦定理得出 ， 又由 ，再利用余弦定理结合一元二次方程求解方法得出c的值，所以 ，又因为角C为三角形内角，再利用同角三角函数根本关系式得出角C的正弦值，再结合三角形面积公式求出三角形 的面积。
9.【解析】【解答】由条件可得： ， ，
所以 ， ，
将两式相减可得： ，所以 的最小值为4，
此时 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上的最大值为0。
故答案为：D

【分析】由条件可得： ， ， 再利用特殊值求角的方法，所以 ， ， 将两式相减可得： ，所以 的最小值为4，此时 ，因为 ，所以 ， 从而求出函数的解析式，因为 ，所以 ， 再利用正弦型函数的图像求出函数 在 上的最大值。
10.【解析】【解答】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，
因为 是球 的球面上的三点，那么截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，

因为球 外表积为 ，所以球半径 ，由于 平面 ，
所以 ，设点 到平面 的距离为 ，
那么 ，那么 ，
即 ，
解得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：B.

【分析】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，因为 是球 的球面上的三点，那么截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，因为球 外表积为 ，再利用球的外表积公式求出球的半径，由于 平面 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离。
11.【解析】【解答】设 ， ,准线 与 轴交于点 ，如图：

在 和 中，由勾股定理得：
，
，
又因为 ，所以 .
由抛物线定义知， ， ，
所以 。
故答案为：C.

【分析】设 ， ,准线 与 轴交于点 ，在 和 中，由勾股定理得出，，又因为 ，所以 ，由抛物线定义知 ， ，从而求出 的值 。
12.【解析】【解答】如下列图，在 中，内切圆的半径 ，

在 中， ，
， ，
取 的中点 ，连结 ，

，
当 ， 分别取最大值时， 取得最大值，
当点 运动到三角形的顶点，且顶点与 的连线垂直于 时， ， 分别取最大值时，。
故答案为：B.

【分析】在 中，利用条件求出内切圆的半径，在 中，，再利用余弦定理求出 的值，进而求出 的值 ，取 的中点 ，连结 ，再利用数量积的运算法那么得出 ， 当 ， 分别取最大值时， 取得最大值，所以当点 运动到三角形的顶点，且顶点与 的连线垂直于 时， ， 分别取最大值时，从而求出 的最大值 。
二、填空题
13.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 。
故答案为 。

【分析】利用条件结合两角差的余弦公式，得出， 再利用完全平方和公式结合同角三角函数根本关系式和二倍角的正弦公式，从而求出的值。
14.【解析】【解答】 的展开式的通项为 ，那么 ，解得 .
故答案为：-4.
【分析】写出 展开式的通项公式，求出其中x和 的系数，由多项式乘法法那么可得出结论．
15.【解析】【解答】由题意得： ， ， ，
因为BF∥OA，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 。
故答案为： 。

【分析】由题意得： ， ， ，因为BF∥OA，再利用两直线平行斜率相等，所以 ，再利用两点求斜率公式，解得 ，所以 ，再利用向量的坐标表示求出 ，再利用数量积的坐标表示结合条件 ， 从而推出 ，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
 
16.【解析】【解答】当 时， ，故 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减， ， ；
当 时， ，故 ，故函数在 上单调递减，在 上单调递增， ，画出函数图像，如下列图：

，即 ，根据图像知： 或 ，
解得 或 .
故答案为： ，或 .
【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像， ，即 ，根据图像得到答案.
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 设递增的等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差为 ，因为 ， ，再利用等比数列的通项公式，从而求出公比，再结合等比数列的性质求出等比数列 的通项公式，因为 ， ， 再利用等差数列的前n项和的定义和等差数列的定义，从而 求出 和 的值 ，再利用等差数列的通项公式求出等差数列 的通项公式。
〔2〕利用等差数列的前n项和公式结合等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前 项和。
18.【解析】【分析】〔1〕利用面面垂直的性质定理结合立体几何图形的结构特征、全等三角形判别方法和条件证出线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证出线线垂直。
〔2〕利用立体几何图形的结构特征和条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为1，从而求出a的值，再利用互斥事件加法求概率公式结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而估计出该城市驾驶员交通平安意识强的概率。
〔2〕利用交通平安意识强的样本中男女比例为4:1结合条件完成2×2列联表， 再利用2×2列联表结合独立性检验的方法，从而判断出有99.5%的把握认为交通平安意识与性别有关。
〔3〕 在〔2〕的条件下，从交通平安意识强的驾驶员中随机抽取2人，从而求出随机变量X可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出抽到的女性人数 的期望。
20.【解析】【分析】〔1〕 由内切圆的性质可知 ， ， ，所以利用三角形两边之和大于第三边的性质，所以 ， 再利用椭圆的定义， 所以曲线 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆(除去与 轴的交点)，设曲线 ，那么 ，从而求出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 因为 轴，所以 ，设 ，再利用条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，所以 ，那么 ， 因为 ，所以 ，再利用三角形面积公式得出 ， 所以 ，所以 ， 设 再利用向量的坐标表示，那么 ， ，再利用向量共线的坐标表示，所以 ， ①直线 斜率不存在时，那么直线 方程为 ， 此时 ，不符合条件舍去；
②直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，所以 ，将 代入得，所以 ，从而求出k的值，进而求出直线 的方程。
 
21.【解析】【分析】〔1〕求出导函数 ，按 ， ， ， 分类讨论 的正负，得单调性；〔2〕由〔1〕知，当 或 时，函数 有两个极值点 ， ，且 ， ，计算 转化为 的函数，再由 的范围讨论新函数的最小值，可得结论．
22.【解析】【分析】〔1〕 由题意可知，M1的极坐标方程为 ，记圆弧AD所在圆的圆心〔2，0〕，因为 ，所以极点O在圆弧AD上，设P〔ρ，θ〕为M2上任意一点，那么ρ＝4cosθ〔 〕，从而分别写出M1 ， M2的极坐标方程。
〔2〕 设点E〔ρ1 ， α〕，点F( )，〔 〕所以ρ1＝4cosα， ，再利用三角形的面积公式结合二倍角的余弦公式和正弦公式以及辅助角公式，得出 ， 由于 ，再利用正弦型函数的图像求值域的方法，从而求出三角形△EOF面积的取值范围。
23.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合柯西不等式和均值不等式求最值的方法，从而证出 成立。
〔2〕 利用条件结合分析法得出欲证 ，即证 ，再利用排序不等式法和根本不等式法，从而证出不等式 成立。