2021届天津市高三下学期数学质量调查试卷（一）及答案

高三下学期数学质量调查试卷〔一〕

一、单项选择题

1.集合 ， ， ，那么 〔    〕           

A.                             B.                             C.                             D. 

2.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件                B. 必要不充分条件 

                C. 充要条件                D. 既不充分也不必要 

3. ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕           

A.                            B. 

                           C.                            D. 

4.直线 与圆 相交于 ， 两点，那么 〔    〕           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

5.天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试(总分值100分)，考试成绩的频率分布直方图如图，数据(成绩)的分组依次为 ， ， ， ，假设成绩低于60分的人数是180，那么考试成绩在区间 内的人数是〔    〕 

A. 180                                      B. 240                                      C. 280                                      D. 320 

6.函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，那么 〔    〕           

A. -6                                          B. 6                                          C. -2                                          D. 2 

7.关于函数 有下述三个结论： 

① 的最小正周期是 ；② 在区间 上单调递减；③将 图象上所有点向右平行移动 个单位长度后，得到函数 的图象.

其中所有正确结论的编号是〔    〕

A. ②                                      B. ③                                      C. ②③                                      D. ①②③ 

8.抛物线 的焦点与双曲线 的焦点 重合， 的渐近线恰为矩形 的边 ， 所在直线( 为坐标原点)，那么双曲线 的方程是〔    〕           

A.                     B. 

                    C.                     D. 

9.函数 ，假设存在实数 ， ， ，当 时，满足 ，那么 的取值范围是〔    〕           

A.                               B.                               C.                               D. 

二、填空题

10.是虚数单位，复数 ________.   

11.在 的展开式中， 的系数是________.(用数字作答).   

12.正方体的所有顶点在一个球面上，假设这个球的外表积为 ，那么这个正方体的体积为________.   

13.设 ， ，且 ，那么a+b的最小值为________.   

14.甲､乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，甲､乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6.假设甲､乙各投篮一次，那么甲命中且乙未命中的概率为________；假设甲､乙各投篮两次，那么甲比乙多命中一次的概率是________.   

15.如图，在平面四边形 中， ， ， ，且 ，那么 ________，假设 是线段 上的一个动点，那么 的取值范围是________. 

三、解答题

16.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .   

〔1〕求角 的大小；   

〔2〕假设角 为钝角，且 ， ，求 和 的值.   

17. 为等差数列， 为公比大于0的等比数列，且 ， ， ， .   

〔1〕求 和 的通项公式；   

〔2〕记 ，数列 的前 项和为 ，求 .   

18.如图，在多面体 中， 平面 ， 是平行四边形，且 ， ， ， . 

〔1〕求证： ；   

〔2〕求二面角 的余弦值；   

〔3〕假设点 在棱 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.   

19.椭圆 的短半轴长为1，离心率为 .   

〔1〕求 的方程；   

〔2〕设 的上､下顶点分别为 ､ ，动点 (横坐标不为0)在直线 上，直线 交 于点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值.   

20.函数 ， ， .   

〔1〕假设曲线 在点 处的切线与 轴垂直，求 的值；   

〔2〕讨论 的单调性；   

〔3〕假设关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根 ， ，证明： .   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】 ， 。

故答案为：A

 
【分析】利用条件结合交集和并集的运算法那么，进而求出集合。

2.【解析】【解答】因为集合 是集合 的真子集，

所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件.

故答案为：A

 
【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ 〞是“ 〞的充分不必要条件。

3.【解析】【解答】 ,

,

,

所以 。

故答案为：C

 
【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合特殊值对应的对数和指数与a,b,c三者的关系式，进而比较出a,b,c三者的大小。

4.【解析】【解答】圆心 到直线 的距离 ， 

半径为 ，

故 。

故答案为：D

 
【分析】利用条件结合点到直线的距离公式，再结合弦长公式，进而求出A,B两点的距离。

5.【解析】【解答】成绩低于60分的频率为 ， 

所以高二年级学生人数为 人，

考试成绩在区间 内的频率为 ，

所以考试成绩在区间 内的人数为 人。

故答案为：B

 
【分析】利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量，进而求出考试成绩在区间 内的人数。

6.【解析】【解答】因为函数 为定义在 上的奇函数，

所以 。

故答案为：A

 
【分析】利用奇函数的定义结合条件当 时， ， 再结合转化的方法和代入法，从而求出函数值。

7.【解析】【解答】由 可得函数的最小正周期为 ，故①不正确；

当 时， ，所以 在区间 上单调递减，故②正确；

将 图象上所有点向右平行移动 个单位长度后，得到 的图象，即 ，故③正确.

故答案为：C

 
【分析】利用条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出正弦型函数的最小正周期；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数在区间 上的单调性；利用正弦型函数的图象变换得出函数 的图象，进而找出正确结论的编号。

8.【解析】【解答】因为四边形 为矩形，所以 ，即双曲线的两条渐近线垂直，

根据双曲线的渐近线关于 轴对称，可得 ，

所以 ，即 ，

又因为抛物线 的焦点 ，所以双曲线中 ，

所以由 可得 ，所以 ，

所以双曲线 的标准方程为 。

故答案为：D

 
【分析】因为四边形 为矩形，所以 ，即双曲线的两条渐近线垂直，根据双曲线的渐近线关于 轴对称，可得 ，进而结合直线的斜率与倾斜角的关系式，进而得出a,b的关系式，再利用抛物线的焦点坐标，进而求出c的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而解方程组求出a,b的值，从而求出双曲线的标准方程。

9.【解析】【解答】 ，

作出函数 的图象，如图：

由图可知 ， ，

所以 ，

令 ，那么 ，

因为 ，所以 ，所以 在 上为单调递减函数，

所以 ，即 ，

所以 的取值范围是 。

故答案为：B

 
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，由分段函数的图象可知 ， ，所以 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数g(x)的单调性，进而求出实数c的取值范围，从而求出 的取值范围 。

二、填空题

10.【解析】【解答】 。

故答案为： 。

 
【分析】利用复数乘除法运算法那么，进而求出复数。

11.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ， ，

令 ，解得 ，

所以在 的展开式中， 的系数是 。

故答案为：40。

 
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的系数 。

12.【解析】【解答】设球的半径为 ，因为球的外表积为 ，所以 ，所以球的半径 ，

因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为 ，

设正方体的棱长为 ，那么 ，所以 ，

所以正方体的体积为 。

故答案为：8。

 
【分析】利用条件结合球的外表积公式，进而求出球的半径，因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为球的直径，进而求出正方体的体对角线，再利用勾股定理求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式，进而求出正方体的体积。

13.【解析】【解答】因为 ，所以 ，

所以 ，当且仅当 ， 时，等号成立，所以a+b的最小值为 。

故答案为：

 
【分析】利用条件 ，所以 ，再结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出a+b的最小值。

14.【解析】【解答】甲､乙各投篮一次，那么甲命中且乙未命中的概率为 ；

甲､乙各投篮两次，那么甲比乙多命中一次分两类：

①甲命中2次，乙命中1次，此时概率为 ；

②甲命中1次，乙命中0次，此时概率为 ，

所以甲､乙各投篮两次，那么甲比乙多命中一次的概率是 。

故答案为：0.28,0.3024。

 
【分析】利用对立事件求概率公式结合独立事件乘法求概率公式，进而求出甲命中且乙未命中的概率 ；再利用条件结合组合数公式和分类加法计数原理，进而结合条件求出甲比乙多命中一次的概率。

15.【解析】【解答】因为 ， ，所以 为正三角形，所以 ， ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 是线段 上的一个动点，所以可设 ，所以

，因为 ，所以 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 ，所以 的取值范围是 。
故答案为：4； 。

 
【分析】因为 ， ，所以 为正三角形，所以 ， ，因为 ，所以 ，因为 ，再利用数量积的定义求出的值；因为 是线段 上的一个动点，所以可设 ，再利用数量积的运算法那么结合三角形法那么和共线定理，进而将数量积 转化为二次函数，再利用结合二次函数的图像，进而求出二次函数的最值，从而求出数量积 的取值范围 。

三、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理和三角形中角A,B的取值范围，进而求出角B的值。
〔2〕利用〔1〕求出的角B的值结合角 为钝角，从而求出 ， 再利用余弦定理求出c的值，进而求出a的值，再利用余弦定理求出角C的余弦值，再结合同角三角函数根本关系式，进而求出角C的正弦值，再利用二倍角的正弦公式，进而求出角2C的正弦值。

17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，再结合公比的取值范围，进而求出等差数列的首项和公差以及等比数列的首项，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而求出数列 和 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 和 的通项公式结合 ，进而求出数列 的通项公式，再结合错位相减的方法，从而求出数列 的前 项和。

18.【解析】【分析】(1) 因为 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故 ，同理 ，而 ，从而建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而证出线线垂直，即证出 。
〔2〕因为 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故 ，同理 ，而 ，从而建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。
〔3〕因为 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故 ，同理 ，而 ，从而建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合同角三角函数根本关系式求出线面角的正弦值，再利用条件点 在棱 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 进而求出点P的坐标，再利用两点距离公式求出线段CP的长。

19.【解析】【分析】〔1〕利用条件椭圆 的短半轴长为1，进而求出b的值，再利用条件椭圆的离心率为 ，进而求出a,c的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,c的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕因为椭圆 的上､下顶点分别为 ､ ， 可知 ， ， 再利用动点 (横坐标不为0)在直线 上，直线 交椭圆 于点 ， 设 ， 再利用两点求斜率公式求出直线BD的斜率，再利用斜截式方程设出直线BD的方程，再令 ，得 ，从而求出 ， 再利用两点求斜率公式求出直线DM的斜率和直线DP的斜率，进而求出 的值 。

20.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1结合条件，从而求出a的值。
〔2〕利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f(x)的单调性。
〔3〕 因为关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根 ， ，所以 ，即 在区间 上有两个不相等的实数根 ， ，不妨设 ，再利用代入法结合作差法，进而求出 ， 再利用分析法的证明方法，进而结合求导的方法判断函数的单调性，进而证出 。