2023届天津市部分区高三质量调查（一）数学试卷及答案

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一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．
二、填空题：本大题共6小题, 每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10． 11．240 12．
13． 14． , 15．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分）
(Ⅰ)由及正弦定理得, ∴，……………2分
由余弦定理得. …………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ………………5分
由正弦定理，得. ………………7分
(Ⅲ) ………………9分
, ………………11分
∵,∴ ………………12分
∴. ………………14分
（17）（本小题满分15分）
证明：
（1）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，…………1分
………………2分
………………3分
所以
所以 ………………4分
（2）， ………………5分
设平面的法向量，则
，即，令，则,
. ………………7分
设直线与平面所成的角为,则
.
所以与平面所成角的正弦值为. ………………9分
（3）.
设平面的法向量,则,即,
令，则.. ………………11分
又平面的法向量.
设平面与平面夹角为，则为锐角，
, ………………14分
所以平面与平面夹角为. ………………15分
（18）（本小题满分15分）
（Ｉ）设的公差为，的公比为，由题意
，即， ………………1分
∵，解得， ………………2分
∴，∴. ………………3分
∵，
∴，∴ ………………5分
∴. ………………6分
（Ⅱ） ………………7分
∴ ①
∴ ②
①-②得
∴. ………………10分
(Ⅲ)
…12分
当为偶数时，
………………13分
当为奇数时，
………………14分
∴ ………………15分
（19）（本小题满分15分）
（Ⅰ）设，
当时， ……………………1分
所以，即 ……………………2分
得到
解得 ……………………………………………3分
所以，椭圆的离心率为…………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
故椭圆方程为 ……………………………………5分
由题意，则直线的方程为， ………………6分
联立消去并化简，得到，
解得. ……………………………………8分
代入到的方程，解得 …………………………9分
. …………………………10分
又.
所以. ……………………………11分
解得. ……………………………………12分
可得. ……………………………………………14分
所以，椭圆的方程为. …… …………………………15分
（20）（本小题满分16分）
（Ⅰ）解： （1）当时，，
，……………………………………………………1分
所以， ， …………………………………2分
所以曲线在点处的切线方程为. ………3分
（Ⅱ），.
①当时，，在上单调增，…………4分
所以无极值； …………………………………………5分
②当时，令，得，列表如下：
…………………………………………………………………………6分
所以的极小值为，无极大值；…………7分
（Ⅲ）易知在上单调递减；在上单调递增，……8分
所以在上的最小值为.
所以. …………………………………………9分
因为. ………………10分
由题意，对于任意的实数，，不等式 恒成立，只需恒成立，所以，
解得，又，所以. ………………11分
①当时，因为，所以，
由（Ⅱ）知，在上单调增，所以.
所以， …………………………………………………12分
所以在上单调增，则，解得
，此时， ………………………13分
②当时，由（Ⅱ）知，在上单调递增，且，又，所以存在，且
，使得，即，得. …………………………………14分
所以的解为和a，列表如下：
所以，即，又，所以恒成立，此时， ………………………………15分
综上所述，实数a的取值范围为 .………………………………16分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
C
D
A
C
B
A
D
D
x
0
极小值
x
a
0
0
极大值
极小值