2021届浙江省金华市东阳市高三下学期数学5月模拟考试试卷及答案

 高三下学期数学5月模拟考试试卷

一、单项选择题

U=R  ， 集合 ， ，那么 〔    〕           

A.                 B.                 C.                 D. 

i为虚数单位，假设复数 ， 那么 〔    〕           

A. 1                                         B.                                          C. 5                                         D. 

x  ， y满足约束条件 ，那么 的最大值是〔    〕           

A. 5                                           B. 4                                           C.                                            D. 

4.“ 〞是“方程 表示双曲线〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件

5.某多面体的三视图如下列图，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.那么该多面体的体积为〔    〕 

A.                                          B. 8                                         C.                                          D. 

P在曲线 上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，那么 的取值范围是〔    〕           

A.                                B.                                C.                                D. 

7.函数 在 上的图象大致为〔    〕           

A.                                  B. 
C.                                 D. 

A  ， B  ， C是椭圆 上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，假设点C的坐标为 ，直线AB的斜率为 ，那么椭圆 的离心率为〔    〕           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

9.实数 ，且 ，那么 的最小值为〔    〕           

A.                                       B. 2                                      C.                                       D. 

10.数列 满足： ，那么以下选项正确的选项是〔    〕           

A. 时，
B. 时，
C. 时，
D. 时，

二、填空题

11.在等比数列 中，假设 ，那么 ________， ________.   

xOy中，直线 与圆 相交于A  ， B两点，那么直线l的倾斜角为________，弦AB的长度为________   

13.在 的展开式中，所有项的系数和等于________，含 的项的系数是________.   

14.有4个同学一起坐上公交车后，分别在后面三个不同车站中的某个车站下车，且每个车站至少有一人下车，用 表示在第二个车站下车的人数，那么 ________， ________.   

ABCD中，AB=1，AD= ，现将△ABD绕BD旋转至 的位置，当三棱锥 的体积最大时，直线 和直线CD所成角的余弦值为________.   

16.在锐角△ABC中， ，D点在线段BC上，且BD=2DC  ，  ，那么△ABC的面积为________.   

17.如图，在△ABC中， ， ， ，直线FM交AE于点G  ， 直线MC交AE于点N  ， 假设△MNG是边长为1的等边三角形，那么 ________. 

三、解答题

18.函数 的图象与y轴的交点坐标为(0，1)   

〔1〕求 的值；   

〔2〕将 图象向左平移 个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，求函数 的最大值.   

19.如图，三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，PB=BC= ， ，Q为棱PC上的一点，且 . 

〔1〕求证：BC⊥AQ；   

〔2〕假设 ，求直线AB和平面PAC所成角的正弦值.   

20.假设数列 的前n项和为 ， .   

〔1〕求数列 的通项公式；   

〔2〕数列 满足 ，其前n项和为 ，假设 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.   

21.如图，抛物线 ，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A､C和B､D两点，且A  ， D在第一象限，直线AB与x轴的交点E在原点O和P点之间. 

〔1〕假设P为抛物线的焦点，且 ，求点A的坐标；   

〔2〕假设P为动点，且 的面积是 面积的3倍，求 的值.   

22.函数 .   

〔1〕假设f(x)的最小值为2，求 的值；   

〔2〕假设m=1，a>e  ， 实数 为函数f(x)大于1的零点，求证： 

①

②

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】因为

.

故答案为：C.

 
【分析】首先由一元二次不等式的解法，求出集合B再由交集的定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】 ， ，

故答案为：B

 
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数模的定义即可得出答案。

3.【解析】【解答】作出可行域如图阴影局部所示，

由线性规划知，当目标函数经过A点时，

即当x=1，y=1时， z=3x+2y取得最小值为5.

故答案为：A.

 
【分析】 根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。

 

4.【解析】【解答】假设 表示双曲线，那么 ，解得： .

， ，

“ 〞是“方程 表示双曲线〞的必要不充分条件.

故答案为：B.

 
【分析】首先由双曲线的简单性质整理得到， 求解出m的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。

5.【解析】【解答】根据三视图复原实物图如图示：

下面是一个底面为三棱柱，上面是一个三棱锥，所以其体积为：

.

故答案为：C.

 
【分析】根据题意由三视图复原图形为：下面是一个底面为三棱柱，上面是一个三棱锥，结合三棱锥以及三棱柱的体积公式计算出结果即可。

6.【解析】【解答】因为 ，

由于 ，

所以 ，

根据导数的几何意义可知： ,

所以 ，

故答案为：D.

 
【分析】首先对函数求导整理得到， 结合对勾函数的性质即可得出， 再由导数的几何意义即可得出， 进而得到的取值范围。

7.【解析】【解答】因为 ，既不满足 ，也不满足

所以是非奇非偶函数，排除A和B  ，

令 ，且 ，因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，

故答案为：D

 
【分析】 根据题意首先求出函数的定义域，再由奇、偶函数的定即可判断出该函数为非奇非偶函数，由此排除A、B，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项C，由此得到答案。

8.【解析】【解答】设 的中点 ，

因为原点O是△ABC的重心，所以 三点共线，

所以 ，

由于 ，所以 ，

故答案为：B.

 
【分析】根据题意即可得出三点共线即， 结合斜率的公式以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系，整理即可求出离心率的值。

9.【解析】【解答】解法一：由 得到 ，那么 ，

所以 ，

令 那么 ，

所以两边平方得 在 上有解，

所以 解得： 或 〔舍去〕，

时，函数 ，

其中 的对称轴为 ， ，满足在 上有零点，满足题意，

所以 的最小值 .

解法二：设 ，那么 ，

如图，作O关于直线 的对称点 ,

设 ，因为 ，解得 ，

如图所以

故答案为：A.

 
【分析】 解法一：首先将y=1-x代入目标函数得到， 然后求解目标函数的最小值即可.
解法二：首先通过换元得到直线， 从而将目标函数1转化成接着利用数形结合进行解题即可.

10.【解析】【解答】对于A中，由于 ，那么 ，

又由函数 ，当 时为单调递减函数，

可得 ，所以 ，所以A不符合题意.

对于B中，由于 ，且 ，

由 在 上单调递增，

可得 ，所以B不符合题意

对于C、D中，由于 ，可得 ，

当 ， 时，可得 ，所以C不正确；

又由当 ，可得 ，从而 ，

利用叠加法，可得 ，

故当 时， ，所以D符合题意.

故答案为：D.

 
【分析】由函数 的单调性即可得出选项A、B错误；由整理得到即从而判断出选项C错误，由此得出答案即可。

二、填空题

11.【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，

因为 ，可得 ，解得 ，

所以 .

故答案为：-4；51.

 
【分析】利用等比数列的通项公式，结合条件即可求出q的值，再由等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。

12.【解析】【解答】解：由题意，直线斜率 ，所以倾斜角 ；

因为圆的方程 ，即 ，所以圆心为 ，

所以圆心到直线的距离 ，

所以弦 ，

故答案为：135°； .

 
【分析】根据题意利用斜率与切斜角之间的关系得出， 再由圆的方程求出圆心坐标以及半径的值，然后由点到直线的距离公式求出圆心距d的值，再结合勾股定理求出弦长的一半，由此即可得出答案。

13.【解析】【解答】

令x=1代入得：

而

故答案为：33；245.

 
【分析】根据题意由二项式的展开式整理原式，再对x赋值计算出结果即可。

14.【解析】【解答】解： 的可能取值为1，2

， ．

 
【分析】根据题意即可得出 的可能取值，再结合概率公式计算出对应的的概率值，再把数值代入到期望公式计算出结果即可。

15.【解析】【解答】如下列图，因为矩形 ，可得 ，

所以直线 和直线CD所成角即为 和直线 所成角，设 ，

当三棱锥 的体积最大时，即 平面ABCD  ，

因为 ，可得 ，

在直角 中，可得 ，所以 ，

又由 ，

在 中由余弦定理得 ，

所以直线 和直线CD所成角的余弦值为 .

故答案为： .

 
【分析】由条件即可得出直线 和直线CD所成角即为 和直线 所成角，设 结合题意即可得出当三棱锥 的体积最大时，即 平面ABCD，利用三角形中的几何计算关系，整理得出边的大小，再由余弦定理带入数值求出的值即可。

16.【解析】【解答】解：设 ,

由题意可知 ，代入解得 ，且 ，

，

，

故答案为： .

 
【分析】结合题意由三角形的面积公式整理得到， 结合同角三角函数的根本关系时计算出， 利用两角和的正弦公式代入数值计算出， 再由三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。

17.【解析】【解答】解：设 ，

而 ，

所以 ，

，

因为 ，所以 ，

得 ，

所以 .

同理 ，所以 .

，

，

,

所以 .

 
【分析】利用向量的线性运算以及向量的加减运算法那么整理得到， 再由题意得到由此求出， 从而得证出同理 ，所以 ，结合数量积的运算性质计算出结果即可。

三、解答题

18.【解析】【分析】(1)根据题意由特殊值代入法计算出， 由此得到。
(2) 由〔1〕可知，函的解析式，再结合函数平移的性质整理得到 ， 从而得到

整理化简得到,利用正弦函数的性质即可求出最大值。

19.【解析】【分析】(1)首先由题意即可得出边之间的关系，再由余弦定理计算出， 从而作出辅助线结合三角形以及中点的性质即可得出 在 中， ， ，由勾股定理计算出， 再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由条件即可得出从而建立 以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OQ为z轴建系，求出各个点的坐标以及向量和平面PAC法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PAC的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，再同角三角函数的根本关系时，由此得到直线AB和平面PAC所成角的正弦值。

20.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。
 (2) 由〔1〕 ，即恒成立，对n分情况讨论： 当n为偶数时， 恒成立，所以 ，设 ，由于 ，所以 ，当 时， ，所以 ，

当n为奇数时， ，假设n=1，那么有 ，假设 ，那么有 ，

令 ，由于 ，所以 由此得证出结论。

21.【解析】【分析】(1)由抛物线的定义即可求出， 整理计算出， 从而得到抛物线的方程，对x赋值计算出点的坐标即可。
(2)根据题意由设而不求发设出点的坐标，再由条件整理得到

即， 由假设法：由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，即
， ， 整理得到， 由此求出进而得出答案。

22.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，结合m的取值范围即可得出导函数的性质，由此即可得出函数的单调性，利用函数的单调性即可得出， 从而计算出。
(2) ① 时， ，由〔1〕可知f(x)在(0，1)上单调递减，在 单调递增，由函数的单调性即可求出即 存在 ，使得 ， 利用分析法以及由导函数的性质即可得出原函数的单调性，整理即可得证出结论。

②证1： ，， ，只需证 ，即证 ，即证 ，根据题意对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出时 成立， 由此得证出结论。