浙江省金华市义乌市2021届高三下学期5月高考适应性考试：数学试题+答案

义乌市2021届高三适应性考试

数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件互斥，那么

如果事件相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率为，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率

台体的体积公式，其中表示台体的上、下底面积，表示棱台的高．

柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．

球的表面积公式

球的体积公式，其中表示球的半径．

第Ⅰ卷  选择题部分（共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知全集，集合，那么（    ）

A．      B．      C．      D．

2．已知实数满足，则的最大值为（    ）

A．12     B．14     C．16     D．18

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件     B．充分不必要条件

C．充分必要条件       D．既不充分也不必要条件

4．函数的图像可能是（    ）

A．        B．

C．       D．

5．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（    ）

A．      B．      C．      D．

6．的三内角所对的边分别是，下列条件中能构成且形状唯一确定的是（    ）

A．

B．

C．

D．

7．已知双曲线为左右焦点，为坐标平面上一点，若为等腰直角三角形且的中点在该曲线上，则双曲线离心率的可能值中最小的是（    ）

A．     B．     C．     D．

8．已知圆与圆（是正实数）相交于两点，为坐标原点．当的面积最大时，则的最小值是（    ）

A．     B．8     C．7     D．

9．已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（    ）

A．     B．

C．               D．

10．如图，在等边三角形中，分别是线段上异于端点的动点，且，现将三角形沿直线折起，使平面平面，当从滑动到的过程中，则下列选项中错误的是（    ）

A．的大小不会发生变化       B．二面角的平面角的大小不会发生变化

C．与平面所成的角变大     D．与所成的角先变小后变大

第Ⅱ卷  非选择题部分（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．）

11．已知是虚数单位．若为实数，则_____，的最小值为______．

12．设，若，则________，_______．

13设随机变量的分布列如下：

则_______，若数学期望，则方差_______．

14．某几何体的三视图如图所示，每个小正方形边长都是1，则该几何体的体积为____，表面积为____．

15．已知数列，则数列的前项和_________．

16．将2个2021,3个2019,4个2020填入如右图的九宫格中，使得每行数字之和、每列数字之和都为奇数，不同的填法有_________种．（用数字回答）

17．若平面向量满足，则的取值范围是_______．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

18．（本题满分14分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数，且，求函数在区间上的取值范围．

19．（本题满分15分）如图1，平行四边形中，，在的延长线上取一点，使得；现将沿翻折到图2中的位置，使得．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）已知数列的前项和为．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；

（Ⅲ）若数列满足，求证：．

21．（本题满分15分）已知抛物线，椭圆，点为椭圆上的一个动点，抛物线的准线与椭圆相交所得的弦长为．直线与抛物线交于两点，线段分别与抛物线交于两点，恰好满足．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以为直径的圆面积的最大值．

22．（本题满分15分）已知函数有两个极值点．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ〕若，求的最大值．

义乌市2021届高三适应性考试

数学试卷参考答案与评分细则

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．）

11．2,4     12．4,15     13．0.5,1     14．1,

15．     16．90     17．

二、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

18．解：（Ⅰ）由题意可得

          5分

，解得，

所以函数的单调递增区间为          7分

（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）可知，                    9分

因为，

又，且，所以，               10分

则，

所以，               12分

所以，

则，即在区间上的取值围为                14分

19．解：（Ⅰ）作垂足为，根据题意得，则，又，

，在中，由余弦定理得                    2分

又

由勾股定理得，               4分

又学科网，

则平面                    6分

又平面  则               7分

（Ⅱ）（法一几何法）

  平面

到平面的距离等于到平面的距离               10分

作的延长线于，连，则为直线与面所成的角，               12分

                    15分

（法二坐标法）

作于，以为轴，为轴，学科网竖直向上为轴，由已知条件得，               9分

面．

又，

，               12分

                    13分

由的坐标易求面的法向量，               14分

，设直线与面所成角为，

则                    15分

（法三体积法）

作于，以为轴，为轴，竖直向上为轴，由已知条件得，               9分

面．

又，

                    11分

                    12分

设点到面的距离为，直线与面所成角为，由得

解得，则                    15分

20．解：（Ⅰ）由可得，           2分

两式相减得               3分

由题意可得，由

可得，所以，故               5分

所以是首项和公差都为1的等差数列，               6分

（Ⅱ），               7分

               8分

                    10分

（Ⅲ）因为

所以               12分

所以由累加可得

                    13分

故有               14分

．                    15分

21．解：（Ⅰ）抛物线的准线方程               2分

因为抛物线的准线与椭圆相交的弦长

所以抛物线的准线与椭圆交点                    4分

得得

∴椭圆的标准方程为                    6分

（Ⅱ）两点是的中点               7分

令

可得

               8分

同理               9分

是的两个根，

，

解得               10分

               11分

                    13分

令，

则，

在上恒成立

时，取到最大值64                    14分

，此时以为直径的圆面积的最大值为               15分

22．解：（Ⅰ）函数的定义域为                    1分

有两个解                    3分

两个不同的正根

，且，得的取值范围是               5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设时，函数在和上递增，在上递减，   6分

                    7分

                    8分

                    9分

故只要证

设，则，函数在上递增，在上递减，，则得证                    10分

（Ⅲ）根据韦达定理，

               12分

∴令，设，其中               13分

               14分

所以，函数在区间上单调递减，当时，，

则的最大值是                    15分