2021届天津市滨海新区高三下学期数学三模试卷及答案

 高三下学期数学三模试卷

一、单项选择题

1.设集合 ， ，那么以下结论正确的选项是〔    〕           

A. Ü                   B. ⫋                   C.                   D. 

2.设 、 ，那么“ 且 〞是“ 〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件                B. 必要不充分条件                C. 充要条件                D. 既不充分也不必要

3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如下列图．据图估计，每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为〔    〕 

A. 18                                         B. 36                                         C. 54                                         D. 72

4.函数 的图像的大致形状是〔    〕           

A.                  B.                  C.                  D. 

5.三棱锥 的四个顶点 都在球 的外表上，  平面 ，且 ，那么球 的外表积为           

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

6.抛物线 的焦点 与双曲线 〔 ， 〕的一个焦点重合，且点 到双曲线的渐近线的距离为4，那么双曲线的方程为〔    〕           

A.                    B.                    C.                    D. 

7.函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，那么〔    〕.           

A. 
B. 
C. 
D. 

8.函数 ，给出以下命题： 

① ，都有 成立；②存在常数 恒有 成立；③ 的最大值为 ；④ 在 上是增函数.

以上命题中正确的为〔    〕

A. ①②③④                                B. ②③                                C. ①②③                                D. ①②④

9.函数f〔x〕满足f〔x〕＝f〔3x〕，当x∈[1，3〕，f〔x〕＝lnx，假设在区间[1，9〕内，函数g〔x〕＝f〔x〕﹣ax有三个不同零点，那么实数a的取值范围是〔    〕           

A.                           B.                           C.                           D. 

二、填空题

10.复数z=〔1+i〕〔1+2i〕，其中i是虚数单位，那么z的模是________．

11.〔x+1〕〔x﹣1〕5展开式中含x2项的系数为________．〔用数字表示〕   

12.直线 ： ，点 是圆 ： 上的动点，那么点 到直线 的最大距离为________.   

13. 都为正实数，且 ，那么 的最小值为________．   

14.在矩形 中， ， ，边 〔包含点 、 〕的动点 与 延长线上〔包含点 〕的动点 满足 ，那么 的取值范围是________.   

三、双空题

15.箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．那么3个小球颜色互不相同的概率是________；假设变量ξ为取出3个球中红球的个数，那么ξ的数学期望E〔ξ〕为________．   

四、解答题

16.在 中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c， ．   

〔1〕求角C的大小；   

〔2〕假设 ， ．求： 

〔ⅰ〕边长c；

〔ⅱ〕 的值．

17.在如下列图的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面 平面ABCD， ， ， ，E为AB的中点． 

〔1〕求证： 平面MEC．   

〔2〕求ME与平面MBC所成角的正弦值：   

〔3〕在线段AM上是否存在点P，使二面角 的大小为 ？假设存在，求出AP的长；假设不存在，请说明理由．   

18.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率 ，左顶点为 ，过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 . 

〔1〕求椭圆 的方程；   

〔2〕 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的 都有 ，假设存在，求出点 的坐标；假设不存在说明理由；   

〔3〕假设过 点作直线 的平行线交椭圆 于点 ，求 的最小值.   

19.等比数列{an}的前n项和为Sn  ， 公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1  ， nbn+1-〔n+1〕bn=n2+n，〔n∈N*〕.   

〔1〕求数列{an}的通项公式；   

〔2〕证明数列{ }为等差数列；   

〔3〕设数列{cn}的通项公式为：Cn= ，其前n项和为Tn  ， 求T2n.   

20.函数 ，(a，b∈R)   

〔1〕当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；   

〔2〕当b=0时，假设对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；   

〔3〕当a=0，b>0时，假设方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1  ， x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】集合 ， ，那么 ，

所以， ⫋， ⫋， ， .

故答案为：A.

 
【分析】利用交集、并集的定义，逐项进行分析，即可得出答案。

2.【解析】【解答】充分性：假设 且 ，那么 且 ，从而可得 ，充分性成立；

必要性：取 ， ，那么 成立，但“ 且 〞不成立，必要性不成立.

因此，“ 且 〞是“ 〞的充分不必要条件.

故答案为：A.

 
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的关系进行判断，即可得出答案。

3.【解析】【解答】由频率分布直方图得：

每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣〔0.03+0.06+0.18+0.14〕×2＝0.18，

∴每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数为：200×0.18＝36．

故答案为：B．

 
【分析】 由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[10,12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[10，12]小时内的人数. 

4.【解析】【解答】 且 ，根据指数函数的图象和性质，

时，函数为减函数， 时，函数为增函数，

应选D．

 
【分析】由可得分段函数解析式，利用指数函数的图象和性质，判断时，函数为减函数， 时，函数为增函数，即可得到函数的大致图象.
 

5.【解析】【解答】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ，求的外接球的外表积 ，
故答案为：C
【分析】 由题意可知CA,CB,CD两两垂直，三棱锥S-ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，求出球的半径，即可求出球O的外表积.

6.【解析】【解答】由题意，抛物线 可化为 ，可得焦点坐标为 ，

即双曲线 的焦点坐标为 ，即 ，

又由双曲线 的一条渐近线的方程为 ，即 ，

所以焦点 到 的距离为 ，

所以 ，又由 ，

所以双曲线的方程为 ，

故答案为：D.

 
【分析】将抛物线的方程转化为标准方程，进而结合抛物线标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点坐标，再利用双曲线标准方程确定焦点的位置，并且求出焦点的坐标，再利用抛物线 的焦点 与双曲线 〔 ， 〕的一个焦点重合，从而求出c的值，再利用双曲线标准方程确定焦点的位置，从而求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式结合条件点 到双曲线的渐近线的距离为4，从而求出b,c的关系式，进而求出b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a的值，进而求出双曲线的标准方程。

7.【解析】【解答】∵ 定义在 上的偶函数，

∴ ， ，

又∵ ， ，

∴ ，∴ ，

故答案为：C.

 
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性可得， ，又由，结合函数的单调性分析可得答案.

8.【解析】【解答】① ，为奇函数，正确；② ，为周期函数，正确；③ ，令 ，那么 ，令 ，得 ，且 为最大值，错误；④当 时， ，所以 在 上为增函数，正确.

故答案为：D.

【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.

9.【解析】【解答】函数f〔x〕满足f〔x〕＝f〔3x〕，当x∈[1，3〕，f〔x〕＝lnx

故 ，

画出函数图像，如下列图：

当直线与 相切时：

，设切点为 那么

此时

当直线经过点 时：

综上所述：

故答案为：

【分析】根据题意得到 画出函数图像，计算直线 与函数相切和过点 时的斜率，根据图像得到答案.

二、填空题

10.【解析】【解答】解：复数z=〔1+i〕〔1+2i〕=1﹣2+3i=﹣1+3i，

∴|z|= = ．

故答案为： ．

【分析】利用复数的运算法那么、模的计算公式即可得出．

11.【解析】【解答】 ，

∴展开式中含 项的系数为 ，

故答案为：-5.

 
【分析】按照二项式定理将〔x+1〕〔x﹣1〕5 展开，即可求得展开式中含 项的系数。

12.【解析】【解答】由题意，圆 ： 的圆心坐标为 ，半径 ，

那么圆心到直线 ： 的距离为

所以点 到直线 的最大距离为 .

故答案为： .

 
【分析】 根据题意，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案.

13.【解析】【解答】 那么 且 ，那么 = ，当且仅当 等号成立

故答案为9

 
【分析】采用常数代换的方法，结合根本不等式，即可求出最小值.

14.【解析】【解答】解：如下列图，

设 ， .

，

， .

， ，

那么

，

∴当 时，那么 取得最小值 .

又 ， ，

的最大值为 .

∴那么 的取值范围是 .

故答案为： .

 
【分析】 如下列图，设P (x, 1)，Q (2, y)(0≤x≤2，-2≤y≤0)，由于   ， 可得， 可得， 再利用二次函数的单调性即可得出.

三、双空题

15.【解析】【解答】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，

现从该箱中有放回地依次取出3个小球，

根本领件总数n＝103＝1000，

3个小球颜色互不相同包含的根本领件个数：m＝103﹣〔23+33+53 〕＝180，

那么3个小球颜色互不相同的概率是P ；

假设变量ξ为取出3个球中红球的个数，那么ξ～〔n， 〕，

∴ξ的数学期望E〔ξ〕＝3 ．

故答案为： ， ．

 
【分析】 根本领件总数n= 103 = 1000，3个小球颜色互不相同包含的根本领件个数m＝103﹣〔23+33+53〕＝180，由此能求出3个小球颜色互不相同的概率;假设变量ξ为取出3个球中红球的个数，那么ξ～〔n， 〕，由此能求出ξ的数学期望 E〔ξ〕 。

四、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理化简条件，求得 的值，由此求得角C的大小.〔2〕〔ⅰ〕两边和夹角，用余弦定理求得边c；〔ⅱ〕由两角差的正弦公式求得 的值.

17.【解析】【分析】 〔1〕 CM与BN交于F，连接EF,推导出F是BN的中点，从而AN// EF，由此能证明AN //平面MEC；
〔2〕推导出DE⊥AB，DN⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系D-xyz,利用向量法能求出ME与平面MBC所成角的正弦值；
〔3〕求出平面PEC的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法求出在线段AM上不存在点P，使二面角P-EC-D的大小为   。

18.【解析】【分析】 (1)由椭圆的离心率和左顶点，求出a, b,由此能求出椭圆C的标准方程；
(2)直线l的方程为y=k (x+4) ，与椭圆联立，得 ，  由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；
(3) OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为 ， 由  ，能求出结果。

19.【解析】【分析】 (1)直接利用条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(2)利用关系式的恒等变换和数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列；
(3) 利用(1)和(2) 的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果.

20.【解析】【分析】〔1〕求出 的导函数，求出函数在 时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；〔2〕对 ， ， 都成立，那么对 ， ， ，恒成立，构造函数 ，求出 的最大值可得 的范围；〔3〕由 ，得 ，构造函数 ，将问题转化为证明 ，然后构造函数证明 即可．