天津市滨海新区八所重点学校2023届高三下学期开学联考数学试卷(含答案)

这是一份天津市滨海新区八所重点学校2023届高三下学期开学联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知函数,则其图象大致是( )
A.B.
C.D.
4．随着若卡塔尔世界杯的举办,全民对足球的热爱程度有所提高,组委会在某场比赛结束后,随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分,把喜爱程度较高的按年龄分成5组,其中第一组:,第二组:,第三组:,第四组:,第五组:,得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有32人,第三组中女性球迷有4人,则第三组中男性球迷人数为( )
A.16B.18C.20D.24
5．已知,,,则( )
A.B.C.D.
6．已知,,且,则( )
A.B.C.D.2
7．已知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离等于,抛物线的准线过双曲线的左焦点,则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知A,B,C是半径为的球O的球面上的三个点,且,,,则三棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
9．已知函数,关于x的方程在上有四个不同的解,,,,且,若恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．已知,则________.
11．二项式的展开式中含的系数为________.
12．已知直线与圆有两个不同的交点,则k的取值范围是________.
13．已知,,则的最小值为________.
14．有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球,从中取出2个,则取出的编号互不相同的概率为________;在取出球的编号互不相同的条件下,2号红球被取到的概率为________.
15．已知在中,,,且的最小值为3,则________,若P为AB边上任在一点,则的最小值为.
三、解答题
16．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）求的值;
（2）设,,则
①求a的值;
②求的值.
17．如图,四棱锥,平面ACBD,且,,,是边长为2的正三角形.
（1）求证:平面PBD;
（2）求平面ABP与平面ABC夹角的余弦值;
（3）线段PC上是否存在点E,使得DE与平面ABP所成角的正弦值为,若存在,请指出点E的位置;若不存在,请说明理由.
18．已知椭圆的离心率为,左,右顶点分别为A,B,点P是椭圆上的动点,且点P与点A,B不重合,过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点M,且.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设直线PA,PB的斜率分别为,,且与直线分别交于点S,T,
①求:的值;
②求证:以线段ST为直径的圆过左焦点,并求当圆的面积最小时的值.
19．设是首项为1的等比数列,且满足,,成等差数列:数列各项均为正数,为其前n项和,且满足,则
（1）求数列和的通项公式;
（2）记为数列的前n项的和,证明:;
（3）任意,,求数列的前2n项的和.
20．已知函数,.
（1）讨论函数的单调区间;
（2）若曲线在处的切线垂直于直线,对任意恒成立,求实数b的最大值;
（3）若为函数的极值点,求证:.
参考答案
1．答案：C
解析：由,,故,
故选:C
2．答案：A
解析：可化为,即,
因为,所以不等式的解集为
因为是的真子集,所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
3．答案：B
解析：,是奇函数,排除A,C,
当时,,排除D.
故选:B.
4．答案：C
解析：由题意结合频率分布直方图可得,第一组与第二组的频率之和为,第三组频率为.
因为第一组与第二组共有32人,所以样本容量,
所以,第三组人数为,所以第三组中男性球迷人数为.
故选:C.
5．答案：B
解析：由于故,由于,故,由,故,因此,由于在单调递增,故,故,
故选:B
6．答案：A
解析：,,
,
,,
,
故选:A
7．答案：D
解析：由题意知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离为,
不妨取渐近线,即,
所以,,,
又抛物线的准线过双曲线的左焦点,
即,,则抛物线方程为,
过点M作MA垂直于直线,垂足为点A,作MC垂直于抛物线准线于点C,连接MF,
根据抛物线的定义得,
设M到的距离为,M到直线的距离为,
则,
根据平面几何知识,可得当M,A,F三点共线时,有最小值,
因为抛物线焦点到直线的距离为,
所以的最小值是,
所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为,
故选:D.
8．答案：A
解析：由题意,,设AB中点为D,由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得,
则(三线合一),根据勾股定理,,连接CD,由,
则,又,AB,平面ABC,故平面ABC,
即为三棱锥的高,故.
故选:A
9．答案：B
解析：整理可得:,故或,由于,故无解,由基本不等式,时,,故无解,依题意,于是在上有四个解,由余弦函数,对勾函数的图像,可作出的图像如下:
结合图像可知,当时,在上有四个解,,,如图所示,由于是的一条对称轴,根据对称性,,由,即,整理可得,由于,故,即.
于是可以整理为,又,解得,结合图像可知,即,故,当时取得等号,为使得恒成立,只需,即,解得.
故选:B
10．答案：2
解析：由题意得,故,
所以,
故答案为:2
11．答案：
解析：展开式中的第项为,
展开式中含,必须有,从而有,展开式中含的项为,
所以展开式中含的系数为.
故答案为:
12．答案：
解析：圆心为半径为,故圆心到直线的距离满足,解得,
故答案为:
13．答案：
解析：因为,,所以,
当且仅当,即时,等号成立.
又,当且仅当,即时,等号成立.
所以,当且仅当,即时,等号成立.
故答案为:.
14．答案：,/
解析：由已知可得,从中取出2个,总的基本事件的个数为.
记“取出的编号互不相同”为事件A,
则表示“取出的编号相同”,包括4个基本事件,
所以,事件包含的基本事件的个数为,
所以,取出的编号互不相同的概率为.
记“2号红球被取到”为事件B,则AB表示“取出球的编号互不相同,且2号红球被取到”,事件AB包括的基本事件有6个,
所以,在取出球的编号互不相同的条件下,2号红球被取到的概率为.
故答案为:;.
15．答案：,/-3.0625
解析：因为
,
当且仅当时等号成立.
又因为的最小值为,所以,
解得,所以.
如图所示建立直角坐标系,则,,,
设,.
所以,
当且仅当时等号成立,所以的最小值为.
故答案为:;.
16．答案：（1）;
（2）;.
解析：（1）,
由余弦定理得,
所以;
（2）①由（1）知,因为,所以.
所以由余弦定理得;
②由正弦定理得,
将,代入,
可得,
则,,
则.
17．答案：（1）证明见详解;
（2）;
（3）存在,点E与点P重合.
解析：（1）如图1,取AC中点为F,连结BF.
因为F是AC中点,所以.
因为,所以,所以.
因为是边长为2的正三角形,F是AC中点,
所以,所以,所以.
则在四边形ADBF中,有,,
所以四边形ADBF为平行四边形,所以.
因为,平面PBD,平面PBD,所以平面PBD.
（2）由已知平面ACBD,平面ACBD,
所以,.
以点D为坐标原点,分别以DA,DB,DP所在的直线为x,y,z轴,如图2建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
所以,,,.
设是平面ABP的一个法向量,
则有,取,可得,
所以,是平面ABP的一个法向量.
因为平面ACBD,所以即为平面ABC的一个法向量.
因为,
所以,平面ABP与平面ABC夹角的余弦值为.
（3）存在,当点E与点P重合时,满足条件.
设.
由（2）知,,所以,
所以.
又是平面ABP的一个法向量,
则.
令,整理可得,,
解得或(舍去).
所以,,即当点E与点P重合时,满足条件.
18．答案：（1）.
（2）①;②证明见解析;.
解析：（1）设椭圆的焦距为2c,
令,代入椭圆方程得,,故,
由,得,
又,且,所以,,,
所以椭圆C的方程为.
（2）①:由题意知,,,
设,则,得,
设直线PA,PB的斜率分别为,,,则,,
故.
②证明:由可知左焦点为,
由可得,
所以直线PA的方程为,直线PB的方程为,
令,可得,,
假设以线段ST为直径的圆过定点,
则,得,
得,
令,得或,
即以线段ST为直径的圆过定点和,
故以线段ST为直径的圆过左焦点;
而,
当且仅当即时,取得等号,
故当以线段ST为直径的圆的面积最小时的值为.
19．答案：（1）;.
（2）证明见解析.
（3）.
解析：（1）因为是首项为1的等比数列,且满足,,成等差数列,
设公比为q,,则,即,
故,所以;
数列各项均为正数,为其前n项和,且满足,
当时,,则,
当时,,,
两式相减得,即,
因为,故,,
即数列为等差数列,故.
（2）证明:由（1）知,,
则,
故,
故
,
所以,
故,
当时,,
当时,
设,则,
当时,,时取等号,即,
当时,随n的增大而减小,
故的最大值为,
综合可得.
（3）任意,,即,
当n为奇数时,,
设数列的前2n项的和为,
则
.
20．答案：（1）当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）,定义域为,
所以,
当时,,故在上单调递增,
当时,由,得;由,得,
故在上单调递增,在上单调递减,
综上:当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）因为,曲线在处的切线垂直于直线,
则在处的切线的斜率为,即,解得:,
则.
对任意,恒成立,即对任意,,
即对任意,恒成立,
令,
,令,得,
当时,,为减函数;
当时,,为增函数;
,
,则实数b的最大值.
（3）函数,
因为为函数的极值点,所以,所以,
要证明不等式:成立,只需证,
令,,
当时,,单调递增;当时,,单调递减,
所以,即,所以,
当时,因为,所以.
当时,因为,所以,所以,
要证成立,只需证,
即证对成立.
令,因为,
当时,单调递增;当时,单调递减,
所以,即时,成立.
综上所述,原不等式成立.