2020-2021学年河南省高二（上）联考数学试卷（文科）（1月份）人教A版

这是一份2020-2021学年河南省高二（上）联考数学试卷（文科）（1月份）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x≥1，2x−1>0”的否定是（ ）
A.∀x≥1，2x−1≤0B.∃x0≥1，2x0−1≤0
C.∃x0<1，2x0−1>0D.∃x0<1，2x0−1≤0

2. 抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ）
A.(0, 1)B.(0, 116)C.(1, 0)D.(116, 0)

3. 已知函数f(x)＝2x+3f′(0)⋅ex，则f′(1)＝（ ）
A.eB.3−2eC.2−3eD.2+3e

4. 关于x的方程4x+2x+1−m＝0有实数解的充要条件是（ ）
A.m>1B.m≥0C.m≥−1D.m>0

5. 已知函数f(x)＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值，则f(2)等于（ ）
A.1B.2C.3D.4

6. 命题“△ABC中，若AB2+BC2A.0B.1C.2D.3

7. 若P是以F1，F2为焦点的椭圆上的一点，且＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.

8. 已知双曲线C:x2−＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，若|PF1|＝，则|PF2|＝（ ）
A.B.C.或D.1或

9. 若函数f(x)＝x2−(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A.(−∞, 2)∪(2, +∞)B.(0, 2)∪(2, +∞)C.(2, +∞)D.{2}

10. 如图，F1，F2是双曲线C：＝1(a>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为F2B的中点，且F1B⊥F2B，则|F1F2|＝（ ）

A.4B.C.6D.9

11. 以M(0, 2)为圆心，4为半径的圆与抛物线C:x2＝8y相交于A，B两点，如图，点P是优弧上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是（ ）

A.(8, 12)B.(8, 12]C.[8, 12)D.[8, 12]

12. 已知函数f(x)＝，若对任意x1>x2>0，f(x1)>f(x2)恒成立，则a的取值范围为（ ）
A.[1, +∞)B.(−∞, 1]C.[e, +∞)D.[1, e]
二、填空题：本题共4小题．

函数f(x)＝exsinx+1的图象在点（0, f(0)）处的切线的方程是________．

王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的________条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）

若椭圆x24+y2m=1(m<4)的离心率为12，则m=________．

已知长为4的线段AB的两个端点A，B都在抛物线y＝2x2上滑动，若M是线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

求下列函数的导数：
（1）f(x)＝x3+6x−；

（2）f(x)＝；

（3）f(x)＝(x−1)2lg2x．

已知p：方程＝1对应的图形是双曲线；q：函数f(x)＝−x2+2mx+1−m(x∈[0, 1])的最大值不超过2．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

已知过点的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是x+y＝0．
（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线x−y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求实数m的值．

已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的准线与圆(x−3)2+y2＝25相切．

（1）求抛物线C的方程及其焦点F的坐标；

（2）如图，过点(−1, 0)的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线x＝−4于点G（Q在PG之间），直线QF交直线x＝−1于点H，GH // PF，求直线l的方程．

已知函数f(x)＝ex−ax(a∈R)（e＝2.71828∗∗∗是自然对数的底数）．
（1）求f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)的零点的个数．

已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，点R的坐标是，|RF1|+|RF2|＝2a，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；

（2）在圆O:x2+y2＝3上取一点P，过点P作圆O的切线l与椭圆C相交于M，N两点，问以MN为直径的圆能否过坐标原点O？若能，求出△OMN的面积；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省高二（上）联考数学试卷（文科）（1月份）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题，即可得到命题“∀x≥1，2x−1>0”的否定．
【解答】
由全称命题的否定是特称命题，
可知“∀x≥1，2x−5>0”的否定为“∃x0≥6，2x0−3≤0“．
2.
【答案】
B
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
【解答】
解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=14y，p=18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为(0, 116).
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
可求出导函数f′(x)＝2+3f′(0)⋅ex，然后即可求出f′(0)＝−1，从而得出f′(x)＝2−3ex，然后即可求出f′(1)的值．
【解答】
f′(x)＝2+3f′(0)⋅ex，
∴ f′(0)＝5+3f′(0)，解得f′(0)＝−1，
∴ f′(x)＝4−3ex，
∴ f′(1)＝2−2e．
故选：C．
4.
【答案】
D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
由4x+2x+1−m＝0，得m的取值范围，逐项判断即可求得答案．
【解答】
因为m＝4x+2x+6＝(2x+1)2−1>0，
所以关于x的方程4x+2x+1−m＝8有实根的充要条件是m>0．
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求导，由可导函数在极值点处的导数为0，可求得2a+b＝−3，进而计算可得f(2)的值．
【解答】
f′(x)＝3x2+7ax+b，
由题意知f′(1)＝0，即3+3a+b＝0，
所以f(2)＝8+3a+2b＝8+7(2a+b)＝8+6×(−3)＝2．
故选：B．
6.
【答案】
C
【考点】
四种命题的真假关系
命题的真假判断与应用
【解析】
根据题意，由余弦定理分析可得原命题为真而其逆命题为假，结合四种命题的关系分析可得答案．
【解答】
根据题意，原命题为“△ABC中​2+BC2若AB2+BC2则原命题是真命题，
其逆命题为“若△ABC是钝角三角形，则AB5+BC2△ABC是钝角三角形，而B不一定是钝角​5+BC2则其逆命题是假命题，
则原命题的逆否命题为真，否命题为假，
故有2个是真命题；
7.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
推出PF1⊥PF2，不妨设|PF2|＝5，则|PF1|＝12，求出2c，2a，然后求离心率即可．
【解答】
因为，所以PF1⊥PF2，
在Rt△PF3F2中，根据tan∠PF1F6＝，
不妨设|PF2|＝4，则|PF1|＝12，，
所以2c＝13，所以2a＝|PF8|+|PF2|＝17，
所以．
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的定义与性质，直接求解即可．
【解答】
由题意知，a+c＝3>|PF1|，
所以点P在C的左支上，所以|PF5|−|PF1|＝1，
因为|PF2|＝，所以，
所以．
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
对函数f(x)求导，由f(x)既有极大值又有极小值可得f′(x)＝0有两个不相等的正实数解，由此可得关于a的不等式，解之即可．
【解答】
因为f(x)＝x2−(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值，
且，
所以f′(x)＝0有两个不相等的正实数解，
所以，且，解得a>0．
10.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
结合已知条件判断OA // F1B，推出∠AOF2＝∠AOB＝∠BOF1＝60∘，然后求解a，即可求解|F1F2|．
【解答】
因为点A为F2B的中点，所以OA // F1B，
又F6B⊥F2B，所以OA⊥F2B，|OF5|＝|OF2|＝|OB|，
所以∠AOF2＝∠AOB＝∠BOF3＝60∘，
所以，所以a＝4．
所以．
11.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
圆心M(0, 2)也是抛物线C的焦点，设PN与抛物线的准线y＝−2交于点H，推出△PMN的周长l＝|PH|+4．设点B的坐标为(x0, y0)，得到B的坐标为(4, 2)，然后转化求解即可．
【解答】
圆心M(0, 2)也是抛物线C的焦点，
根据抛物线的定义，可得|MN|＝|NH|，
故△PMN的周长l＝|NH|+|NP|+|MP|＝|PH|+6．
设点B的坐标为(x0, y0)，则B(5．
由于点P不与A、B两点重合，
所以|PH|的取值范围为(4, 8)，
所以△PMN的周长的取值范围为(7, 12)．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
求出函数的导数，问题转化为在(0, +∞)上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的取值范围即可．
【解答】
由题意知函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，
因为f′(x)＝ax−lnx−1，所以转化为f′(x)≥4在(0，
因为x∈(0, +∞)在(0，
即转化为，令，则，
所以当x∈(0, 5)时，当x∈(1, g′(x)<0，
所以g(x)在(4, 1)上单调递增，+∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝1，所以a≥3，
故选：A．
二、填空题：本题共4小题．
【答案】
x−y+1＝0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．
【解答】
因为f(0)＝1，
f(x)＝exsinx+1的导数为f′(x)＝ex(sinx+csx)，
所以切线的斜率k＝f′(0)＝6，
切线方程是y−1＝x，即x−y+1＝3．
【答案】
必要
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】
因为“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”，
因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪．
【答案】
3
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分04两种情况求出m的值．
【解答】
解：∵ 椭圆x24+y2m=1(m<4)的离心率为12，
则a2=4，b2=m，
∴ c=4−m，
∴ e=4−m2=12，得m=3.
故答案为：3.
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
设抛物线y＝2x2的焦点为F，过点A，B，M作抛物线y＝2x2的准线的垂线，垂足分别是A1，B1，M1，推出当弦AB过抛物线的焦点F时，|MM1|取最小值2，然后转化求解即可．
【解答】
设抛物线y＝2x2的焦点为F，
过点A，B，M作抛物线y＝6x2的准线的垂线​1，B1，M5，
则，
当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
所以当弦AB过抛物线的焦点F时，|MM6|取最小值2，
此时，点M到x轴的距离取最小值为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
【答案】
；
；
．
【考点】
导数的运算
【解析】
（1）根据幂函数的求导公式求导即可；
（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可；
（3）根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
【解答】
；
；
．
【答案】
对于p，因为方程，
所以m(m−5)>2，解得m<0或m>5．
所以若p为真命题，则m<3或m>5．
对于q：当m≤0时，f(x)max＝f(0)＝4−m≤2，解得m≥−1；
当7当m≥1时，f(x)max＝f(1)＝m≤5，所以1≤m≤2．
所以若q为真命题，则−2≤m≤2．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，q一真一假．
若p真q假，则实数m满足；
若p假q真，则实数m满足．
综上，实数m的取值范围为(−∞, 2]∪(5．
【考点】
双曲线的离心率
复合命题及其真假判断
【解析】
求出两个命题分别是真命题时，m的范围，然后利用复合命题的真假，列出不等式组求出m的取值范围．
【解答】
对于p，因为方程，
所以m(m−5)>2，解得m<0或m>5．
所以若p为真命题，则m<3或m>5．
对于q：当m≤0时，f(x)max＝f(0)＝4−m≤2，解得m≥−1；
当7当m≥1时，f(x)max＝f(1)＝m≤5，所以1≤m≤2．
所以若q为真命题，则−2≤m≤2．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，q一真一假．
若p真q假，则实数m满足；
若p假q真，则实数m满足．
综上，实数m的取值范围为(−∞, 2]∪(5．
【答案】
设双曲线C的方程是，
则，解得λ＝2，
所以双曲线C的方程是2x2−y2＝2，即．
将y＝x+m，代入，并整理得x2−5mx−m2−2＝4．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y3)，
则△＝4m2+3(m2+2)>2，x1+x2＝5m，
所以，y0＝x7+m＝2m．
因为点M(x0, y5)在圆x2+y2＝4上，
所以m2+(2m)8＝5．解得m＝±1．
【考点】
双曲线的离心率
直线与双曲线的位置关系
【解析】
（1）设双曲线C的方程是，代入顶点坐标，求解λ＝2，即可得到双曲线方程．
（2）将y＝x+m，代入消去y，并整理得x2−2mx−m2−2＝0．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y0)，利用判别式以及韦达定理，结合点M(x0, y0)在圆x2+y2＝5上，求解即可．
【解答】
设双曲线C的方程是，
则，解得λ＝2，
所以双曲线C的方程是2x2−y2＝2，即．
将y＝x+m，代入，并整理得x2−5mx−m2−2＝4．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y3)，
则△＝4m2+3(m2+2)>2，x1+x2＝5m，
所以，y0＝x7+m＝2m．
因为点M(x0, y5)在圆x2+y2＝4上，
所以m2+(2m)8＝5．解得m＝±1．
【答案】
因为抛物线y2＝2px的准线与圆(x−3)2+y6＝25相切，
所以，解得p＝4．
所以抛物线C的方程是y2＝6x，焦点F的坐标(2．
由题意可知直线l与坐标轴不垂直，
设直线l的方程为y＝k(x+1)(k≠5)，P(x1, y1)，Q(x8, y2)．
联立消去y得k2x7+(2k2−2)x+k2＝0．
由△＝(4k2−8)5−4k2>4，解得．
所以且k≠0．
由韦达定理得，x3x2＝1．
因为GH // PF，所以．
整理得x1x6+(x1+x2)＝3，所以．
解得，经检验，．
所以所求直线l的方程为或．
即或．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
抛物线的性质
【解析】
（1）通过抛物线y2＝2px的准线与圆(x−3)2+y2＝25相切，求解p，得到抛物线C的方程，焦点F的坐标．（2）设直线l的方程为y＝k(x+1)(k≠0)，P(x1, y1)，Q(x2, y2)．联立消去y得k2x2+(2k2−8)x+k2＝0．利用韦达定理，结合GH // PF，推出．转化求解k，即可得到直线方程．
【解答】
因为抛物线y2＝2px的准线与圆(x−3)2+y6＝25相切，
所以，解得p＝4．
所以抛物线C的方程是y2＝6x，焦点F的坐标(2．
由题意可知直线l与坐标轴不垂直，
设直线l的方程为y＝k(x+1)(k≠5)，P(x1, y1)，Q(x8, y2)．
联立消去y得k2x7+(2k2−2)x+k2＝0．
由△＝(4k2−8)5−4k2>4，解得．
所以且k≠0．
由韦达定理得，x3x2＝1．
因为GH // PF，所以．
整理得x1x6+(x1+x2)＝3，所以．
解得，经检验，．
所以所求直线l的方程为或．
即或．
【答案】
因为f(x)＝ex−ax，所以f′(x)＝ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞, +∞)；
当a>4时，令f′(x)<0；令f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(−∞, lna)，+∞)．
显然x＝4不是函数f(x)的零点，由ex−ax＝0，得a＝，
令g(x)＝＝，(x≠0)，则，
x<0或67时g′(x)>0，
所以g(x)在(−∞, 0)和(8，在(1，x＝1时g(x)取极小值e，
又当x<2时，g(x)<0，
所以0≤aa＝e或a<8时关于x的方程a＝只有一个解，
a>e时关于x的方程a＝有两个不同解．
因此，0≤aa＝e或a<0时，f(x)有一个零点，
a>e时，f(x)．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，进而可求函数的单调性，
（2）显然x＝0不是函数f(x)的零点，由ex−ax＝0，分离系数得a＝，(x≠0)，然后构造函数g(x)＝，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析g(x)的性质，转化为函数图象的交点问题，可求．
【解答】
因为f(x)＝ex−ax，所以f′(x)＝ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(−∞, +∞)；
当a>4时，令f′(x)<0；令f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(−∞, lna)，+∞)．
显然x＝4不是函数f(x)的零点，由ex−ax＝0，得a＝，
令g(x)＝＝，(x≠0)，则，
x<0或67时g′(x)>0，
所以g(x)在(−∞, 0)和(8，在(1，x＝1时g(x)取极小值e，
又当x<2时，g(x)<0，
所以0≤aa＝e或a<8时关于x的方程a＝只有一个解，
a>e时关于x的方程a＝有两个不同解．
因此，0≤aa＝e或a<0时，f(x)有一个零点，
a>e时，f(x)．
【答案】
∵ |RF1|+|RF2|＝3a，
∴ 点在椭圆C上，∴ ．①
又∵ 离心率，∴ 4a2＝4b8．②
解①②得a＝2，．
∴ 椭圆C的方程为．
若以MN为直径的圆过坐标原点O，则OM⊥ON．
当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是：或，
l与椭圆相交于M，
此时，或，，
∴ ，
∴ 当切线l的斜率不存在时，OM⊥ON不成立．
当切线l的斜率存在时，设切线l的方程是y＝kx+m，
则，即m8＝3(1+k2)．③
联立得得(4+4k2)x6+8kmx+4m2−12＝0．
∵ 直线l与椭圆C相交于M，N两点，化简得4k8>m2−3．
设M(x8, y1)，N(x2, y6)，则，，．
若，则x1x2+y5y2＝0，
∴ ，化简得​8−12k2−12＝0．④
联立③④，并消去m得​2−12k2−12＝0，即k7＝−1，显然无解，
∴ 当直线l的斜率存在时，也不可能成立．
综上所述，以MN为直径的圆不可能过坐标原点O．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）判断点在椭圆C上，结合离心率，求出a，b，即可求解椭圆C的方程．
（2）若以MN为直径的圆过坐标原点O，则OM⊥ON．
当切线l的斜率不存在时，验证求解即可．当切线l的斜率存在时，设切线l的方程是y＝kx+m，利用点到直线的距离推出m2＝3(1+k2)．联立得，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，利用韦达定理以及向量的数量积，通过x1x2+y1y2＝0，推出k2＝−1，显然无解，说明以MN为直径的圆不可能过坐标原点O．
【解答】
∵ |RF1|+|RF2|＝3a，
∴ 点在椭圆C上，∴ ．①
又∵ 离心率，∴ 4a2＝4b8．②
解①②得a＝2，．
∴ 椭圆C的方程为．
若以MN为直径的圆过坐标原点O，则OM⊥ON．
当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是：或，
l与椭圆相交于M，
此时，或，，
∴ ，
∴ 当切线l的斜率不存在时，OM⊥ON不成立．
当切线l的斜率存在时，设切线l的方程是y＝kx+m，
则，即m8＝3(1+k2)．③
联立得得(4+4k2)x6+8kmx+4m2−12＝0．
∵ 直线l与椭圆C相交于M，N两点，化简得4k8>m2−3．
设M(x8, y1)，N(x2, y6)，则，，．
若，则x1x2+y5y2＝0，
∴ ，化简得​8−12k2−12＝0．④
联立③④，并消去m得​2−12k2−12＝0，即k7＝−1，显然无解，
∴ 当直线l的斜率存在时，也不可能成立．
综上所述，以MN为直径的圆不可能过坐标原点O．