2020-2021学年河南省高二（上）10月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知数列an是等差数列，若a1=1，公差d=12，则a3，a5的等差中项的值是( )
A.52B.5C.4D.2

2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，52cs2A+4csA+32=0，a=7，c=6，则b=( )
A.9B.8C.5D.4

3. 已知等差数列an中，a1>0，a1010+a1011>0，a1010⋅a1011<0，其前n项和为Sn，则Sn>0成立时n最大值为( )
A.1010B.1009C.2020D.2022

4. 已知正项数列an中，lg2a1+lg2a2+lg2a3+⋯+lg2an=nn+12n∈N∗，则数列an的通项公式为( )
A.an=nB.an=2nC.an=n2D.an=2n2

5. 记等差数列an的前n项和为Sn．若a7=19，a1+a5=14，则an的公差为( )
A.3B.2C.−2D.−3

6. 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的个数是( )
①若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是锐角三角形；
②若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形；
③若csA=csB，则△ABC为等腰三角形；
④若a=8，c=10，B=60∘，则符合条件的△ABC有两个.
A.1B.2C.3D.4

7. 已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=25，Sn=400，Sn−5=225，则n=( )
A.19B.20C.21D.22

8. 等差数列共有n项且n为奇数，该数列中所有奇数项和为120，偶数项和为100，则n=( )
A.9B.10C.11D.不确定

9. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )
A.a=14，b=20，A=135∘B.a=10，b=11，B=60∘
C.a=43，b=8，A=60∘D.a=32，b=6，A=40∘

10. 如图所示，某同学为了测量学校某一幢楼两侧A，B两点间的距离，该同学首先选定了不在直线AB上的一点C（△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c），然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案：①测量∠A，∠B，∠C；②测量a，b，∠C；③测量∠C，b，c；④测量∠A，∠B，a，则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为( )

A.①③B.④C.②④D.②③④

11. 设Sn是数列an的前n项和，且a1=−1，an+1=SnSn+1，则下列选项不正确的是( )
A.an=−1，n=1，1n−1−1n，n≥2，n∈N∗
B.数列1Sn为等差数列
C.1S1+1S2+⋯+1S100=−5050
D.an=−12n−1
二、填空题

三角形的三条高的长度分别为10，13，26，则此三角形的形状是________.
三、解答题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设sin2C−sin2B=sinC−sinAsinA.
(1)求角B；

(2)若b=2，S△ABC=3，求边长a，c的值．

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=−5，S6=−12．
(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求当n取何值时Sn有最小值．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2b=a+c ，3bsinC=4csinA.
(1)求csB的值；

(2)求tan2B+π4的值．

在等差数列an中，a5=4，a3与a8的等差中项为92.
(1)求数列an的通项公式；

(2)令bn=2an−1，求数列bn的前n项和Sn.

在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且csB+csA−3sinAcsC=0.
(1)求角C；

(2)若c=3，求a+2b的最大值．

已知数列an的前n项和为Sn，Sn=nn−1+an，且a52=a2a6.
(1)证明：数列an是等差数列；

(2)设bn=a3−2a5anan+1，求数列bn的前n项和Tn.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
等差中项
等差数列的性质
【解析】

【解答】
解：a3，a5的等差中项为a4=1+(4−1)×12=52.
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
二倍角的余弦公式
余弦定理
【解析】

【解答】
解：由题得5cs2A+4csA−1=0，即csA=15，
所以csA=b2+c2−a22bc=b2+62−722×6×b=15，
解得b=5.
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
数列的函数特性
【解析】

【解答】
解：由题意易得a1010>0，a1011<0，
所以S2020=(a1+a2020)×20202
=(a1010+a1011)×20202>0，
S2021=(a1+a2021)×20212
=2a1011×20212<0.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
对数的运算性质
【解析】
易得a⋅a1⋯an=2n(n+1)2，a⋅a1⋯an−1=2n(n−1)2，n≥2，所以an=2n,n≥2 . 经验证，当n=1时也符合．故选B．
【解答】
解：易得a1⋅a2⋯an=2n(n+1)2，
a1⋅a2⋯an−1=2n(n−1)2，n≥2，
所以an=2n，n≥2 . 经验证，当n=1时也符合．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
等差中项
等差数列的性质
【解析】

【解答】
解：由等差数列性质可知，a1+a5=2a3=14，
解得a3=7，
∴d=a7−a37−3=3．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
余弦定理
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1−tanBtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0，所以∠A,∠B, ∠C是锐角．fx=csx在x∈[0,π]上单调减，所以由csA=csB可知A=B．故选B．
【解答】
解：①tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1−tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0，
所以∠A，∠B ，∠C是锐角，故①正确；
②若acsA=bcsB，则2sinAcsA=2sinBcsB，则sin2A=sin2B,则A=B或A+B=90∘，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②错误；
③若csA=csB，即A=B，则△ABC是等腰三角形，故③正确；
④若a=8，c=10，B=60∘，则由余弦定理得b2=82+102−2×8×10×cs60∘=84，则b=221，所以符合条件的△ABC有1个，故④错误.
综上正确的命题有2个.
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】

【解答】
解：a1+an=S5+Sn−Sn−55=40，
所以n=400×240=20．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
等差中项
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】

【解答】
解：设n=2k+1，则a1+a2k+12=ak+1=120−100=20，
所以Sn=a1+a2k+1⋅2k+12=120+100，
所以n=11．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】

【解答】
解：A，A=135∘，所以△ABC为钝角三角形，，故A错误；
B，sinA=ab⋅sinB=5311>sin45∘，C有唯一解，故B错误；
C，sinB=ba⋅sinA=1，B=90∘，有唯一解，故C错误；
D，sinB=ba⋅sinA，bsin 40∘故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
解三角形的实际应用
余弦定理
正弦定理
【解析】

【解答】
解：①已知三角形三角，不能计算出AB的距离，故①错误；
②已知两边和其夹角，由余弦定理可得AB=c，故②正确；
③无法测量c，故不能计算出AB的距离，故③错误；
④已知两角，可计算出第三角，再用正弦定理可解得AB=c=asinCsinA，故④正确．
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】

【解答】
解：Sn是数列{an}的前n项和，且a1=−1，an+1=SnSn+1，
则Sn+1−Sn=SnSn+1，
整理得1Sn+1−1Sn=−1（常数），
所以数列1Sn是以1S1−1为首项，−1为公差的等差数列．故B正确；
所以1Sn=−1−n−1=−n，故Sn=−1n.
所以当n≥2时，an=Sn−Sn−1=1n−1−1n（首项不符合通项），
所以 an=−1，n=1，1n−1−1n，n≥2，n∈N∗.
所以A正确，D错误；
因为Sn=−1n，所以1Sn=−n，
1S1+1S2+⋯+1S100=−1−2−3−⋯−100=−100×(100+1)2=−5050.
故C正确.
故选D．
二、填空题
【答案】
钝角三角形
【考点】
余弦定理
【解析】

【解答】
解：利用面积相等可设三条高线对应的边长分别为13t，10t，5t，最大边对应的角为θ，
由余弦定理可得csθ=10t2+5t2−13t22×10t×15t<0，
则θ为钝角，故三角形为钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意，由正弦定理得，a2+c2−b2=ac，
cs B=a2+c2−b22ac，
由余弦定理得2ac⋅cs B=ac，
∴csB=12.
又∵0∴B=π3．
(2)由S△ABC=12acsinB=34ac=3⇒ac=4，
又由(1)得a2+c2−ac=4，
∴ a+c2=4+3ac=16⇒a+c=4，ac=4，
∴ a=c=2．
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意，由正弦定理得，a2+c2−b2=ac，
cs B=a2+c2−b22ac，
由余弦定理得2ac⋅cs B=ac，
∴csB=12.
又∵0∴B=π3．
(2)由S△ABC=12acsinB=34ac=3⇒ac=4，
又由(1)得a2+c2−ac=4，
∴ a+c2=4+3ac=16⇒a+c=4，ac=4，
∴ a=c=2．
【答案】
解：(1)设{an}的公差为d，由题意得a1+d=−5，2a1+5d=−4，
得a1=−7，d=2．
∴ {an}的通项公式为an=−7+2(n−1)=2n−9．
(2)由(1)得Sn=n2−8n=(n−4)2−16，
∴ 当n=4时，Sn取得最小值，最小值为−16．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设{an}的公差为d，由题意得a1+d=−52a1+5d=−4 ，解得a1，d，即可得出通项公式．
（2）由（1）得Sn＝n2−8n＝(n−4)2−16，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】
解：(1)设{an}的公差为d，由题意得a1+d=−5，2a1+5d=−4，
得a1=−7，d=2．
∴ {an}的通项公式为an=−7+2(n−1)=2n−9．
(2)由(1)得Sn=n2−8n=(n−4)2−16，
∴ 当n=4时，Sn取得最小值，最小值为−16．
【答案】
解：(1)由正弦定理得a+c=2b，3b=4a，
解得 a=34b，c=54b，
由余弦定理得cs B=a2+c2−b22ac
=9b216+25b216−b22⋅3b4⋅5b4=35.
(2)由(1)得sin B=45，
所以sin 2B=2sin Bcs B=2425，
所以cs 2B=2cs2 B−1=−725，
所以tan 2B=−247，
所以tan2B+π4=tan 2B+11−tan 2B=−1731．
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正切公式
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】


【解答】
解：(1)由正弦定理得a+c=2b，3b=4a，
解得 a=34b，c=54b，
由余弦定理得cs B=a2+c2−b22ac
=9b216+25b216−b22⋅3b4⋅5b4=35.
(2)由(1)得sin B=45，
所以sin 2B=2sin Bcs B=2425，
所以cs 2B=2cs2 B−1=−725，
所以tan 2B=−247，
所以tan2B+π4=tan 2B+11−tan 2B=−1731．
【答案】
解：(1)依题意得，a3+a8=9，即a5+a6=9.
因为a5=4，
所以a6=5，即 d=a6−a5=1，
所以 an=a5+(n−5)×1=n−1．
(2)由(1)知 an=n−1，所以bn=2an−1=2n−3，
所以数列{bn}是首项为−1，公差为2的等差数列，
所以Sn=n(b1+bn)2=n(−1+2n−3)2=n2−2n.
【考点】
等差中项
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】


【解答】
解：(1)依题意得，a3+a8=9，即a5+a6=9.
因为a5=4，
所以a6=5，即 d=a6−a5=1，
所以 an=a5+(n−5)×1=n−1．
(2)由(1)知 an=n−1，所以bn=2an−1=2n−3，
所以数列{bn}是首项为−1，公差为2的等差数列，
所以Sn=n(b1+bn)2=n(−1+2n−3)2=n2−2n.
【答案】
解：(1)由题意得−csA+C+csA−3sinAcsC=0⇒sinA(sinC−3csC)=0，
∴ tan C=3.
∵ 0∴ C=π3．
(2)由(1)得2R=csin C=2，a=2sin A，b=2sin B，
∴ a+2b=2sinA+2sinB
=2sin2π3−B+2sinB
=5sinB+3csB
=27×527sinB+27×327csB
=27sinB+θ，
∴sinθ=327，csθ=527，
∴tan θ=350<θ<π2，
∴ 0∴ a+2bmax=27．
【考点】
两角和与差的余弦公式
辅助角公式
三角函数的最值
正弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)由题意得−csA+C+csA−3sinAcsC=0⇒sinA(sinC−3csC)=0，
∴ tan C=3.
∵ 0∴ C=π3．
(2)由(1)得2R=csin C=2，a=2sin A，b=2sin B，
∴ a+2b=2sinA+2sinB
=2sin2π3−B+2sinB
=5sinB+3csB
=27×527sinB+27×327csB
=27sinB+θ，
∴sinθ=327，csθ=527，
∴tan θ=350<θ<π2，
∴ 0∴ a+2bmax=27．
【答案】
(1)证明：由Sn=nan+nn−1，
得Sn+1=n+1an+1+nn+1，
所以Sn+1−Sn=n+1an+1−nan+2n.
又Sn+1−Sn=an+1，
所以nan=nan+1+2n，
故an+1−an=−2，
数列{an}是等差数列，公差为−2.
又a52=a2a6，
得a1−82=a1−2a1−10，
解得a1=11，
故数列{an}是首项为11，公差为−2的等差数列．
(2)解：由(1)知an=13−2n，bn=a3−2a5anan+1=7−2×3anan+1=1anan+1，
所以bn=1anan+1=−12113−2n−111−2n，
Tn=b1+b2+⋯+bn
=−12111−19+19−17+⋯+113−2n−111−2n
=−12111−111−2n=n121−22n .
【考点】
数列的求和
等差数列
【解析】
（2）由（1）知an=13−2n,bn=a3−2a5anan+1=7−2×3anan+1=1anan+1 .
所以b1=1anan+1=−12113−2n−111−2n，
Tn=b1+b2+⋯+bn=−12111−19+19−17+⋯+113−2n−111−2n
=−12111−111−2n=n121−22n .
【解答】
(1)证明：由Sn=nan+nn−1，
得Sn+1=n+1an+1+nn+1，
所以Sn+1−Sn=n+1an+1−nan+2n.
又Sn+1−Sn=an+1，
所以nan=nan+1+2n，
故an+1−an=−2，
数列{an}是等差数列，公差为−2.
又a52=a2a6，
得a1−82=a1−2a1−10，
解得a1=11，
故数列{an}是首项为11，公差为−2的等差数列．
(2)解：由(1)知an=13−2n，bn=a3−2a5anan+1=7−2×3anan+1=1anan+1，
所以bn=1anan+1=−12113−2n−111−2n，
Tn=b1+b2+⋯+bn
=−12111−19+19−17+⋯+113−2n−111−2n
=−12111−111−2n=n121−22n .