2020-2021学年河南省南阳市高二（上）10月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )

A.an=3n−1B.an=3nC.an=3n−2nD.an=3n−1+2n−3

2. 在△ABC中，已知b=6，c=10，B=30∘，则解此三角形有( )
A.无解B.一解C.两解D.一解或两解

3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=( )
A.5B.7C.9D.11

4. 函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0=5，且对任意的自然数均有xn+1=f(xn)，则x2020=( )
A.1B.2C.4D.5

5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=5，c=2，csA=23，则b等于( )
A.2B.3C.2D.3

6. 一个直角三角形的三边成等比数列，则最小锐角的正弦值为( )
A.12B.35C.5−12D.5+12

7. 如图所示，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75∘距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为( )

A.1762海里/小时B.346海里/小时C.1722海里/小时D.342海里/小时

8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若A>B，则sinA>sinB；②若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB.以上结论中正确的有( )
A.①③B.①④C.①②④D.①③④

9. 若数列{an}是正项递减等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8=T12，则当Tn取最大值时，n的值等于( )
A.9B.10C.11D.12

10. 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=n+52n−1，则a7b6=( )
A.67B.1211C.1825D.1621

11. 已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6>S7>S5，给出下列四个结论：①d<0；②S11>0；③S12<0；④|a6|>|a7|；其中正确的个数是( )
A.4B.3C.2D.1

12. 如图，在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75∘，BC=4，则AB的取值范围是( )

A.6−22,6+22B.6−2,6+2C.6−2,6+2D.26−22,26+22
二、填空题

一个剧场共有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则该剧场的总座位数为________.

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcsC+ccsB=2b，则ab=________．

在数列 {an} 中， a1=4，an+1=3an−2，若对于任意的 n∈N∗,k(an−1)≥2n−5 恒成立，则实数k的最小值为________.

圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD的面积为________．
三、解答题

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；

(2)若a，b，c成等比数列，且c=2a，求csB的值．

已知数列an的前n项和Sn=3n2−n2.
(1)求an的通项公式；

(2)设bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a=3，b=5，c=7.
(1)求△ABC的三个角中最大角的大小；

(2)秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”．他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术S=14a2c2−a2+c2−b222可以已知三边求三角形的面积．试用余弦定理推导该公式，并用该公式求△ABC的面积．

已知数列{an}满足a1=1，nan+1−(n+1)an=n(n+1)，设bn=ann．
(1)求证数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；

(2)若cn=n⋅2bn，求数列{cn}的前n项和．

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且csC=2a−c2b．
(1)求角B的大小；

(2)若BD为AC边上的中线，csA=17，BD=1292，求△ABC的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．
【解答】
解：由图形知：
第1个图形中有1=30个着色三角形，
第2个图形中有3=31个着色三角形，
第3个图形中有3×3=9=32个着色三角形，
第4个图形中有3×9=27=33个着色三角形，
以此类推，第n个图形中有3n−1个着色三角形．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用正弦定理求出角C的大小，即可判断三角形解的个数．
【解答】
解：在△ABC中，若b=6，c=10，B=30∘，
由正弦定理bsinB=csinC可知，
6sin30∘=10sinC，
所以sinC=56>32，
所以60∘所以三角形有两个解.
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
等差中项
等差数列的前n项和
【解析】
由已知结合等差数列的性质求得a3=1，再由S5=5a3得答案．
【解答】
解：∵ 数列{an}是等差数列，
且a1+a3+a5=3，
得3a3=3，即a3=1．
∴ S5=5a3=5．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
数列的函数特性
【解析】
利用函数f(x)定义，计算可得数列{xn}是：5，2，1，4，5，2，1，…是一个周期性变化的数列，周期为：4，从而得出答案．
【解答】
解：由题意，x0=5，且对任意自然数均有xn+1=f(xn)，
∴ x1=f(x0)=2，
x2=f(x1)=1，
x3=f(x2)=5，
故数列{xn}满足：2，1，5，2，1，5，⋯是一个周期性变化的数列，且周期为3，
∴ x2020=x(3×673)+1=x1=2．
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
利用余弦定理直接求解即可．
【解答】
解：∵ △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
a=5，c=2，csA=23，
∴ csA=b2+c2−a22bc，即23=b2+4−54b，
解得b=3．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
等比中项
正弦定理
【解析】
由题意得到b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinA，sinB=csA，化简求解即可.
【解答】
解：设三角形的三个内角为A，B，C=90∘，且A依题意，b2=ac，
由正弦定理可得：sin2B=sinAsinC=sinA.
又sinB=csA，
所以cs2A=sinA，
即1−sin2A=sinA，
所以sin2A+sinA−1=0.
又sinA>0，
所以sinA=5−12．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
【解答】
解：由题意知∠MPN=75∘+45∘=120∘，∠PNM=45∘．
在△PMN中，由正弦定理，得
MNsin120∘=PMsin45∘，
∴ MN=68×3222=346（海里）．
又由M到N所用时间为14−10=4（小时），
∴ 船的航行速度v=3464=1726（海里/小时）.
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
根据A>B,可得a>b,利用正弦定理可知2RsinA>2RsinB，即可判断①正确；由sin2A=sin2B,可得2A=2B或2A=π−2B，即A=B或A+B=π2，即可判断②错误；由正弦定理可将sin2A+sin2B=sin2C转化为a2+b2=c2，即可判断③正确；根据△ABC为锐角三角形，即A+B>π2，得到π2>A>π2−B,即可判断④正确．
【解答】
解：对于①，在△ABC中，若A>B，则a>b，即有2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，则①正确；
对于②，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A=π−2B，即A=B或A+B=π2，故△ABC不一定为等腰三角形，故②错误；
对于③，△ABC中，由正弦定理可得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R,
则sin2A+sin2B=sin2C可转化为a2+b2=c2，即△ABC为直角三角形，故③正确；
对于④，若△ABC为锐角三角形，A+B>π2，则π2>A>π2−B,
所以sinA>sinπ2−B=csB，即④正确．
故正确的是①③④，
故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
【解析】
先求出a9a10a11a12=1，再由数列{an}是正项递减等比数列，得到大小关系，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意知，Tn表示等比数列{an}的前n项的积，且T8=T12，
则a9a10a11a12=1，
∴ a9a12=a10a11=1.
又数列{an}是正项递减等比数列，
∴ a9>a10>1>a11>a12，
∴ T10为最大值，
∴ 当Tn取最大值时，n的值等于10．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=n+52n−1，可设Sn＝kn(n+5)，Tn＝kn(2n−1)，k≠0，可得：a7＝S7−S6，b6＝T6−T5，即可得出．
【解答】
解：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=n+52n−1，
所以可设Sn=kn(n+5)，Tn=kn(2n−1)，k≠0，
所以a7=S7−S6=18k，b6=T6−T5=21k，
所以a7b6=67．
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11,S12由第六项和第七项的正负判定．
【解答】
解：①，因为S6>S7>S5，
所以S7−S6<0，S6−S5>0，
所以a7<0，a6>0，
所以a6>a7，
即a7−a6<0，
所以d<0，
故①正确；
②，因为a6>0，
所以S11=(a1+a11)×112=11a6>0，
故②正确；
③，因为S7>S5，
则S7−S5=a6+a7>0，
S12=(a1+a12)2×12=6(a6+a7)>0，
故③错误；
④，a6>0，a7<0且a6+a7>0，
所以|a6|>|a7|，
故④正确.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
延长BA 、CD交于点E，平移AD，找到AB最长及最短时各点的位置，即可求解．
【解答】
解：如图所示，延长BA ，CD交于点E，平移AD，
∵ sin75∘= sin (30∘+45∘ ) =12×22 + 32×22 = 2+64，
①当A，D点与E点重合时，AB最长，
∵ ∠A=∠B=∠C=75∘，
∴ ∠E=30∘，
∴ 4sin30∘=BEsin75∘，
∴ BE=26+22，
则AB<26+22；
②当D点与C点重合时，AB最短，
∵ ∠A=∠B=∠C=75∘，
∴ ∠FCB=30∘，
∴ BFsin30∘=4sin75∘，
∴ BF=26−22，
则AB>26−22，
∴ AB∈26−22,26+22，
故选D．
二、填空题
【答案】
820
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列
【解析】
根据剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，可得20排座位组成以60为首项，−2为公差的等差数列，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．
【解答】
解：由题意知，剧场共有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，
则20排座位组成以60为首项，−2为公差的等差数列，
∴ 该剧场的总座位数为20×60+20×192×(−2)=820（个）．
故答案为：820．
【答案】
2
【考点】
诱导公式
正弦定理
【解析】
已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．
【解答】
解：将bcsC+ccsB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcsC+sinCcsB=2sinB，
即sin(B+C)=2sinB，
∵ sin(B+C)=sinA，
∴ sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则ab=2．
故答案为：2.
【答案】
127
【考点】
数列与函数的综合
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由an+1=3an−2有an+1−1=3(an−1) ,
故数列 {an−1} 为首项为3,公比为3的等比数列，
可得 an−1=3n，
不等式 k(an−1)≥2n−5 可化为 k≥2n−53n ，
令f(n)=2n−53n(n∈N∗) ,
当 1≤n≤2时，f(n)<0，
当n≥3时， f(n)>0，
故有当 n≥3时，
f(n+1)−f(n)=2n−33n+1−2n−53n=−4(n−3)3n+1≤0 ，
则f(n)≤f(3)=127，故实数k的最小值为127.
故答案为：127.
【答案】
83
【考点】
余弦定理
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】

【解答】
解析：如图连接BD，
则四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CDB=12AB⋅ADsinA+12⋅BC⋅CDsinC．
∵ A+C=180∘，
∴ sinA=sinC，
故S=12(AB⋅AD+BC⋅CD)sinA
=12(2×4+6×4)⋅sinA=16sinA．
在△ABD中，由余弦定理得，
BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsA
=20−16csA，
在△CDB中，由余弦定理得，
BD2=CB2+CD2−2CB⋅CD⋅csC=52−48csC，
∴ 20−16csA=52−48csC．
∵ csC=−csA，
∴ 64csA=−32，csA=−12．
又0∘∴ A=120∘，
∴ S=16sin120∘=83．
故答案为：83.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ {an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q=b3b2=3，
∴bn=b2qn−2=3⋅3n−2=3n−1，
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d=a14−a113=2，
则an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1；
(2)cn=an+bn=2n−1+3n−1，
则数列{cn}的前n项和为
(1+3+...+(2n−1))+(1+3+9+...+3n−1)
=12n⋅2n+1−3n1−3
=n2+3n−12．
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q＝3，d＝2，进而得到所求通项公式；
（2）求得cn＝an+bn＝2n−1+3n−1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】
解：(1)∵ {an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q=b3b2=3，
∴bn=b2qn−2=3⋅3n−2=3n−1，
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d=a14−a113=2，
则an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1；
(2)cn=an+bn=2n−1+3n−1，
则数列{cn}的前n项和为
(1+3+...+(2n−1))+(1+3+9+...+3n−1)
=12n⋅2n+1−3n1−3
=n2+3n−12．
【答案】
(1)证明：∵ a，b，c成等差数列，
∴ a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵ sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，
则sinA+sinC=2sin(A+C)；
(2)解：∵ a，b，c成等比数列，
∴ b2=ac，
将c=2a代入得：b2=2a2，即b=2a，
∴ 由余弦定理得：
csB=a2+c2−b22ac=a2+4a2−2a24a2=34．
【考点】
等比中项
等差中项
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；
（2）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出csB，将三边长代入即可求出csB的值．
【解答】
(1)证明：∵ a，b，c成等差数列，
∴ a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵ sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，
则sinA+sinC=2sin(A+C)；
(2)解：∵ a，b，c成等比数列，
∴ b2=ac，
将c=2a代入得：b2=2a2，即b=2a，
∴ 由余弦定理得：
csB=a2+c2−b22ac=a2+4a2−2a24a2=34．
【答案】
解：(1)当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=3n2−n2−3n−12−n−12
=3n−2，
当n=1时，由a1=S1=1，符合上式．
所以an的通项公式为an=3n−2．
(2)可得bn=1anan+1=1(3n−2)(3n+1)=1313n−2−13n+1，
前n项和Tn=13[1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1]
=131−13n+1=n3n+1．
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=3n2−n2−3n−12−n−12
=3n−2，
当n=1时，由a1=S1=1，符合上式．
所以an的通项公式为an=3n−2．
(2)可得bn=1anan+1=1(3n−2)(3n+1)=1313n−2−13n+1，
前n项和Tn=13[1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1]
=131−13n+1=n3n+1．
【答案】
解：(1)∵ a=3，b=5，c=7，
∴ 角C最大．
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=32+52−722×3×5=−12，又角C为△ABC内角，
∴ C=120∘．
(2)在△ABC中，S=12acsinB.
∵ sin2B+cs2B=1,且csB=a2+c2−b22ac，
∴ S=12acsinB=12ac1−cs2B=12ac1−a2+c2−b22ac2
=14a2c2−a2+c2−b222，即证．
当a=3，b=5，c=7时，
S=14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=14[32×72−(32+72−522)2]=1534，
即△ABC面积为1534．
【考点】
秦九韶算法
余弦定理
正弦定理
【解析】

【解答】
解：(1)∵ a=3，b=5，c=7，
∴ 角C最大．
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=32+52−722×3×5=−12，又角C为△ABC内角，
∴ C=120∘．
(2)在△ABC中，S=12acsinB.
∵ sin2B+cs2B=1,且csB=a2+c2−b22ac，
∴ S=12acsinB=12ac1−cs2B=12ac1−a2+c2−b22ac2
=14a2c2−a2+c2−b222，即证．
当a=3，b=5，c=7时，
S=14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=14[32×72−(32+72−522)2]=1534，
即△ABC面积为1534．
【答案】
(1)证明：因为nan+1−(n+1)an=n(n+1)，
所以an+1n+1−ann=1，即bn+1−bn=1，
所以{bn}为等差数列，
其首项为b1=a1=1，公差d=1．
所以bn=1+(n−1)=n．
(2)解：由(1)得，cn=n⋅2n，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，①
2Sn=1×22+2×23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，②
①−②得，−Sn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1．
∴ Sn=(n−1)⋅2n+1+2，
∴ 数列{cn}的前n项和为Sn=(n−1)⋅2n+1+2．
【考点】
数列的求和
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
（1）将已知等式两边同除以n(n+1)，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】
(1)证明：因为nan+1−(n+1)an=n(n+1)，
所以an+1n+1−ann=1，即bn+1−bn=1，
所以{bn}为等差数列，
其首项为b1=a1=1，公差d=1．
所以bn=1+(n−1)=n．
(2)解：由(1)得，cn=n⋅2n，
设数列{cn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，①
2Sn=1×22+2×23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，②
①−②得，−Sn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1．
∴ Sn=(n−1)⋅2n+1+2，
∴ 数列{cn}的前n项和为Sn=(n−1)⋅2n+1+2．
【答案】
解：(1)∵ 由csC=2a−c2b得
2bcsC+c=2a，
由正弦定理可知：
2sinBcsC+sinC=2sinA
=2sin(B+C)=2sinBcsC+2csBsinC，
∴ sinC=2csBsinC.
∵ sinC≠0，
∴ csB=12.
∵ B为三角形内角，
∴ B=π3.
(2)在△ABC中，csA=17，
∴ sinA=437，
∴ sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB
=437×12+17×32=5314，
∴ bc=sinBsinC=75.
设b=7x，c=5x，
∵ BD为AC边上的中线，BD=1292，
由余弦定理，得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsA，
∴ 1294=25x2+14×49x2−2×5x×12×7x×17，
解得x=1，
∴ b=7，c=5，
∴ S△ABC=12bcsinA=12×7×5×437=103．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角形求面积
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可．
（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果；
【解答】
解：(1)∵ 由csC=2a−c2b得
2bcsC+c=2a，
由正弦定理可知：
2sinBcsC+sinC=2sinA
=2sin(B+C)=2sinBcsC+2csBsinC，
∴ sinC=2csBsinC.
∵ sinC≠0，
∴ csB=12.
∵ B为三角形内角，
∴ B=π3.
(2)在△ABC中，csA=17，
∴ sinA=437，
∴ sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB
=437×12+17×32=5314，
∴ bc=sinBsinC=75.
设b=7x，c=5x，
∵ BD为AC边上的中线，BD=1292，
由余弦定理，得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsA，
∴ 1294=25x2+14×49x2−2×5x×12×7x×17，
解得x=1，
∴ b=7，c=5，
∴ S△ABC=12bcsinA=12×7×5×437=103．x
1
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2