2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）11月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）11月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 过点A(3, 4)且与直线l:x−2y−1=0垂直的直线的方程是( )
A.2x+y−10=0B.x+2y−11=0C.x−2y+5=0D.x−2y−5=0

2. 椭圆x22+y2=1上的一点P到焦点F1的距离等于1，则点P到另一个焦点F2的距离是( )
A.1B.3C.2−1D.22−1

3. 已知直线 l1:2x−y−1=0与 l2:a−1x−3y−2=0，若 l1//l2，则a=( )
A.5B.6C.7D.8

4. 直线x+y+2=0被圆x2+y2+4x−4y+4=0截得的弦长等于( )
A.2B.2C.22D.42

5. 如图，在圆C:x+42+y2=100内有一点A4,0，点Q为圆C上一动点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，则动点M的轨迹方程为( )

A.x225−y29=1B.x225+y29=1
C.x225−y29=1x≤−5D.x225+y216=1

6. 直线l是抛物线x2=2y在点−2,2处的切线，点P是圆x2−4x+y2=0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于( )
A.0B.655C.655−2D.65

7. 已知斜率为k的直线l与双曲线C:x22−y2=1交于A，B两点，线段AB的中点为M2,1，则直线l的方程为( )
A.2x−y−3=0B.2x−y−5=0C.x−2y=0D.x−y−1=0

8. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，|PF1→|=2|PF2→|=2m(m>0)，PF1→⋅PF2→=m2，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±12xB.y=±22xC.y=±xD.y=±2x
二、多选题

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上存在点P，使得|PF1|=4|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A.23B.12C.35D.34

设椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是( )
A.当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6
B.当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为3
C.存在点P，使PF1⊥PF2
D.|PF1|的取值范围是1,3

已知O为坐标原点，M1,2，P是抛物线C:y2=2px上的一点，F为其焦点，若F与双曲线x23−y2=1的右焦点重合，则下列说法正确的有( )
A.若|PF|=6，则点P的横坐标为4
B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为233
C.若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D.△PMF周长的最小值为3+5

椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是( )
A.过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B.椭圆C上存在点P，使得PF1→⋅PF2→=0
C.椭圆C的离心率为12
D.P为椭圆x24+y2=1上一点，Q为圆x2+y2=1上一点，则点P，Q的最大距离为3
三、填空题

由直线l：2x+y−4=0上的任意一个点向圆C：(x+1)2+(y−1)2=1引切线，则切线长的最小值为________.

已知直线l：x+my+4=0，若曲线x2+y2+2x−6y+1=0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为________．

已知椭圆x225+y216=1 ，A3,0 ，B−2,1，点M是椭圆上的一动点，则|MA|+|MB|的最小值为________.

已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点. 若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为________.
四、解答题

在△ABC中，边AB所在的直线方程为x+3y=2，其中顶点A的纵坐标为1，顶点C的坐标为1,2.
(1)求AB边上的高所在的直线方程；

(2)若CA，CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程.

一动点到两定点距离的比值为正常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．已知两定点A，B的坐标分别为：A4,0，B1,0，动点M满足|AM|=2|BM|.
(1)求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；

(2)过P2,3作该圆的切线l，求l的方程．

已知点P0,1及圆C： x2+y2+4x−4y−8=0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；

(2)求过P点的圆C的弦的中点M的轨迹方程.

已知椭圆经过点P−3,0和点Q0,−2，一直线与椭圆相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M1,1.
(1)求椭圆的方程；

(2)求弦AB所在的直线方程．

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率e=233，直线l过A(a, 0)，B(0, −b)两点，原点O到直线l的距离是32.
(1)求双曲线的方程；

(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若OM→⋅ON→=−23，求直线m的方程.

在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0 右焦点F的直线x+y−2=0交椭圆C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为13.
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于D，E两点，问：在x轴上是否存在定点M，使得MD→⋅ME→为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的点斜式方程
【解析】
由已知两条直线垂直得到所求直线的斜率，再由点斜式得到直线方程．
【解答】
解：因为直线与直线l:x−2y−1=0垂直，所以直线的斜率为−2，
直线过点A(3, 4)，
所以直线的方程为2x+y−10=0.
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a=22，|PF1|=1，
∴ |PF2|=22−1．
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用直线与直线平行的性质直接求解即可得到结果．
【解答】
解：因为l1//l2，
所以2a−1=−1−3，
解得a=7.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
本题先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可．
【解答】
解：将圆的一般方程x2+y2+4x−4y+4=0化为标准方程x+22+y−22=4，
∴ 圆心坐标为(−2,2)，半径为2，
∴ 圆心到直线x+y+2=0的距离d=|−2+2+2|2=2，
∴ 直线x+y+2=0被圆x2+y2+4x−4y+4=0截得的弦长l=222−22=22.
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
轨迹方程
圆锥曲线的轨迹问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题，连接MA，
因为圆C：x+42+y2=100，
所以圆心C为−4,0，半径R=10，
由垂直平分线的性质可知MQ=MA，
则MC+MA=MC+MQ=CQ=R=10，
则动点M的轨迹为焦点为±4,0的椭圆，
且2a=10，即a=5，
则b2=a2−c2=9，
故动点M的轨迹方程为 x225+y29=1.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
本题由导数的几何意义求得切线l的方程，再利用圆心到直线的距离减半径即为点P到直线的距离的最小值．
【解答】
解：抛物线x2=2y，即y=x22，则y′=x，
∴ 切线斜率为−2，
则切线l的方程为y−2=−2x+2，即2x+y+2=0.
将圆的一般方程x2−4x+y2=0转化为标准方程(x−2)2+y2=4，
∴ 圆心坐标为(2,0)，半径为2，
∴ 圆心2,0到l的距离d=4+222+1=655，
∴ 点P到直线l的距离的最小值是655−2.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
本题通过交点A、B以及线段AB的中点M2,1求出直线的斜率，最后求出直线。
【解答】
解：设Ax1,y1，x2,y2，由题意可得
y1+y2=2×1=2，x1+x2=2×2=4，
则y12=x122−1,y22=x222−1,⇒y2−y112(x2−x1)=x2+x1y1+y1=42=2
⇒y2−y1x2−x1=2×12=1，
所以k=1，因为直线过点M2,1，
所以直线l的方程为x−y−1=0.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的定义
双曲线的渐近线
平面向量数量积
【解析】
利用双曲线的定义求出m＝2a，结合向量的数量积，求出∠F1PF2，利用余弦定理求解关系式，推出渐近线方程即可．
【解答】
解：根据双曲线的定义，得|PF1→|−|PF2→|=2a.
又|PF1→|=2|PF2→|=2m，
∴ |PF1→|=4a，|PF2→|=2a，
∴ m=2a．
设F1F2=2c.
∵ F1F2→2=PF2→−PF1→2
=PF2→2+PF1→2−2PF1→⋅PF2→，
即4c2=4a2+16a2−8a2，
解得c2=3a2，
∴ a2+b2=3a2，
∴ b2a2=2，
∴ 双曲线的渐近线方程为y=±2x.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据椭圆的焦距的定义和焦三角形的三边关系求出ca的取值范围即可.
【解答】
解：设椭圆的焦距为2c，由已知及椭圆的定义可知：
PF1=4PF2,PF1+PF2=2a,
所以PF1=85a，PF2=25a.
因为8a5≤a+c,2a5≥a−c,
所以35≤ca<1，
所以A，C，D均属于以上范围.
故选ACD.
【答案】
A,B,D
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆方程可知，a=2，b=3，从而c=a2−b2=1，
根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，
又|F1F2|=2c=2，
所以△PF1F2 的周长是6，故A项正确；
设点Px0,y0y0≠0，
因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|，
因为0<|y0|≤b=3,
则△PF1F2 面积的最大值为3，故B项正确；
当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2 为最大，
此时，|PF1|=|PF2|=a=2，
又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60∘，
所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故C项错误；
当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，
此时|PF1|=a+c=3；
当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，
此时|PF1|=a−c=1，
所以|PF1|∈1,3，故D项正确.
故选ABD.
【答案】
A,B,C,D
【考点】
双曲线的标准方程
抛物线的标准方程
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】

【解答】
解：因为双曲线的方程为x23−y2=1，
所以a2=3，b2=1，则c=a2+b2=2，
因为抛物线C的焦点F与双曲线x23−y2=1的右焦点重合，
所以p2=2，即p=4，
选项A，若|PF|=6，则点P的横坐标为x0=|PF|−p2=4，所以选项A正确；
选项B，因为抛物线C的焦点F与双曲线x23−y2=1的右焦点重合，
所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为2b2a=23=233，所以选项B正确；
选项C，因为O0,0，F2,0，
所以△POF外接圆的圆心的横坐标为1，
又因为△POF外接圆与抛物线C的准线相切，
所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离等于半径，
所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以r=3，
所以该外接圆面积为S=πr2=9π，所以选项C正确；
选项D，因为△PMF的周长为
C=|PF|+|PM|+|MF|=xP+p2+|PM|+5
=xP+|PM|+2+5≥xM+2+5=3+5，
所以选项D正确.
故选ABCD.
【答案】
A,B,D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
平面向量数量积
直线与圆的位置关系
【解析】

【解答】
解：对于选项A，由椭圆定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4，
∴ △ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8，故选项A正确；
对于选项B，设点Px,y为椭圆C：x24+y2=1上任意一点，
则点P坐标满足x24+y2=1，且−2≤x≤2.
又F1−3,0，F23,0，
∴ PF1→=−3−x,−y，PF2→=3−x,−y，
∴ PF1→⋅PF2→
=−3−x3−x+y2
=x2−3+1−x24
=3x24−2.
由PF1→⋅PF2→=3x24−2=0，得x=263，x∈−2,2，故选项B正确；
对于选项C，由椭圆方程可知，a2=4，b2=1，
∴ c2=4−1=3，即c=3，
∴ e=ca=32，故选项C错误；
对于选项D，设点Px,y为椭圆C：x24+y2=1上任意一点，
则点Px,y到圆x2+y2=1的圆心的距离：
|PO|=x2+y2=4−4y2+y2=4−3y2.
∵ −1≤y≤1，
∴ |PQ|max=|PO|max+1=4−0+1=3，故选项D正确.
故选ABD．
三、填空题
【答案】
2
【考点】
圆的切线方程
【解析】
利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结论．
【解答】
解：圆心坐标C(−1, 1)，半径R=1，
设直线l上的任意一个点为D，
要使切线长|DA|最小，则只需要点D到圆心的距离最小，
此时最小值为圆心C到直线l的距离
d=|−2+1−4|22+12=55=5，
此时|DA|=d2−R2=5−1=4=2.
故答案为：2.
【答案】
−1
【考点】
关于点、直线对称的圆的方程
直线与圆相交的性质
【解析】
曲线x2+y2+2x−6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值
【解答】
解：由曲线方程x2+y2+2x−6y+1=0整理，得(x+1)2+(y−3)2=9，
∴ 曲线方程表示圆心为(−1, 3)，半径为3的圆．
又点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴ 圆心(−1, 3)在直线l上，
则−1+3m+4=0，
解得m=−1．
故答案为：−1．
【答案】
10−2
【考点】
椭圆的应用
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】

【解答】
解：由题意知，A(3,0)为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，
由椭圆的定义知|MF1|+|MA|=10，
所以|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF1|，
又||MB|−|MF1||≤|BF1|，|BF1|=2，
如图，设直线BF1交椭圆于M1，M2两点，
当M为点M1时，|MB|−|MF1|最小，最小值为10−2.
故答案为：10−2.
【答案】
33
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】

【解答】
解：如图，设△PF2Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为PF2的中点，
则△PF2Q为等腰三角形，|PQ|=|QF2|.
设|PF1|=m ，|PF2|=n，
由椭圆的定义，得m+n=2a.
又由切线的性质，得m=12n，
解得m=2a3 ,n=4a3.
设|QF1|=t，|QF2|=2a−t，
由|QF1|=t=|QP|−|PF1|=2a−t−2a3，
解得t=2a3，
∴ |QF1|=2a3，
∴ △PF2Q为等边三角形，
∴ 2c=32×4a3，
∴ e=ca=33.
故答案为：33.
四、解答题
【答案】
解：(1)AB边上的高过C(1,2)，
因为AB边上的高所在的直线与AB所在的直线x+3y=2互相垂直，
故其斜率为3，方程为：3x−y−1=0.
(2)由题A点坐标为(−1,1)，C(1,2)，
所以CA的中点E−1+12,1+22，
∴ E0,32.
EF是△ABC的一条中位线，
所以EF//AB，
直线AB所在的直线为x+3y=2，其斜率为：kAB=−13，
所以EF的斜率为−13，
所以直线EF的方程为：y=−13(x−0)+32，
化简可得：2x+6y−9=0.
【考点】
直线的一般式方程
中点坐标公式
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
由斜率求直线方程.
由中点坐标公式和直线斜率求解直线方程.
【解答】
解：(1)AB边上的高过C(1,2)，
因为AB边上的高所在的直线与AB所在的直线x+3y=2互相垂直，
故其斜率为3，方程为：3x−y−1=0.
(2)由题A点坐标为(−1,1)，C(1,2)，
所以CA的中点E−1+12,1+22，
∴ E0,32.
EF是△ABC的一条中位线，
所以EF//AB，
直线AB所在的直线为x+3y=2，其斜率为：kAB=−13，
所以EF的斜率为−13，
所以直线EF的方程为：y=−13(x−0)+32，
化简可得：2x+6y−9=0.
【答案】
解：(1)设动点M的坐标为x,y，
则|AM|=x−42+y2，|BM|=x−12+y2.
又|AM|=2|BM|，
即x−42+y2=2x−12+y2，
整理，得x2+y2=4．
故动点M的阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2=4．
(2)当直线l的斜率存在且为k时，设直线l的方程为y−3=k(x−2)，
整理，得y−kx+2k−3=0.
又直线l与圆相切，
则d=|−2k+3|k2+1=2，
解得k=512，
则直线l的方程为5x−12y+26=0；
当直线l的斜率k不存在时，此时直线l的方程为x=2.
综上所述，直线l的方程为x=2或5x−12y+26=0．
【考点】
轨迹方程
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
直线的点斜式方程
【解析】


【解答】
解：(1)设动点M的坐标为x,y，
则|AM|=x−42+y2，|BM|=x−12+y2.
又|AM|=2|BM|，
即x−42+y2=2x−12+y2，
整理，得x2+y2=4．
故动点M的阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2=4．
(2)当直线l的斜率存在且为k时，设直线l的方程为y−3=k(x−2)，
整理，得y−kx+2k−3=0.
又直线l与圆相切，
则d=|−2k+3|k2+1=2，
解得k=512，
则直线l的方程为5x−12y+26=0；
当直线l的斜率k不存在时，此时直线l的方程为x=2.
综上所述，直线l的方程为x=2或5x−12y+26=0．
【答案】
解：(1)圆C：x2+y2+4x−4y−8=0可变形为：
x+22+y−22=16，
故圆心C−2,2，半径R=4.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=0，
圆心到直线的距离d=2，
弦长242−22=43，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，
圆心到直线的距离d=−2k−2+1k2+1，
所以可得−2k−1k2+1=42−4322，
解得k=34，对应的直线方程为y=34x+1，即3x−4y+4=0，
综上所求直线l的方程为x=0或3x−4y+4=0.
(2)由题设M是弦的中点，得CM垂直过点P的直线，
∴ 三角形CMP是直角三角形，
∴M的轨迹是以CP为直径的圆，
则圆心−1,32，半径12−22+2−12=52，
则圆的方程：x+12+y−322=54，
整理得x2+y2+2x−3y+2=0.
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线与圆相交的性质
轨迹方程
【解析】
(1)利用直线与圆相交，半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成勾股定理得解，注意对直线的斜率进行讨论.
(2)利用M是弦的中点，M的轨迹是以CP为直径的圆，可得解.
【解答】
解：(1)圆C：x2+y2+4x−4y−8=0可变形为：
x+22+y−22=16，
故圆心C−2,2，半径R=4.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=0，
圆心到直线的距离d=2，
弦长242−22=43，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，
圆心到直线的距离d=−2k−2+1k2+1，
所以可得−2k−1k2+1=42−4322，
解得k=34，对应的直线方程为y=34x+1，即3x−4y+4=0，
综上所求直线l的方程为x=0或3x−4y+4=0.
(2)由题设M是弦的中点，得CM垂直过点P的直线，
∴ 三角形CMP是直角三角形，
∴M的轨迹是以CP为直径的圆，
则圆心−1,32，半径12−22+2−12=52，
则圆的方程：x+12+y−322=54，
整理得x2+y2+2x−3y+2=0.
【答案】
解：(1)由题意可知，该椭圆的焦点在x轴，
则设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1.
因为椭圆经过点P−3,0和点Q0,−2，
所以得a=3，b=2，
所以椭圆的标准方程为x29+y24=1.
(2)因为弦AB的中点坐标为M(1,1)，
所以该直线的斜率必存在，
设斜率为k，
则有y−1=k(x−1)，
即y=kx−(k−1)，
联立y=kx−(k−1)，x29+y24=1，
得9k2+4x2−18k2−18kx+9k2+9−18k=36.
设Ax1,y1，Bx2,y2,
由韦达定理得x1+x2=18k2−18k9k2+4=2，
解得k=−49,
则AB所在的直线方程为：y=−49x+139.
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
椭圆的标准方程
【解析】
(1)直接判断出焦点的位置，设出对应的标准方程，由于点特殊，直接得到a，b，即得到标准方程；
(2)该直线斜率存在，直接设设斜率，表示出直线，联立椭圆，消去y，用韦达定理求造出方程，计算出斜率，即可得到直线方程.
【解答】
解：(1)由题意可知，该椭圆的焦点在x轴，
则设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1.
因为椭圆经过点P−3,0和点Q0,−2，
所以得a=3，b=2，
所以椭圆的标准方程为x29+y24=1.
(2)因为弦AB的中点坐标为M(1,1)，
所以该直线的斜率必存在，
设斜率为k，
则有y−1=k(x−1)，
即y=kx−(k−1)，
联立y=kx−(k−1)，x29+y24=1，
得9k2+4x2−18k2−18kx+9k2+9−18k=36.
设Ax1,y1，Bx2,y2,
由韦达定理得x1+x2=18k2−18k9k2+4=2，
解得k=−49,
则AB所在的直线方程为：y=−49x+139.
【答案】
解：(1)依题意，直线l的方程xa+y−b=1，
即bx−ay−ab=0，
由原点O到直线l的距离为32，得|−ab|a2+b2=abc=32，
又e=ca=233，
∴ b=1，a=3.
故所求双曲线方程为x23−y2=1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx−1，点M，N坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，
联立得方程组y=kx−1,x23−y2=1,
消去y，得(1−3k2)x2+6kx−6=0，①
依题意，1−3k2≠0，由根与系数关系，
知x1+x2=6k3k2−1，x1x2=63k2−1，
OM→⋅ON→=(x1, y1)⋅(x2, y2)=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1−1)(kx2−1)
=(1+k2)x1x2−k(x1+x2)+1
=6(1+k2)3k2−1−6k23k2−1+1=63k2−1+1，
又∵ OM→⋅ON→=−23，
∴ 63k2−1+1=−23，解得k=±12，
当k=±12时，方程①有两个不相等的实数根，
∴ 方程为y=12x−1或y=−12x−1.
【考点】
双曲线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．
（2）设m方程为y=kx−1，则点M、N坐标(x1, y1)，(x2, y2)是方程组y=kx−1x23−y2=1的解，消去y，得(1−3k2)x2+6kx−6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．
【解答】
解：(1)依题意，直线l的方程xa+y−b=1，
即bx−ay−ab=0，
由原点O到直线l的距离为32，得|−ab|a2+b2=abc=32，
又e=ca=233，
∴ b=1，a=3.
故所求双曲线方程为x23−y2=1.
(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx−1，点M，N坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，
联立得方程组y=kx−1,x23−y2=1,
消去y，得(1−3k2)x2+6kx−6=0，①
依题意，1−3k2≠0，由根与系数关系，
知x1+x2=6k3k2−1，x1x2=63k2−1，
OM→⋅ON→=(x1, y1)⋅(x2, y2)=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1−1)(kx2−1)
=(1+k2)x1x2−k(x1+x2)+1
=6(1+k2)3k2−1−6k23k2−1+1=63k2−1+1，
又∵ OM→⋅ON→=−23，
∴ 63k2−1+1=−23，解得k=±12，
当k=±12时，方程①有两个不相等的实数根，
∴ 方程为y=12x−1或y=−12x−1.
【答案】
解：(1)设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，
则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式相减，得x1−x2x1+x2a2+y1−y2y1+y2b2=0.
又y1−y2x1−x2=−1，P为AB的中点，且OP的斜率为13，
所以y0=13x0，即y1+y2=13x1+x2，
解得a2=3b2，即a2=3a2−c2，
所以a2=32c2.
因为直线x+y−2=0交x轴于点F(2,0)，
所以c=2，
所以a2=6，b2=2，
所以椭圆C的方程为x26+y22=1．
(2)设直线l的方程为y=kx−2 .
由(1)可知，椭圆C的方程为x26+y22=1.
联立x26+y22=1，y=kx−2整理，得(3k2+1)x2−12k2x+12k2−6=0．
设D(x3,y3)，E(x4,y4)，
则x3+x4=12k21+3k2，x3x4=12k2−61+3k2，
由题意，假设x轴上存在定点Mt,0，使得MD→⋅ME→为定值，
则MD→⋅ME→
=x3−tx4−t+y3y4
=x3−tx4−t+k2x3−2x4−2
=k2+1x3x4−2k2+tx3+x4+4k2+t2
=k2+112k2−61+3k2−2k2+t12k21+3k2+4k2+t2
=3t2−12t+10k2+t2−61+3k2，
要使上式为定值，即与k无关，
所以3t2−12t+10=3t2−6，
解得t=73，
所以当点M的坐标为73,0时， MD→⋅ME→为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】


【解答】
解：(1)设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，
则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式相减，得x1−x2x1+x2a2+y1−y2y1+y2b2=0.
又y1−y2x1−x2=−1，P为AB的中点，且OP的斜率为13，
所以y0=13x0，即y1+y2=13x1+x2，
解得a2=3b2，即a2=3a2−c2，
所以a2=32c2.
因为直线x+y−2=0交x轴于点F(2,0)，
所以c=2，
所以a2=6，b2=2，
所以椭圆C的方程为x26+y22=1．
(2)设直线l的方程为y=kx−2 .
由(1)可知，椭圆C的方程为x26+y22=1.
联立x26+y22=1，y=kx−2整理，得(3k2+1)x2−12k2x+12k2−6=0．
设D(x3,y3)，E(x4,y4)，
则x3+x4=12k21+3k2，x3x4=12k2−61+3k2，
由题意，假设x轴上存在定点Mt,0，使得MD→⋅ME→为定值，
则MD→⋅ME→
=x3−tx4−t+y3y4
=x3−tx4−t+k2x3−2x4−2
=k2+1x3x4−2k2+tx3+x4+4k2+t2
=k2+112k2−61+3k2−2k2+t12k21+3k2+4k2+t2
=3t2−12t+10k2+t2−61+3k2，
要使上式为定值，即与k无关，
所以3t2−12t+10=3t2−6，
解得t=73，
所以当点M的坐标为73,0时， MD→⋅ME→为定值．