2020-2021学年江西省宜春市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年江西省宜春市高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A＝{x|x+1<2}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝（ ）
A.(1, 3)B.(−∞, 1)C.(−3, 3)D.(−3, 1)

2. 总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为( )

A.05B.09C.07D.20

3. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，⋯，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1，x2，⋯，xn的平均数B.x1，x2，⋯，xn的标准差
C.x1，x2，⋯，xn的最大值D.x1，x2，⋯，xn的中位数

4. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1∼35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139, 151]上的运动员人数是( )

A.3B.4C.5D.6

5. 圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为( )
A.x2+(y+2)2=5B.x2+(y−2)2=5
C.(x−2)2+y2=5D.(x−2)2+(y−2)2=5

6. 根据最小二乘法由一组样本点(xi, yi)（其中i＝1，2，…，300），求得的回归方程是y​=b​x+a​，则下列说法正确的是（ ）
A.至少有一个样本点落在回归直线y​=b​x+a​上
B.若所有样本点都在回归直线y​=b​x+a​上，则变量间的相关系数为1
C.对所有的解释变量xi(i＝1, 2….300)．bxi+a​的值一定与yi有误差
D.若回归直线y​=b​x+a​的斜率b>0，则变量x与y正相关

7. 如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为30∘，则MN和CD所成的角的大小为（ ）

A.15∘B.75∘C.30∘或60∘D.15∘或75∘

8. 已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2−3x(x≥0)，若函数g(x)=lg2x,x>0−1x,x<0 ，则y＝f(x)−g(x)的零点个数为（ ）
A.1B.3C.2D.4

9. 如图所示正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，则向正方形内随机掷一点P，该点落在阴影部分内的概率为（ ）

A.B.C.D.

10. 直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx−y−1＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（ ）
A.0B.1C.2D.3

11. 已知三棱锥P−ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为1，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60∘，则此球的表面积等于（ ）
A.4B.πC.12πD.16π

12. 如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB // 平面MNP的图形的序号为（ ）

A.①②B.③④C.①②③D.②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上）

某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S＝________．


某公司对2019年1∼4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：
利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为________.

已知A，B是圆O:x2+y2＝4上的两个动点，，．若M是线段AB的中点，则的值为________．

太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{(x, y)|x2+(y−1)2≤1或，设点(x, y)∈A，则z＝x+2y的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

已知圆C的圆心为(1, 1)，直线x+y−4＝0与圆C相切．
（1）求圆C的标准方程；

（2）若直线l过点(2, 3)，且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n2+n2(n∈N∗)
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65, 75)，第二组[75, 85)，……第八组[135, 145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．

如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点，PA＝AD，AB＝2，AD＝．

（1）求证：平面MPC⊥平面PCD；

（2）求三棱锥B−MNC的高．

已知函数g(x)对一切实数x，y∈R都有g(x+y)−g(y)=x(x+2y−2)成立，且g(1)=0，f(x)=g(x)x.
(1)求g(0)的值和g(x)的解析式；

(2)若关于x的方程f(|2x−1|)+2k|2x−1|−3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省宜春市高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵ A＝{x|x<1}，B＝{x|−3∴ A∩B＝(−3, 1)．
2.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且为小于或等于50的编号，注意重复的数值要舍去，由此求出答案．
【解答】
解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，
由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为
08，02，14，07，⋯，所以选出的第4个数值为07．
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：标准差能反映一组数据的稳定程度.
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
系统抽样方法
【解析】
对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为15，然后各层按照此比例抽取．
【解答】
解：将35名运动员的成绩分成7组，如下：
第一组(130, 130, 133, 134, 135)；
第二组(136, 136, 138, 138, 138)；
第三组(139, 141, 141, 141, 142)；
第四组(142, 142, 143, 143, 144)；
第五组(144, 145, 145, 145, 146)；
第六组(146, 147, 148, 150, 151)；
第七组(152, 152, 153, 153, 153).
每组抽一人，成绩在[139, 151]上的为第三、四、五、六组，
故共有4人.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
关于点、直线对称的圆的方程
【解析】
求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为(2, 0)，半径还是2，从而求得所求的圆的方程．
【解答】
解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为(2, 0)，半径不变，还是5，
故对称圆的方程为(x−2)2+y2=5.
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据样本点可能全部不在回归直线上，可得A错；根据相关系数绝对值为1，即r＝±1时，所有样本点都在y​=b​x+a​上，可判断B错误；根据所有的样本点都在y​=b​x+a​上时，变量之间的关系为函数关系，此时bxi+a​的值与yi相等，可判断C错误；根据相关系数r与b符号相同，故b>0可得变量x与y正相关，可得D正确．
【解答】
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；
所有样本点都在y​=b​x+a​上，则变量间的相关系数为±1，故B错误；
若所有的样本点都在y​=b​x+a​上，则bxi+a​的值与yi相等，故C错误；
相关系数r与b符号相同，若y​=b​x+a​的斜率b​>0，则r>0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
【解析】
y＝f(x)−g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与函数g(x)=lg2x,x>0−1x,x<0 的交点的个数，作图求解．
【解答】
y＝f(x)−g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与函数g(x)=lg2x,x>0−1x,x<0 的交点的个数，
作函数y＝f(x)与函数g(x)=lg2x,x>0−1x,x<0 的图象如下，
有3个交点，
9.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
在三角形中由余弦定理求出BC，进而求出底面外接圆的半径，再由三棱锥的体积求出高，再由三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心垂直于底面与中截面的交点，求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．
【解答】
AB＝2，AC＝1，
所以在三角形ABC中，余弦定理得：BC＝＝，
设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝＝，
所以r＝1，
又因为VP−ABC＝AB⋅AC⋅sin60∘⋅PA＝，
所以AP＝4．
由题意，三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心垂直于底面与中截面的交点，
设外接球的半径为R，则R2＝r5+（）​2＝2+3＝4，
所以外接球的表面积为S＝8πR2＝16π，
12.
【答案】
C
【考点】
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上）
【答案】
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
y=0.95x+4
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b​与a​的方程组，求解即可得到y关于x的线性回归方程．
【解答】
解：由已知表格中的数据可得，
x¯=1+2+3+44=2.5，y¯=5+6+6.5+84=25.54，
设线性回归方程为y=bx+a，
∴ 25.54=2.5b+a，①
又11.6=8b+a，②
联立①②解得：b=0.95，a=4．
∴ y关于x的线性回归方程为y=0.95x+4．
故答案为：y=0.95x+4.
【答案】
3
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
，2+
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共6小题共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
圆心C(1, 1)到直线x+y−4＝0的距离d=|1+1−4|2=2．
∵ 直线x+y−4＝0与圆C相切，∴ r＝d=2．
∴ 圆的标准方程为：(x−1)2+(y−1)2＝2．
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y−3＝k(x−2)，
即：kx−y+3−2k＝0，d=|2−k|k2+1，又d2+1＝2，∴ d＝1．
解得：k=34．
∴ 直线l的方程为：3x−4y+6＝0．
②当l的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：(y−1)2＝1，解得y＝1±1，可得弦长＝2，满足条件．
故l的方程为：3x−4y+6＝0或x＝2．
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
（1）利用点到直线的距离可得：圆心C(1, 1)到直线x+y−4＝0的距离d．根据直线x+y−4＝0与圆C相切，可得r＝d．即可得出圆的标准方程．
（3）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y−3＝k(x−2)，即：kx−y+3−2k＝0，可得圆心到直线l的距离d，又d2+1＝2，可得：k．即可得出直线l的方程．
②当l的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：(y−1)2＝1，解得y可得弦长，即可验证是否满足条件．
【解答】
圆心C(1, 1)到直线x+y−4＝0的距离d=|1+1−4|2=2．
∵ 直线x+y−4＝0与圆C相切，∴ r＝d=2．
∴ 圆的标准方程为：(x−1)2+(y−1)2＝2．
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y−3＝k(x−2)，
即：kx−y+3−2k＝0，d=|2−k|k2+1，又d2+1＝2，∴ d＝1．
解得：k=34．
∴ 直线l的方程为：3x−4y+6＝0．
②当l的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：(y−1)2＝1，解得y＝1±1，可得弦长＝2，满足条件．
故l的方程为：3x−4y+6＝0或x＝2．
【答案】
根据题意，数列{an}的前n项和Sn=n2+n2，①
则Sn−1=(n−1)2+(n−1)2，②(n≥2)
①-②可得：an＝Sn−Sn−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，(n≥2)，
即an＝n，③
当n＝1时，a1＝S1=1+12=1，符合③式，
故an＝n；
数列bn=1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
则Tn＝b1+b2+...+bn=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)＝1−1n+1=nn+1．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）根据题意，Sn=n2+n2①，由此构造Sn−1=(n−1)2+(n−1)2(n≥2)②，两式相减即可得an＝Sn−Sn−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，验证a1是否符合该公式，综合即可得答案；
（2）根据题意，可得bn=1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则Tn＝(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)，消项计算即可得答案．
【解答】
根据题意，数列{an}的前n项和Sn=n2+n2，①
则Sn−1=(n−1)2+(n−1)2，②(n≥2)
①-②可得：an＝Sn−Sn−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，(n≥2)，
即an＝n，③
当n＝1时，a1＝S1=1+12=1，符合③式，
故an＝n；
数列bn=1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
则Tn＝b1+b2+...+bn=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)＝1−1n+1=nn+1．
【答案】
解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：
1−(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)×10=0.08．
完成频率分布直方图如下：
(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10
+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10
+130×0.008×10+140×0.004×10=102．
(3)样本成绩属于第六组的有0.006×10×50=3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50=2人，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件总数n=C52=10，
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m=C32+C22=4，
∴ 他们的分差的绝对值小于10分的概率p=mn=410=25．
【考点】
频数与频率
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）由频率分布直方图能求出第七组的频率，由此能完成频率分布直方图．
（2）用样本数据能估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分．
（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n=C52=10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出他们的分差的绝对值小于10分的概率．
【解答】
解：(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：
1−(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)×10=0.08．
完成频率分布直方图如下：
(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10
+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10
+130×0.008×10+140×0.004×10=102．
(3)样本成绩属于第六组的有0.006×10×50=3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50=2人，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件总数n=C52=10，
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m=C32+C22=4，
∴ 他们的分差的绝对值小于10分的概率p=mn=410=25．
【答案】
证明：取PD中点为G，连接NG，M、N分别为AB，
∴ NG // CD，NG＝，AM // CDCD，
∴ AMNG是平行四边形，MN // AG，
∵ AG⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴ MN // 平面PAD
∴ MN // AG，
∵ PM＝MC＝，N为PC中点，即AG⊥PC，
∵ G为PD的中点，AP＝AD，且PD∩PC＝P，
AG⊥平面PDC，∴ MN⊥平面PDC，
∵ MN⊂平面MPC，∴ 平面MPC⊥平面PCD，
VB−MNC＝VN−MBC＝S△MBCPA，
S△MBC＝BC⋅BM＝，S△MNC＝MN⋅NC＝，
则点B到平面MNC的距离为ℎ＝＝．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：(1)令x=1，y=0得g(1)−g(0)=−1，
∵ g(1)=0，
∴ g(0)=1，
令y=0得g(x)−g(0)=x(x−2)，
即g(x)=x2−2x+1．
(2)当x=0时，2x−1=0则x=0不是方程的根，
方程f(|2x−1|)+2k|2x−1|−3k=0可化为：
|2x−1|2−(2+3k)|2x−1|+(1+2k)=0，|2x−1|≠0，
令|2x−1|=t，则方程化为：
t2−(2+3k)t+(1+2k)=0，(t>0)，
∵ 方程f(|2x−1|)+2k|2x−1|−3k=0有三个不同的实数解，
∴ 由t=|2x−1|的图象知，
t2−(2+3k)t+(1+2k)=0，(t>0)，有两个根t1、t2，
且0记ℎ(t)=t2−(2+3k)t+(1+2k)，
则ℎ(0)=2k+1>0，ℎ(1)=−k<0， 此时k>0，
或ℎ(0)=2k+1>0，ℎ(1)=−k=0，0<3k+22<1， 此时k无解，
综上实数k的取值范围是(0, +∞)．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数的求值
函数与方程的综合运用
【解析】
（1）利用抽象函数，结合已知条件通过x＝1，y＝0求解g(0)，然后求解函数的解析式即可．
（2）方程f(|2x−1|)+2k|2x−1|−3k＝0可化为：|2x−1|2−(2+3k)|2x−1|+(1+2k)＝0，|2x−1|≠0，令|2x−1|＝t，则方程化为t2−(2+3k)t+(1+2k)＝0，(t>0)，利用换元法，结合函数的图象构造函数，然后求解即可．
【解答】
解：(1)令x=1，y=0得g(1)−g(0)=−1，
∵ g(1)=0，
∴ g(0)=1，
令y=0得g(x)−g(0)=x(x−2)，
即g(x)=x2−2x+1．
(2)当x=0时，2x−1=0则x=0不是方程的根，
方程f(|2x−1|)+2k|2x−1|−3k=0可化为：
|2x−1|2−(2+3k)|2x−1|+(1+2k)=0，|2x−1|≠0，
令|2x−1|=t，则方程化为：
t2−(2+3k)t+(1+2k)=0，(t>0)，
∵ 方程f(|2x−1|)+2k|2x−1|−3k=0有三个不同的实数解，
∴ 由t=|2x−1|的图象知，
t2−(2+3k)t+(1+2k)=0，(t>0)，有两个根t1、t2，
且0记ℎ(t)=t2−(2+3k)t+(1+2k)，
则ℎ(0)=2k+1>0，ℎ(1)=−k<0， 此时k>0，
或ℎ(0)=2k+1>0，ℎ(1)=−k=0，0<3k+22<1， 此时k无解，
综上实数k的取值范围是(0, +∞)．月份x
1
2
3
4
利润y/万元
5
6
6.5
8