2020-2021年湖北省十堰市高二（上）1月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年湖北省十堰市高二（上）1月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设i为虚数单位，复数z=1+2i，则|z|=( )
A.3B.5C.5D.−3+4i

2. 已知命题p:∃x0∈R，x02−x0+14≤0，则¬p 为( )
A.∃x0∈R,x02−x0+14>0B.∃x0∈R,x02−x0+14<0
C.∀x∈R,x2−x+14≤0D.∀x∈R,x2−x+14>0

3. 已知方程x22+m−y2m−3=1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A.m>−2B.m>3C. m<−2或 m>3 D.−2
4. 复数z=1+i2−i在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5. 函数fx=lnxx，则f′e值为( )
A.0B.1C.1eD.1e2

6. 四面体ABCD中，AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=11，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A.12πB.14πC.16πD.18π

7. 设F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点.若椭圆上存在点P使得|PF1|−|PF2|=2b，|PF1|⋅|PF2|=b2，则该椭圆的离心率为( )
A.32B.22C.23D.34

8. 设直线x−3y+m=0m≠0与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于点A,B．若点 Pm,0满足 |PA|=|PB|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y=±2xB.y=±12xC.y=±3xD.y=±33x
二、多选题

下列说法错误的有( )
A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B.在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C.任意事件A发生的概率P(A)满足0D.若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A.A1C1//平面CEF
B.B1D⊥平面CEF
C.CE→=12DA→+DD1→−DC→
D.点D与点B1到平面CEF的距离相等

下列说法正确的有( )
A.不等式3x2+7x+2<0的解集是−2,−13
B.“a>1，b>1”是“ ab>1”成立的充分条件
C.命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p：∃x∈R，x2<0
D.“a<5”是“a<3”的必要条件

在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点A−2,0和B2,0连线的斜率之和恒等于2，则关于曲线C的结论正确的是( )
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
三、填空题

若复数z=a2−9+a−3i为纯虚数(i为虚数单位），则实数a的值为________.

求曲线y=lnx+1在x=1处的切线方程________．

在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为________．

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为33，N是直线MF与抛物线的一个交点，若MN→=2NF→，则p=________.
四、解答题

甲、乙两名同学参加投篮比赛，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求：
12人都投中的概率；

22人至少有1人投中的概率？

已知点P1,m是抛物线C:y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l:y=kx−1与抛物线C相交于不同的两点A，B．
1求抛物线C的方程；

2若|AB|=8，求k的值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=PA=2 ，AB=1 ，E为PC的中点．

1求证： BE⊥ 平面PDC；

2求二面角P−BD−C的余弦值．

为积极配合丹江口市2021年迎新长跑志愿者招募工作，丹江口市一中高二年级拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；

(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．

已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都为2，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘.

(1)证明：平面A1AC⊥平面A1BD；

(2)求直线A1D与直线AC所成的角θ的正弦值.

在平面直角坐标系xOy中动圆P与圆M：(x+1)2+y2=1外切，与圆N：(x−1)2+y2=9内切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程；

(2)直线l过点E(−1，0)且与动圆圆心P的轨迹交于A，B两点．是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积的最大值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021年湖北省十堰市高二(上)1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的模
【解析】
直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】
解：∵ z=1+2i，
∴ |z|=12+22=5．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：特称命题的否定为全称命题，
∴ ¬p 为∀x∈R,x2−x+14>0.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题，方程x22+m−y2m−3=1表示双曲线，
则(2+m)(3−m)<0，
m+2m−3>0，
m<−2或 m>3 .
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1+i2−i=1+i2+i2−i2+i=3i+15=15+35i ,
∴ 复数1+i2−i在复平面内对应的点位于第一象限.
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=lnxx的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1−lnxx2，
∴ f′(e)=1−lnee2=0.
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
根据四面体ABCD的三组对棱两两相等，将四面体放入长方体中，通过计算长方体体对角线，求得四面体外接球的半径，进而
求得外接球的表面积．
【解答】
解：因为空间四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，
所以可以将该四面体放入长方体中，
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则x2+y2=16,x2+z2=9,y2+z2=11,可得x2+y2+z2=18，
由于该四面体的外接球和长方体外接球为同一球，
所以外接球的直径等于长方体的体对角线，
即2R=x2+y2+z2=32，
所以球的表面积S=4πR2=18π.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
又|PF1|−|PF2|=2b，
解得|PF1|=a+b，|PF2|=a−b.
由|PF1|⋅|PF2|=b2，
可得(a+b)(a−b)=b2，
可得a=2b，
所以c=a2−b2=2b2−b2=b，
则该椭圆的离心率为e=ca=b2b=22．
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程分别为y=bax和 y=−bax，
依题意联立方程组
x−3y+m=0,y=bax,
得Aam3b−a,bm3b−a.
联立方程组
x−3y+m=0,y=−bax,
得 B−am3b+a,bm3b+a，
则线段AB的中点为M(a2m9b2−a2,3b2m9b2−a2)，
由题意得 PM⊥AB，且 kAB=13 ,
所以kPM=−3，
所以3mb29b2−a2−0ma29b2−a2−m=−3,
从而可得 a=2b，
所以该双曲线的渐近线方程为 y=±12x.
故选B．
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
概率的意义
用频率估计概率
随机事件
概率的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴ 随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴ A正确；
∵ 基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴ 一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴ B正确；
∵ 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，
∴ 任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴ C错误；
若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴ D错误.
∴ 说法错误的有两个.
故选CD.
【答案】
A,C
【考点】
点、线、面间的距离计算
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
空间向量运算的坐标表示
【解析】
采用逐一验证法，建立空间直角标系，根据线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理可知A，B正误，然后根据向量的坐标运算以及点面距相等的判定条件，可得结果．
【解答】
解：A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，
所以EF//A1C1，故A1C1//平面CEF成立，故A正确；
B，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，
则B1D→=−2,−2,−2，FC→=0,1,−2．
因为B1D→⋅FC→=0−2+4=2≠0，
所以B1D与FC不垂直，
又CF⊂平面CEF，
所以B1D⊥平面CEF不成立，故B错误；
C，因为CE→=1,−2,2，
12DA→+DD→1−DC→=122,0,0+0,0,2−0,2,0
=1,−2,2，
所以CE→=12DA→+DD→1−DC→成立，故C正确；
D，设点B1和点D到平面CEF的距离分别为ℎ1，ℎ2，
则VB1−CEF=13⋅ℎ1⋅S△CEF=VC−B1EF
=13×2×(2×2−2×12×2×1−12×1×1)=1，
VD−CEF=13⋅ℎ2⋅S△CEF=VE−CDF
=13×1×12×2×2=23，
所以ℎ1≠ℎ2，故D错误．
故选AC.
【答案】
A,B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的否定
一元二次不等式的解法
【解析】
不等式3x2+7x+2<0变形为3x+1x+2<0，解得−2由a>1,b>1⇒ab>1，反之不成立，故a>1,b>1是ab>1成立的充分条件.
命题p:∀x∈R,x2>0，则¬p:∃x∈R,x2≤0.
由a<5，不能得a<3，当a<3时，得到a<5.故a<5是a<3的必要条件.
【解答】
解：A，不等式3x2+7x+2<0可变形为3x+1x+2<0，
解得−2B，由a>1，b>1可推出ab>1，反之不成立，
故“a>1，b>1”是ab>1成立的充分条件，故正确；
C，命题p:∀x∈R，x2>0，
则¬p:∃x∈R，x2≤0，故错误；
D，由“a<5”不能推出“a<3”，
由“a<3”可推出“a<5”，
故“a<5”是“a<3”的必要条件，故正确.
故选ABD.
【答案】
B,C
【考点】
轨迹方程
函数的对称性
点与圆的位置关系
【解析】
由题设得曲线的方程为y=x−4xx≠0,x≠±2，
所以曲线C不是轴对称图形，是中心对称图形，原点为对称中心，
又因为x2+y2=x2+x−4x2=2x2+16x2−8≥22x2⋅16x2−8=82−8>2，
故曲线上的点都在圆x2+y2=2外，
代入点1,−3，得−3=1−41，所以点1,−3在曲线上，但横坐标的绝对值不大于2
【解答】
解：设P(x,y)，则kPA=yx+2，kPB=yx−2，
所以yx+2+yx−2=2(x≠±2），
整理得x2=xy+4，
曲线C的方程为y=x−4xx≠0，x≠±2，
所以曲线C不是轴对称图形，是中心对称图形，原点为对称中心，
故A错误，C正确；
又因为x2+y2=x2+x−4x2
=2x2+16x2−8≥22x2⋅16x2−8=82−8>2，
所以曲线C上的点都在圆x2+y2=2外，故B正确；
将点1,−3代入曲线C方程，得−3=1−41，
可知点1,−3在曲线C上，
但横坐标的绝对值不大于2，故D错误.
故选BC.
三、填空题
【答案】
−3
【考点】
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：复数z=a2−9+a−3i为纯虚数，
则a2−9=0，a−3≠0，
解得a=−3.
故答案为：−3.
【答案】
y=x
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：y=lnx+1的导数为y′=1x，
在点x=1处的切线斜率为k=1，
当x=1时，y=1，
所以曲线y=lnx+1在x=1处的切线方程为y−1=1×(x−1)，
即y=x.
故答案为：y=x.
【答案】
33
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，
∵ DD1⊥ 平面ABCD，
∴ ∠DBD1即为直线BD1与平面ABCD所成的角，
易知BD1=3，
∴ sin∠DBD1=DD1BD1=33.
故答案为：33．
【答案】
3
【考点】
抛物线的性质
抛物线的求解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：过N作NB⊥抛物线的准线于B，则|NF|=|NB|，
若MN→=2|NF→|，
则|MN|=2|NF|，
则|MN|=2|NF|=2|NB|，
即|BN||MN|=12，
则∠AMF=30∘，
∵ |AF|=p，
∴ |AM|=3p=33，
∴ p=3.
故答案为：3.
四、解答题
【答案】
解：1设甲投中为事件A，乙投中为事件B，
A与B为相互独立事件，
两人都投中的概率为PA∩B=PA×PB
=0.8×0.9=0.72.
2“两人中至少有一人投中“与“两人都未投中”为对立事件，
因为事件“两人都未投中”的概率为0.2×0.1=0.02，
所以“两人中至少有一人投中”的概率为1−0.02=0.98.
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
对立事件的概率公式及运用
【解析】
（1）甲投中事件为4，乙投中事件为B，A与B为相互独立事件，可得两人都投中的概率为：PA∩B=PA×PB
，即可求得答案
（2）因为“两人中至少有一人投中“与“两人都未投中“为对立事件，由于“两人都未投中”的概率为0.2×0.1，即可求得答案．
【解答】
解：1设甲投中为事件A，乙投中为事件B，
A与B为相互独立事件，
两人都投中的概率为PA∩B=PA×PB
=0.8×0.9=0.72.
2“两人中至少有一人投中“与“两人都未投中”为对立事件，
因为事件“两人都未投中”的概率为0.2×0.1=0.02，
所以“两人中至少有一人投中”的概率为1−0.02=0.98.
【答案】
解：(1)抛物线C:y2=2px的准线到y轴的距离为p2，
由|PF|=2得：1+p2=2，得p=2,
∴ 抛物线的方程为y2=4x.
2设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx−1，y2=4x，
整理得，k2x2−2k2+4x+k2=0，
Δ=16k2+16>0 ，
∴ x1+x2=2k2+4k2.
∵ 直线l经过抛物线C的焦点F,
∴ |AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8 ，
解得： k=±1，
∴ k的值为1或−1.
【考点】
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)抛物线C:y2=2px的准线到y轴的距离为p2，
由|PF|=2得：1+p2=2，得p=2,
∴ 抛物线的方程为y2=4x.
2设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx−1，y2=4x，
整理得，k2x2−2k2+4x+k2=0，
Δ=16k2+16>0 ，
∴ x1+x2=2k2+4k2.
∵ 直线l经过抛物线C的焦点F,
∴ |AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8 ，
解得： k=±1，
∴ k的值为1或−1.
【答案】
1证明：以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示， B1,0,0，D0,2,0，C2,2,0，P0,0,2，则E1,1,1，
∴ BE→=0,1,1，PC→=2,2,−2，DC→=2,0,0，
∴ BE→⋅PC→=0，BE→⋅DC→=0，
∴ BE⊥PC，BE⊥DC且PC∩DC=C，
∴ BE⊥ 平面 PDC.
2解：平面BDC的法向量m→=0,0,1，
设平面PBD的法向量为n→=x,y,z，
∵ DP→=0,−2,2，DB→=1,−2,0，
∴ DP→⋅n→=0，DB→⋅n→=0，
∴ −2y+2z=0，x−2y=0，
令y=1，则取得一个法向量n→=2,1,1，
∴ cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=16=66，
∴ 二面角P−BD−C的余弦值为−66.
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
1证明：以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示， B1,0,0，D0,2,0，C2,2,0，P0,0,2，则E1,1,1，
∴ BE→=0,1,1，PC→=2,2,−2，DC→=2,0,0，
∴ BE→⋅PC→=0，BE→⋅DC→=0，
∴ BE⊥PC，BE⊥DC且PC∩DC=C，
∴ BE⊥ 平面 PDC.
2解：平面BDC的法向量m→=0,0,1，
设平面PBD的法向量为n→=x,y,z，
∵ DP→=0,−2,2，DB→=1,−2,0，
∴ DP→⋅n→=0，DB→⋅n→=0，
∴ −2y+2z=0，x−2y=0，
令y=1，则取得一个法向量n→=2,1,1，
∴ cs=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=16=66，
∴ 二面角P−BD−C的余弦值为−66.
【答案】
解：(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为
1，2，3，4，5，6（其中1，2是男同学，3，4，5，6是女同学），
该学院6名同学中有4名当选的情况有
1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,3,6，1,2,4,5，1,2,4,6，
(1,2,5,6)，1,3,4,5，1,3,4,6，(1,3,5,6)，1,4,5,6，
2,3,4,5，2,3,4,6，2,3,5,6，(2,4,5,6)，3,4,5,6，
共15种，
当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有
1,3,4,5，1,3,4,6，1,3,5,6，1,4,5,6，
2,3,4,5，2,3,4,6，2,3,5,6，2,4,5,6，共8种，
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为PA=815.
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括两种情况，
①3名女同学当选，即恰有1名男同学当选，
由(1)知，当选的4名同学中，
恰有1名男同学的概率为PA=815；
②4名女同学当选，
而4名女同学当选的情况只有3,4,5,6这一种，
则其概率为PB=115；
综上所述，当选的4名同学中，
至少有3名女同学的概率为P=815+115=35.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
古典概型及其概率计算公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为
1，2，3，4，5，6（其中1，2是男同学，3，4，5，6是女同学），
该学院6名同学中有4名当选的情况有
1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,3,6，1,2,4,5，1,2,4,6，
(1,2,5,6)，1,3,4,5，1,3,4,6，(1,3,5,6)，1,4,5,6，
2,3,4,5，2,3,4,6，2,3,5,6，(2,4,5,6)，3,4,5,6，
共15种，
当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有
1,3,4,5，1,3,4,6，1,3,5,6，1,4,5,6，
2,3,4,5，2,3,4,6，2,3,5,6，2,4,5,6，共8种，
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为PA=815.
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括两种情况，
①3名女同学当选，即恰有1名男同学当选，
由(1)知，当选的4名同学中，
恰有1名男同学的概率为PA=815；
②4名女同学当选，
而4名女同学当选的情况只有3,4,5,6这一种，
则其概率为PB=115；
综上所述，当选的4名同学中，
至少有3名女同学的概率为P=815+115=35.
【答案】
(1)证明：设AC与BD的交点为O，连接 A1O，
因为 AB=AD，∠A1AB=∠A1AD，AA1=AA1，
所以△A1AB≅△A1AD(SAS)，
所以A1B=A1D.
又因为O是BD的中点，
所以A1O⊥BD.
因为BD⊥AC，AC∩A1O=O，AC⊂平面AA1C，A1O⊂平面AA1C，BD⊄平面AA1C，
所以BD⊥平面 A1AC.
因为BD⊂平面 A1BD，
所以平面A1AC⊥平面A1BD.
(2)解：连接A1C1，DC1，
因为A1C1//AC，则∠DA1C1或其补角为直线A1D与直线AC所成的角，
已知四棱柱的每个面均为有一个内角为60∘的菱形，则DA1=2，
A1C1=DC1=2×32×2=23，
在△DA1C1中，cs∠DA1C1=A1C12+A1D2−DC122A1C1⋅A1D
=12+4−122×23×2=36，
则sin∠DA1C1=1−362=336，
即直线A1D与直线AC所成的角θ的正弦值为336.
【考点】
平面与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：设AC与BD的交点为O，连接 A1O，
因为 AB=AD，∠A1AB=∠A1AD，AA1=AA1，
所以△A1AB≅△A1AD(SAS)，
所以A1B=A1D.
又因为O是BD的中点，
所以A1O⊥BD.
因为BD⊥AC，AC∩A1O=O，AC⊂平面AA1C，A1O⊂平面AA1C，BD⊄平面AA1C，
所以BD⊥平面 A1AC.
因为BD⊂平面 A1BD，
所以平面A1AC⊥平面A1BD.
(2)解：连接A1C1，DC1，
因为A1C1//AC，则∠DA1C1或其补角为直线A1D与直线AC所成的角，
已知四棱柱的每个面均为有一个内角为60∘的菱形，则DA1=2，
A1C1=DC1=2×32×2=23，
在△DA1C1中，cs∠DA1C1=A1C12+A1D2−DC122A1C1⋅A1D
=12+4−122×23×2=36，
则sin∠DA1C1=1−362=336，
即直线A1D与直线AC所成的角θ的正弦值为336.
【答案】
解：(1)设点Px,y，动圆P的半径为r，
由题意知，|PM|=r+1，|PN|=3−r，
∴ |PM|+|PN|=4>|MN|=2．
由椭圆定义可知，动圆圆心P在以M，N为焦点的椭圆上，
∴ a=2，c=a2−b2=1，
∴ b=3，轨迹方程为x24+y23=1．
由于圆M与圆N内切于点−2,0，则x≠−2．
因此，动圆圆心P的轨迹方程为x24+y23=1x≠−2．
(2)因为直线l过点E−1,0，
若直线l的方程为y=0，显然构成不了△AOB，故舍去；
故可设直线l的方程为x=my−1，
则3x2+4y2=12，x=my−1，
整理得3m2+4y2−6my−9=0，
由Δ=6m2+363m2+4=144m2+1>0，
设点Ax1,y1，Bx2,y2，
则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
则|y1−y2|=y1+y22−4y1y2，
=6m3m2+42−4×−93m2+4=12m2+13m2+4
因为S△AOB=12|OE|⋅|y1−y2|=12×1×12m2+13m2+4，
设t=m2+1≥1，则m2=t2−1，
则 S△AOB=6t3t2−1+4=6t3t2+1=63t+1t，
设gt=3t+1t，g′t=3t2−1t2，
所以g(t)在区间[1,+∞)上为增函数，
所以gtmin=g1=4，
所以S△AOB≤32，
当且仅当m=0时取等号，即S△AOBmax=32，
因此，△AOB面积的最大值为32.
【考点】
轨迹方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）设动圆圆加Px,y，半径为）．利用已知条件转化判断动圆圆心P在以M，N为焦点的椭圆上，求出a，b然后求解
椭圆的方程；
（2）设直线！的方程为x=my−1或y=0（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示1AOB的面积
，利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果．
【解答】
解：(1)设点Px,y，动圆P的半径为r，
由题意知，|PM|=r+1，|PN|=3−r，
∴ |PM|+|PN|=4>|MN|=2．
由椭圆定义可知，动圆圆心P在以M，N为焦点的椭圆上，
∴ a=2，c=a2−b2=1，
∴ b=3，轨迹方程为x24+y23=1．
由于圆M与圆N内切于点−2,0，则x≠−2．
因此，动圆圆心P的轨迹方程为x24+y23=1x≠−2．
(2)因为直线l过点E−1,0，
若直线l的方程为y=0，显然构成不了△AOB，故舍去；
故可设直线l的方程为x=my−1，
则3x2+4y2=12，x=my−1，
整理得3m2+4y2−6my−9=0，
由Δ=6m2+363m2+4=144m2+1>0，
设点Ax1,y1，Bx2,y2，
则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
则|y1−y2|=y1+y22−4y1y2，
=6m3m2+42−4×−93m2+4=12m2+13m2+4
因为S△AOB=12|OE|⋅|y1−y2|=12×1×12m2+13m2+4，
设t=m2+1≥1，则m2=t2−1，
则 S△AOB=6t3t2−1+4=6t3t2+1=63t+1t，
设gt=3t+1t，g′t=3t2−1t2，
所以g(t)在区间[1,+∞)上为增函数，
所以gtmin=g1=4，
所以S△AOB≤32，
当且仅当m=0时取等号，即S△AOBmax=32，
因此，△AOB面积的最大值为32.