_山东省泰安市肥城市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份_山东省泰安市肥城市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
2．已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数y＝经过点（2，﹣3），则该函数图象必经过点（　　）
A．（2，3） B．（﹣1，6） C．（﹣2，﹣3） D．（1，﹣）
4．在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．﹣1，4 B．﹣1，﹣4 C．1，4 D．1，﹣4
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠BCD的度数是（　　）

A．70° B．40° C．140° D．50°
6．如图，推动个小球沿倾斜角为α的斜坡向上行驶，若sinα＝，小球移动的水平距离AC＝12米，那么小球上升的高度BC是（　　）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
7．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图中所示的（　　）
A． B．
C． D．
8．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
9．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
11．如图，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2．把BC绕B逆时针旋转，使C恰好落在AD上的点E处，线段BC扫过部分为扇形BCE．则扇形BCE的面积是（　　）

A． B．1 C． D．
12．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，F点在边BC上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③DG＝FC；④点G到直线AD和直线CD的距离相等．其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为　 　．
14．若二次函数y＝﹣3（x﹣m）2﹣4的对称轴是直线x＝1，则反比例函数y＝经过第　 　象限．
15．如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A落在⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点D、E，则劣弧DE的度数为　 　．

16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cosB+sinB的值为 　 　．

17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，BC＝7，CD＝6，P是线段BC上的一点，若图中阴影部分的两个三角形相似，则PB的值为　 　．

18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
下列结论：
①a＞0；
②当x＜﹣2时，y的值随x的增大而减小；
③方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
④当x＝﹣2时，函数有最小值﹣6．
其中，正确结论的序号是　 　（把所有正确结论的序号都填上）．
三、解答题
19．用规定的方法解一元二次方程．
（1）x2+2x﹣＝0（配方法）；
（2）3（y﹣3）2＝2（3﹣y）（自己喜欢的方法）．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求DE的长．

21．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标
示意图


相关数据
CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°
求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）
【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】
22．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y＝（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB＝2cm（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）．
（1）求A点的坐标；
（2）求双曲线y＝的解析式；
（3）若经过A，C两点的直线解析式为y＝mx+b，请直接写出关于x的不等式mx+b﹣≤0解集．

23．如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．

24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AD＝2，BD＝3，则⊙O的直径＝　 　；
（3）若PC＝2PF，BF＝a，求CP（用a的代数式表示）．

25．直线AC：y＝﹣x+3与x轴y轴的交点分别为A、C，B点坐标为（﹣1，0）．
（1）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象恰好过A、C、B三点，求二次函数的解析式；
（2）P为抛物线上一点，且∠PCO＝∠POC，求点P的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）．①做DE⊥AC，垂足为点E，若DE＝CE，求D点坐标；
②线段DE是否存在最大值，若存在，求出D点坐标及这个最大值；若不存在，说明理由．

附加题：（供有兴趣的同学选择使用）
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E、G分别为AD、AC的中点，DF⊥BE，垂足为F，求证：FG＝DG．


2020-2021学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题。）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
所以cosA＝＝＝，
故选：C．
2．已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2＝，
故选：C．
3．已知反比例函数y＝经过点（2，﹣3），则该函数图象必经过点（　　）
A．（2，3） B．（﹣1，6） C．（﹣2，﹣3） D．（1，﹣）
【分析】将（2，﹣3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：将点（2，﹣3）代入原式得，k＝﹣6，
则xy＝﹣6，
A、2×3＝6，不符合解析式，故本选项错误；
B、﹣1×6＝﹣6，符合解析式，故本选项正确；
C、﹣2×（﹣3）＝6，不符合解析式，故本选项错误；
D、1×（﹣）＝﹣，不符合解析式，故本选项错误；
四个选项中只有B符合解析式，
故选：B．
4．在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．﹣1，4 B．﹣1，﹣4 C．1，4 D．1，﹣4
【分析】分别根据一元二次方程的一般形式中二次项系数和一次项系数的定义解答即可．
【解答】解：一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是﹣1，﹣4．
故选：B．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠BCD的度数是（　　）

A．70° B．40° C．140° D．50°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠A＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠DAB＝180°，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BCD＝140°，
故选：C．
6．如图，推动个小球沿倾斜角为α的斜坡向上行驶，若sinα＝，小球移动的水平距离AC＝12米，那么小球上升的高度BC是（　　）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
【分析】先由锐角三角函数定义得sinα＝＝，设BC＝5x米，则AB＝13x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinα＝＝，
设BC＝5x米，则AB＝13x米，
由勾股定理得：（5x）2+122＝（13x）2，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴BC＝5（米），
故选：A．
7．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图中所示的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
B、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；
C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，过点（0，c），由直线可知，a＜0，过点（0，c），正确．
故选：D．
8．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】根据正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，﹣），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，﹣），则B点坐标为（﹣x，），C（﹣x，﹣），
∴S△ABC＝×（﹣x﹣x）•（﹣﹣）＝×（﹣x）•（﹣）＝5．
故选：C．
10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【分析】根据一元二次方程的根的判别式Δ＝0列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，
解得，m＝2．
故选：C．
11．如图，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2．把BC绕B逆时针旋转，使C恰好落在AD上的点E处，线段BC扫过部分为扇形BCE．则扇形BCE的面积是（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】根据矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°，求出∠EBC＝∠AEB＝30°，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：∵BC＝2，把BC绕B逆时针旋转，使C恰好落在AD上的点E处，
∴BE＝BC＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∵AB＝1，BE＝2，
∴AB＝BE，
∴∠AEB＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB＝30°，
∴扇形EBC的面积是＝，
故选：A．
12．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，F点在边BC上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③DG＝FC；④点G到直线AD和直线CD的距离相等．其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由正方形的性质可得∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，可得∠EAB＝∠DAG，可判断①；由，∠FAC＝∠DAG，可证△FAC∽△DAG，可判断②；由△FAC∽△DAG可得：通过证明△AFH∽△ACF，可得，可判断③；由相似三角形的性质可得∠ADG＝∠ACB＝45°，可得∠CDG＝45°，则DG是∠ADC的平分线，可判断④；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△GAD，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，，
∴DG＝FC，故③正确，
∠CDG＝∠ADC﹣∠ADG＝45°，
∴DG是∠ADC的平分线，
∴点G到直线AD和直线CD的距离相等．故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
二、填空题（请将答案填写在相应位置。）
13．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为　﹣3　．
【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为﹣2，从而得出另一个根．
【解答】解：设方程的另一个根为m，则
1+m＝﹣2，
解得m＝﹣3．
故答案为﹣3．
14．若二次函数y＝﹣3（x﹣m）2﹣4的对称轴是直线x＝1，则反比例函数y＝经过第　一、三　象限．
【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝m，由已知条件可得m＝1，根据m＞0，判定反比例函数的图象经过的象限．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x﹣m）2﹣4的对称轴是直线x＝1，
∴m＝1，
∵m＝1＞0，
∴反比例函数y＝经过第一、三象限，
故答案为：一、三．
15．如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A落在⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点D、E，则劣弧DE的度数为　60°　．

【分析】求出∠EOD的度数，可得结论．
【解答】解：∵∠EOD＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∴的度数为60°，
故答案为：60°．
16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cosB+sinB的值为 　　．

【分析】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．利用勾股定理求出AB，可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．

在Rt△ABE中，∠E＝90°，AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴cosB＝＝，sinB＝＝，
∴cosB+sinA＝+＝，
故答案为：．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，BC＝7，CD＝6，P是线段BC上的一点，若图中阴影部分的两个三角形相似，则PB的值为　3或4或　．

【分析】分△ABP∽△PCD、△ABP∽△DCP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：设BP＝x，则PC＝7﹣x，
当△ABP∽△PCD时，，即，
解得，x1＝3，x2＝4，
当△ABP∽△DCP时，，即，
解得，x＝，
综上所述，图中两个阴影部分的两个三角形相似，则PB的值为3或4或，
故答案为：3或4或．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
下列结论：
①a＞0；
②当x＜﹣2时，y的值随x的增大而减小；
③方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
④当x＝﹣2时，函数有最小值﹣6．
其中，正确结论的序号是　①②③　（把所有正确结论的序号都填上）．
【分析】任取表格中三组对应值即可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的图象与系数之间的关键进行判断即可．
【解答】解：将（﹣4，0）、（0，﹣4）、（2，6）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，得：
，
解得：，
故此二次函数解析式为y＝x2+3x﹣4，
∴a＞0，①正确；
对称轴为x＝，当x＝函数值最小，④错误；
当x＜时，y随x的增大而减小，故x＜﹣2时，y的值随x的增大而减小，
②正确；
令x2+3x﹣4＝﹣5，整理得：x2+3x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，
故方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根，③正确．
故正确序号有：①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（请将答案填写在相应位置。）
19．用规定的方法解一元二次方程．
（1）x2+2x﹣＝0（配方法）；
（2）3（y﹣3）2＝2（3﹣y）（自己喜欢的方法）．
【分析】（1）利用等式的性质，先把方程转化为系数为整数的方程，再用配方法求解；
（2）先移项，再利用因式分解的提公因式法求解．
【解答】解：（1）原方程变形为：x2+4x＝5，
x2+4x+4＝5+4，
（x+2）2＝9，
所以x+2＝±3，
x＝﹣2±3，
∴x1＝1，x2＝﹣5；
（2）原方程可变形为：3（3﹣y）2﹣2（3﹣y）＝0，
∴（3﹣y）[3（3﹣y）﹣2]＝0，
即（3﹣y）（7﹣3y）＝0，
所以3﹣y＝0或7﹣3y＝0．
解得y1＝3，y2＝．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求DE的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，根据题意得到∠AFD＝∠C，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴．
21．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标
示意图


相关数据
CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°
求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）
【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】
【分析】解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：在Rt△DGF中，
∵FG＝DG×tan∠FDG，
＝CE×tan∠FDG
＝25×tan44°
＝24.25，
∴FE＝FG+GE
＝FG+CD，
＝24.25+10
≈34（米）
答：铁塔FE的高度约为34米．
22．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y＝（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB＝2cm（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）．
（1）求A点的坐标；
（2）求双曲线y＝的解析式；
（3）若经过A，C两点的直线解析式为y＝mx+b，请直接写出关于x的不等式mx+b﹣≤0解集．

【分析】（1）由题意可直接得答案；
（2）把A点坐标代入解析式中即可得k的值；
（3）观察图象即可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知A（2，3），
故答案为（2，3）；
（2）将A点坐标代入中，得：，
∴k＝6，
∴双曲线的解析式为；
（3）由图象可知，点D横坐标为4，则关于x的不等式的解集是0＜x≤2或x≥4．
23．如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．

【分析】（1）根据题意得出长×宽＝96，进而得出答案；
（2）根据题意得出长×宽＝110，得到方程无解即可．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，
依题意的方程：x（34+2﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8，
答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；

（2）假设长方形ABCD的面积是110平方米，
依题意得：x（34+2﹣3x）＝110．即3x2﹣36x+110＝0，
∵Δ＝（﹣36）2﹣4×3×110＝﹣24＜0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴假设不成立，
∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．
24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AD＝2，BD＝3，则⊙O的直径＝　　；
（3）若PC＝2PF，BF＝a，求CP（用a的代数式表示）．

【分析】（1）证明∠CDF+∠FDB＝90°，即∠CDB＝90°，进而得出结论；
（2）证明△ACD∽△CBD，求出CD＝即可；
（3）证明△PCF∽△PBC，得出＝＝，则PF＝BF＝a，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝∠EFD，∠EFD＝∠FDB+∠FBD，
∴∠EBC＝∠FDB，
∵∠CEB＝∠CDF，
∴∠CDF+∠FDB＝90°，
即∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：∵∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD•BD＝2×3＝6，
∴CD＝，
∴⊙O的直径为，
故答案为：．
（3）解：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴∠DCF+∠CDF＝90°，
又∵∠CDB＝90°，
∴∠FDB+∠CDF＝90°，
∴∠FDB＝∠DCF，
∵∠EBC＝∠FDB，
∴∠EBC＝∠DCF，
∴△PCF∽△PBC，
∴＝，
∵PC＝2PF，
∴＝＝
∴PB＝2PC＝4PF，
又PB＝PF+BF，
∴4PF＝PF+BF，
∴PF＝BF＝a，
∵PC＝2PF．
∴PC＝a．
25．直线AC：y＝﹣x+3与x轴y轴的交点分别为A、C，B点坐标为（﹣1，0）．
（1）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象恰好过A、C、B三点，求二次函数的解析式；
（2）P为抛物线上一点，且∠PCO＝∠POC，求点P的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）．①做DE⊥AC，垂足为点E，若DE＝CE，求D点坐标；
②线段DE是否存在最大值，若存在，求出D点坐标及这个最大值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）求出点A，C的坐标，利用待定系数法可求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）利用等腰三角形的三线合一可得点P的纵坐标为，由（1）中的解析式可求点P的横坐标；
（3）①由DE⊥AC，DE＝CE，可得∠DCE＝∠CDE＝45°，由OA＝OC，OA⊥OC可得∠OCA＝∠OAC＝45°，于是∠DCO＝90°，得到DC⊥y轴，点D的纵坐标为3，由（1）中的解析式可求点P的横坐标；
②过D点作DQ∥y轴，交AC于点Q，易得△DEQ为等腰直角三角形，所以DE＝DQ，设D（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），利用点D，Q的纵坐标可以表示线段QD的长度，于是线段DE可得，利用配方法可知DE存在最大值并得到此时的m的值，由（1）中的解析式可求点D的纵坐标．
【解答】解：（1）∵对于y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0）；C（0，3 ）．
将A，B，C三点坐标代入 y＝ax2+bx+c得：
．
∴解得：．
∴解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵∠PCO＝∠POC，
∴PC＝PO．
∴△PCO是以P为顶点的等腰三角形，
∴点P在线段OC的垂直平分线上，
∴点P的纵坐标为．
令，
∴，
解得：，；
∴满足条件的p点是和．
（3）①∵A（3，0）；C（0，3 ）．，
∴OC＝OA＝3，
∴∠OCA＝45°，
又∵CE＝DE，DE⊥AC，
∴∠DCE＝45°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为3．
令y＝3，
∴﹣x2+2x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴D（2，3）．
②线段DE存在最大值，
过D点作DQ∥y轴，交AC于点Q，如下图，

∵DQ∥y轴，
∴∠DQE＝∠OCA．
∵∠OCA＝45°，
∴∠DQE＝45°．
∵DE⊥AC，
∴△DEQ为等腰直角三角形，
∴．
设D（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），
∴DQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）．
∴，
∵﹣＜0，
∴当时，，
∴当时，y＝﹣+2×+3＝6﹣＝．
∴D坐标为．
∴线段DE存在最大值，最大值为，此时点D的坐标为（）．
附加题：（供有兴趣的同学选择使用）
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E、G分别为AD、AC的中点，DF⊥BE，垂足为F，求证：FG＝DG．

【分析】连接AF，CF，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BD＝CD，DG＝AC，通过证明△AEF∽△CDF，可得∠AFE＝∠CFD，可证∠AFC＝∠EFD＝90°，由直角三角形的性质可得结论．
【解答】证明：连接AF，CF，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵E、G分别为AD、AC的中点，AD⊥BC，
∴DE＝AE，DG＝AC，
∵∠EBD+∠BED＝90°，∠EBD+∠BDF＝90°，
∴∠BED＝∠BDF，
又∵∠BFD＝∠EFD＝90°，
∴△BFD∽△DFE，
∴，
∴＝，
∵∠BED＝∠BDF，
∴∠AEF＝∠FDC，
∴△AEF∽△CDF，
∴∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE+∠EFC+∠CFD+∠EFC，
∴∠AFC＝∠EFD＝90°，
∵G是AC中点，
∴FG＝AC，
∴FG＝DG．