2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末质量检测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末质量检测数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若复数z满足iz=2+4i（其中i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 下列命题中假命题是（ ）
A.∃x0∈R，lg2 x0=0B.∀x∈R，x2>0
C.∃x0∈R，cs x0=1D.∀x∈R，2x>0

3. 设函数f(x)=sinx+acsx（a为常数），则“a=0“是“f(x)为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条

4. 阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为12，面积为23π，则椭圆C的方程为( )
A.x24+y23=1B.x29+y216=1C.x23+y24=1D.x216+y29=1

5. 已知x=1是函数fx=ax3−3x2的极小值点，则函数fx的极小值为( )
A.0B.−1C.2D.4

6. 若直线l的方向向量a→=1,0,1，平面β的法向量n→=1,0,−1，则( )
A.l⊂βB.l⊥βC.l//βD.l⊂β或l//β

7. 函数fx=ax2−2lnx−1有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A.−∞,eB.0,eC.0,1D.−∞,1

8. 如图，已知F1为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点，过点F1的直线与圆O:x2+y2=14a2+b2交于A，B两点（A在F1，B之间），与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点．若|F1A|=|BP| ，∠AOB=120∘，则双曲线的离心率为（ ）
A.2147B.2157C.214+27D.215+27
二、多选题

下列说法正确的是（ ）
A.命题“∃x0∈R， x0+1x0≥2”的否定是“∀∈R，x+1x>2”
B.x>3是x2>4的充分不必要条件
C.若tanπ+α=2，则sin2α=±45
D.定义在a,5上的偶函数fx=x2+a+5x+5的最大值为30

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为52，且双曲线C的左焦点F在直线2x+3y+25=0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的方程为x24−y2=1B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
C.F点到双曲线C的渐近线距离为2D.k1⋅k2为定值14

如图，已知在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为AD1上的动点．则下列结论正确的有（ ）

A.当P运动到AD1中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为55
B.当P在直线AD1上运动时，三棱锥A1−BPC1的体积不变
C.当P在直线AD1上运动到某一点时，直线B1C与平面BPC1所成角为π3
D.当P在直线AD1上运动时，△A1PB1的面积存在最小值2

已知函数fx是奇函数，当x>0时， f′x−fx>1， f1=3，则（ ）
A.f4>ef3B.f−4>e2f−2C.f4>4e3−1D.f−4<−4e2−1
三、填空题

若复数z=2+i3+ai为纯虚数（i为虚数单位），则实数a=________.

已知向量a→=1,1,0，b→=−1,0,2，若a→+kb→与2a→+b→互相垂直，则实数k的值为________.

在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为A，上顶点为B， AB=8分米，在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡，球心C在轴AB上，且AC=2分米．已知球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点A处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为y=ax2a>0，则实数a的取值范围是________.


已知： fx=x−alnx−1，若fx有最值，则a的取值范围为________若当x∈(e,e2)时，fx≥0，则a的取值范围为________.
四、解答题

设p:2≤x<4，q：实数x满足x2−2ax−3a2<0a>0.
(1)若a=1，且p，q都为真命题，求x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F， M1,2是抛物线C上的点．
(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点2,0的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，且|AF|⋅|BF|=13，求直线l的方程．

某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为a元，预计当每件产品的售价为x元3≤x≤8时，年销量为9−x2万件．若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元.
(1)试求每件产品的成本a的值；

(2)当每件产品的售价定为多少元时？年利润y（万元）最大，并求最大值．

如图①，在等腰梯形ABCD中，BC//AD， AB=3，BC=1，AD=3，BP⊥AD，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，得到如图②所示的四棱锥A−BCDP，其中M为AD的中点.

(1)试在线段CD上找一点N，使得MN//平面ABC，并说明理由；

(2)求二面角M−PC−D的余弦值．

已知离心率为32的椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1,F2．过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若过点Pm,0m>1作圆O:x2+y2=1的切线l，交椭圆E于M，N两点，求△MNO面积的最大值．

已知函数fx=ex−ax−1a∈R，gx=xlnx.
(1)求函数fx的单调区间；

(2)若直线y=x−1是函数y=fx图象的切线，求证：当x>0时， fx≥gx.
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末质量检测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由iz=2+4i，得：
z=2+4ii=(2+4i)⋅(−i)−i2=−2i+4，
∴ 复数z对应的点的坐标为(4,−2)，即在第四象限.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为lg2 1=0，cs 0=1，2x>0，
所以选项A、C、D均为真命题，
02=0，选项B为假命题.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充要条件的定义分充分性和必要性分别判断即可．
【解答】
解：若a=0，则f(x)=sinx，为奇函数，充分性成立；
若f(x)为奇函数，则f(0)=0，所以0+a=0，a=0，必要性成立；
故“a=0“是“f(x)为奇函数”的充要条件．
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由题意可知a与c的关系，再由椭圆的性质，可得a与b的关系，进而确定椭圆的方程．
【解答】
解：由椭圆C的离心率为12,可得：a=2c，
∵ a2=b2+c2，可得：b2=34a2，
再由abπ=23π，解得：ab=23，
∴ a=2，b=3，
∵ 椭圆的焦点在x轴上，
∴ 椭圆方程为：x24+y23=1.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
对fx求导，根据x=1是fx的极小值点，得到f′1=0，再求出a的值，进一步得到fx的极小值．
【解答】
解：由fx=ax3−3x2，得f′x=3ax2−6x，
∵ x=1是fx的极小值点，
∴ f′1=0，
∴ 3a−6=0，
∴ a=2，经检验a=2时，符合题意，
∴ a=2，
∴ fx=2x3−3x2，
∴ fx极小值=f1=−1.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知a→⋅n→=1−1=0，
则a→与n→垂直，可知l⊂β或l//β.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
求出函数的导数，根据函数f(x)有2个零点，则fx不单调，求出a>0，解关于导函数的不等式，求出函数fx的单调区间，求出f(x）的最小值，根据fxmin<0，求出a的范围即可．
【解答】
解：fx的定义域是0,+∞，
f′x=2ax−2x=2ax2−1x,
若fx由2个零点，则fx在0,+∞不是单调的，
f′x=0有解，则a>0，
令f′x>0，解得：x>1a，
令f′x<0，解得：0故fx在0,1a单调递减，在1a，+∞单调递增，
故fxmin=f1a=1+lna−1<0，
解得：0故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
双曲线的定义
双曲线的离心率
【解析】
取AB的中点C，连接OC，可知|OC|=c4，且C为PF1的中点，从而推出|PF2|=c2，PF2⊥PF1，再结合双曲线的定义求得|PF1|的长，然后在Rt△PF1F2，由勾股定理，列得关于离心率e的方程，解之即可．
【解答】
解：取AB的中点C，连接OC，则OC⊥PF1，
∵ ∠AOB=120∘，
∴ |OC|=12|OA|=12×12a2+b2=c4.
∵ |F1A|=|BP|，
∴ |F1C|=|CP|，即点C为PF1的中点，
∵ O为F1F2的中点，
∴ OC//PF2，|PF2|=2|OC|=c2，
∴ PF2⊥PF1，
由双曲线的定义知，|PF1|−|PF2|=2a，
∴ |PF1|=|PF2|+2a=c2+2a，
在Rt△PF1F2中，c2+2a2+c22=2c2，
即7c2−4ac−8a2=0，
∵ e=ca>1，
∴ 7e2−4e−8=0，解得e=2±2157（舍负值）．
故选D.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
全称命题的否定
同角三角函数基本关系的运用
诱导公式
函数最值的应用
【解析】
根据全称命题与特称命题定义判断A，根据充分与必要条件判断B，根据二倍角公式判断C，根据偶函数性质判断D.
【解答】
解：A，命题“∃x0∈R， x0+1x0≥2的否定是"∀∈R，x+1x<2，故A错误；
B，由于x>3可推出x2>4，但反之不成立，如x=−3，
所以x>3是x2>4的充分不必要条件，故B正确；
C，tanπ+α=2，可得tanα=2，所以sin2α=2tanα1+tan2α=2×21+22=45，故C错误；
D，由偶函数定义知，区间a,b关于关于原点对称，
于是有b=−a，再由f−x=fx，解方程得，a=−5，
fx=x2+5，fx在端点处达到最大值f5=30，故D正确.
故选BD.
【答案】
A,D
【考点】
斜率的计算公式
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
易知F−5,0，c=5，由离心率求得a的值，由b=c2−a2求得b的值，从而确定双曲线的方程、渐近线；由点到直线的距离公式判断选项C；设点P的坐标为m,n，结合斜率公式，判断选项D．
【解答】
解：A，双曲线C的左焦点F在直线2x+3y+25=0上，
∴ F−5,0，c=5，
又离心率为52，
∴ca=5a=52即a=2，
∴ b=c2−a2=1，
∴ 双曲线C的方程为x24−y2=1，故选项A正确；
B，双曲线的渐近线方程为y=±bax=±12x，故选项B错误；
C，F点到双曲线C的渐近线距离为|52|122+1=1，故选项C错误；
D，设点P的坐标为m,n，则m24−n2=1，
k1⋅k2=nm+2⋅nm−2=n2m2−4=n24+4n2−4=14，故选项D正确．
故选AD.
【答案】
A,B,D
【考点】
棱柱的结构特征
棱柱、棱锥、棱台的体积
直线与平面所成的角
【解析】
作出线面角并求解判断A；判断三棱锥A1−BPC1的底面积与高为定值判断B；证明直线与平面垂直判断C；直接求出ΔA1PB1的面积的最小值判断D．
【解答】
解：A，当P运动到AD1中点时，过P作PO⊥AD，垂足为O，连接BO，
则PO⊥平面ABCD，
则∠PBO为直线BP与平面ABCD所成角，其正切值为15=55，故A正确；
B，当P在直线AD1上运动时，S△PBC1=12BC1⋅AB,为定值，而A1到平面BPC1的距离也为定值，等于12A1D，则三棱锥A1−BPC1的体积不变，故B正确；
C，直线B1C与平面BPC1所成角，即为直线B1C与平面ABC1D1所成角，
∵ AB⊥平面BCC1B1，
∴ AB⊥B1C，
又∵ BC1⊥B1C，AB∩BC1=B，
∴ B1C⊥平面ABC1D1，
得直线B1C与平面BPC1所成角为π2，故C错误；
D，易知A1B1⊥平面ADD1A1，∴ A1B1⊥A1P，
∵ A1B1为定值，则△A1PB1的面积大小取决于A1P的长度，
根据垂线段最短，可知当P位于AD1中点时，A1P最短，此时△A1PB1的面积取得最小值，
为12×2×2=2，故D正确．
故选ABD.
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的性质
【解析】
根据题意，设gx=fx+1ex，求出其导数，分析可得gx在区间0,+∞上为增函数，据此依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设gx=fx+1ex，
其导数g′x=fx⋅ex−fx+1⋅exe2x
=f′x−fx−1ex，
又由当x>0时，f′x−fx>1，
即f′x−fx−1>0，
则当x>0时，有g′x>0，
即gx在区间0,+∞上为增函数.
依次分析选项：
对于A，gx在区间(0,+∞)上为增函数，有g4>g3，
即f4+1e4>f3+1e3，
变形可得f4+1>ef3+e，
则有f4>ef3+e−1>ef3，A正确，
对于B，gx在区间0,+∞上为增函数，有g4>g2，
即f4+1e4>f2+1e2
变形可得f4+1>e2f2+e2，
即−f−4+1>−e2f−2+e2，
则有f−4对于C，gx在区间0,+∞上为增函数，有g4>g1，
即f4+1e4>f1+1e1=4e
变形可得f4>4e3−1，C正确，
对于D，由C的结论，f4>4e3−1，即−f−4>4e3−1，变形可得f−4<1−4e3，
而1−4e3−−4e2−1=2−4e3+4e2=2−4e2e−1<0，
则有f−4<1−4e3<−4e2−1，D正确.
故选ACD.
三、填空题
【答案】
6
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知，z=(2+i)(3+ai)=6+(2a+3)i+ai2
=6−a+(2a+3)i，
∵ 复数z为纯虚数，
∴ 6−a=0，
解得a=6.
故答案为：6.
【答案】
−1
【考点】
空间向量的数量积运算
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
根据题意，求出向量 a→+kb→与（2a→+b→）的坐标，分析可得a→+kb→⋅2a→+b→=1−k+2+4k=0，解可得k的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a→= 1,1,0，b→=−1,0,2，
则a→+kb→=1−k,1,2k， 2a→+b→=1,2,2，
若 a→+kb→与2a→+b→互相垂直，
则a→+kb→⋅(2a→+b→)=1−k+2+4k=0 ，
解得：k=−1.
故答案为：−1.
【答案】
(0,14]
【考点】
抛物线的性质
【解析】
以A为坐标原点，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，得方程为y=a2a>0，即x2=1ay，求得p=12a，由球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取到，得到p≥2，由此求得a的范围．
【解答】
解：以A为坐标原点，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
由所得方程为y=ax2a>0，
即x2=1ay，得2p=1a，p=12a，
则抛物线的焦点坐标为F0,14a.
要使球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取到，
则12a≥2，即a≤14，又a>0，
∴ 实数a的取值范围是(0,14].
故答案为：(0,14].
【答案】
(0,+∞),−∞，e−1
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
求得fx导数，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系可得单调区间，从而可得fx有最值时a的取值范围；对a分类讨论，若当x∈e,e2时，fx≥0，即fxmin≥0，对a分类讨论，由函数的单调性即可求得满足题意的a的取值范围．
【解答】
解：f′x=1−ax=x−axx>0，
当a≤0时，f′x>0，函数fx在0,+∞上为增函数，无最值，不符合题意；
当a>0时，令f′x=0，解得x=a，函数fx在0,a上为减函数，在a,+∞上为增函数，
当x=a时，fx取得最小值，符合题意，
综上可得，a的取值范围是0,+∞；
若当x∈e,e2时，fx≥0，即fxmin≥0，
当a≤0时，fx>fe=e−a−1≥0，解得a≤e−1，即a≤0，
当0fx>fe=e−a−1≥0，解得a≤e−1，
可得0当e则fxmin=fa=a−alna−1=a1−lna−1<0，不符合题意；
当a≥e2时，fx在e,e2上单调递减，
fx>fe2=e2−2a−1≥0，解得a≤e2−12，与a≥e2矛盾，
综上可得，a的取值范围为−∞,e−1，
故答案为：0,+∞；−∞,e−1.
四、解答题
【答案】
解：(1)若a=1，
则x2−2ax−3a2<0
可化为x2−2x−3<0，得−1若p为真命题，则2≤x<4．
∴ p，q都为真命题时，x的取值范围是{x|2≤x<3}．
(2)由x2−2ax−3a2<0，(a>0)，
得−a∵ p：2≤x<4，p是q的充分不必要条件，
∴ {x|2≤x<4}是{x|−a则−a<2，3a≥4，a>0，得a≥43，
∴ 实数a的取值范围是43,+∞．
【考点】
命题和命题的取值
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若a=1，
则x2−2ax−3a2<0
可化为x2−2x−3<0，得−1若p为真命题，则2≤x<4．
∴ p，q都为真命题时，x的取值范围是{x|2≤x<3}．
(2)由x2−2ax−3a2<0，(a>0)，
得−a∵ p：2≤x<4，p是q的充分不必要条件，
∴ {x|2≤x<4}是{x|−a则−a<2，3a≥4，a>0，得a≥43，
∴ 实数a的取值范围是43,+∞．
【答案】
解：(1)因为M1,2是抛物线C上的点，所以22=2p，
解得p=2，则抛物线C的方程为y2=4x .
(2) 设Ax1，y1，Bx2，y2，
当直线l斜率不存在时，其方程为x=2，
此时|AF|=|BF|=3，不合题意，故直线l斜率存在．
设直线l方程为y=kx−2，
由y=kx−2，y2=4x得k2x2−4k2+4x+4k2=0，
易知Δ>0， x1+x2=4+4k2，x1x2=4.
由抛物线的定义知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
则|AF|⋅|BF|=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1
=9+4k2=13，
解得k=±1，
所以直线l的方程为y=±x−2.
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
【解析】
（1）因为M1,2是抛物线C上的点，所以22−2p，
解得p=2，则抛物线C的方程为y2=4x .

【解答】
解：(1)因为M1,2是抛物线C上的点，所以22=2p，
解得p=2，则抛物线C的方程为y2=4x .
(2) 设Ax1，y1，Bx2，y2，
当直线l斜率不存在时，其方程为x=2，
此时|AF|=|BF|=3，不合题意，故直线l斜率存在．
设直线l方程为y=kx−2，
由y=kx−2，y2=4x得k2x2−4k2+4x+4k2=0，
易知Δ>0， x1+x2=4+4k2，x1x2=4.
由抛物线的定义知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
则|AF|⋅|BF|=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1
=9+4k2=13，
解得k=±1，
所以直线l的方程为y=±x−2.
【答案】
解：(1)由题意得：y=(x−a)(9−x)2，(3≤x≤8)，
当x=6时，y=9×(6−a)=27，解得：a=3．
(2)由y=(x−3)(9−x)2，(3≤x≤8)
得y′=(x−9)2+2(x−3)(x−9)=(x−9)(3x−15)，
由y′=0，得x=5或x=9（舍），
当x∈[3,5)时，y′>0，
当x∈[5,8)时，y′<0，
所以当x=5时，ymax=32，
即每件产品的售价定为5元时，年利润y最大，最大值为32万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数最值的应用
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意得：y=(x−a)(9−x)2，(3≤x≤8)，
当x=6时，y=9×(6−a)=27，解得：a=3.
(2)由y=(x−3)(9−x)2，(3≤x≤8)
得y′=(x−9)2+2(x−3)(x−9)=(x−9)(3x−15)，
由y′=0，得x=5或x=9（舍），
当x∈[3,5)时，y′>0，
当x∈[5,8)时，y′<0，
所以当x=5时，ymax=32，
即每件产品的售价定为5元时，年利润y最大，最大值为32万元．
【答案】
解：(1)N为CD的中点，证明如下：
连结MN，
∵ M，N分别为AD，CD的中点，
∴ MN//AC，
又MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴ MN//平面ABC．
(2)∵ 平面APB⊥平面BCDP，
平面APB∩平面BCDP=BP，AP⊥BP，
∴ AP⊥平面BCDP，
∴ 由题意知AP，BP，DP两两垂直，以P为坐标原点，PB，PD，PA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ 在等腰梯形ABCD中，AB=3，BC=1，AD=3，BP⊥AD，
∴ AP=1，BP=3，PD=2，
∴ M0,1,12，P(0,0,0)，C(2,1,0)，A(0,0,1)，
PC→=(2,1,0)，PM→=0,1,12．
设平面MPC的法向量为n1→=(x,y,z)，
则n1→⋅PC→=0,n1→⋅PM→=0,即2x+y=0,y+12z=0,
令z=−2，则y=1，x=−22，
∴ n1→−22,1,−2为平面MPC的一个法向量．
又平面PCD的一个法向量为：n2→=(0,0,1)，
则cs⟨n1→,n2→⟩=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=−2222×1=−22211，
设二面角M−PC−D的平面角为θ，由图可知θ∈0,π2，
∴ csθ=22211，
∴ 二面角M−PC−D的余弦值为22211．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)N为CD的中点，证明如下：
连结MN，
∵ M，N分别为AD，CD的中点，
∴ MN//AC，
又MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴ MN//平面ABC．
(2)∵ 平面APB⊥平面BCDP，
平面APB∩平面BCDP=BP，AP⊥BP，
∴ AP⊥平面BCDP，
∴ 由题意知AP，BP，DP两两垂直，以P为坐标原点，PB，PD，PA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ 在等腰梯形ABCD中，AB=3，BC=1，AD=3，BP⊥AD，
∴ AP=1，BP=3，PD=2，
∴ M0,1,12，P(0,0,0)，C(2,1,0)，A(0,0,1)，
PC→=(2,1,0)，PM→=0,1,12．
设平面MPC的法向量为n1→=(x,y,z)，
则n1→⋅PC→=0,n1→⋅PM→=0,即2x+y=0,y+12z=0,
令z=−2，则y=1，x=−22，
∴ n1→−22,1,−2为平面MPC的一个法向量．
又平面PCD的一个法向量为：n2→=(0,0,1)，
则cs⟨n1→,n2→⟩=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=−2222×1=−22211，
设二面角M−PC−D的平面角为θ，由图可知θ∈0,π2，
∴ csθ=22211，
∴ 二面角M−PC−D的余弦值为22211．
【答案】
解：(1)因为△ABF2的周长为8，
所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，
由椭圆的定义可得4a=8，即a=2 ，
又椭圆的离心率为32，
所以c=3，所以b=a2−c2=4−3=1，
所以椭圆E的标准方程为x24+y2=1.
(2)设Mx1,y1，Nx2,y2，
直线l的方程为x=ty+m，
因为直线l与圆x2+y2=1相切，
所以|m|1+t2=1，即m2=t2+1，
又直线l与椭圆的方程联立x=ty+m，x24+y2=1，
整理得4+t2y2+2tmy+m2−4=0
Δ=4t2m2−44+t2m2−4
=16t2+64−16m2
=16t2+64−16t2+1=48>0，
y1+y2=−2tm4+t2，y1y2=m2−44+t2，
所以|MN|=1+t2|y1−y2|
=1+t2⋅y1+y22−4y1y2
=1+t2⋅434+t2，
又点O到直线l的距离为1，
所以S△MNO=12|MN|×d=12×1+t2⋅434+t2×1
=23×1+t24+t2=23m+3m≤232m⋅3m=1，
当且仅当m=3m，即m=3>1时，取等号，所以△MNO的面积的最大值为1.
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为△ABF2的周长为8，
所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，
由椭圆的定义可得4a=8，即a=2 ，
又椭圆的离心率为32，
所以c=3，所以b=a2−c2=4−3=1，
所以椭圆E的标准方程为x24+y2=1.
(2)设Mx1,y1，Nx2,y2，
直线l的方程为x=ty+m，
因为直线l与圆x2+y2=1相切，
所以|m|1+t2=1，即m2=t2+1，
又直线l与椭圆的方程联立x=ty+m，x24+y2=1，
整理得4+t2y2+2tmy+m2−4=0
Δ=4t2m2−44+t2m2−4
=16t2+64−16m2
=16t2+64−16t2+1=48>0，
y1+y2=−2tm4+t2，y1y2=m2−44+t2，
所以|MN|=1+t2|y1−y2|
=1+t2⋅y1+y22−4y1y2
=1+t2⋅434+t2，
又点O到直线l的距离为1，
所以S△MNO=12|MN|×d=12×1+t2⋅434+t2×1
=23×1+t24+t2=23m+3m≤232m⋅3m=1，
当且仅当m=3m，即m=3>1时，取等号，所以△MNO的面积的最大值为1.
【答案】
解：(1) f′x=ex−a .
当a≤0时， f′x>0，fx的单调递增区间为−∞,+∞；
当a>0时，由f′x=ex−a，由f′x=0，得x=lna；
当x∈−∞,lna时， f′x<0，当x∈lna,+∞时， f′x>0，
所以fx的单调递减区间为−∞,lna，fx的单调递增区间为lna,+∞.
综上所述：当a≤0时， fx>0，fx的单调递增区间为−∞,+∞；
当a>0时，fx的单调递减区间为−∞,lna,fx的单调递增区间为lna,+∞.
(2)直线y=x−1是函数y=fx图象的切线，
设切点为 x0,fx0 ，则ex0−a=1，即x0=lna+1，
因为切点在切线上，所以fx0=lna+1−1，
又fx0=flna+1=a−alna+1，
所以lna+1−1=a−alna+1，
解得： a=e−1.
当x>0时， fx≥gx，等价于ex−e−1x−1≥xlnx，
等价于exx−e−1−1x−lnx≥0 ，
设ℎx=exx−e−1−1x−lnx，
则ℎ′x=xex−exx2+1x2−1x=ex−1x−1x2，
因为x>0 ，ex−1>0，由ℎ′x=0得x=1，
当x∈0,1时， ℎ′x<0，
当x∈1,+∞时， ℎ′x>0，
所以ℎxmin=ℎ1=0，即ℎx≥0，
所以fx≥gx .
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1) f′x=ex−a .
当a≤0时， f′x>0，fx的单调递增区间为−∞,+∞；
当a>0时，由f′x=ex−a，由f′x=0，得x=lna；
当x∈−∞,lna时， f′x<0，当x∈lna,+∞时， f′x>0，
所以fx的单调递减区间为−∞,lna，fx的单调递增区间为lna,+∞.
综上所述：当a≤0时， fx>0，fx的单调递增区间为−∞,+∞；
当a>0时，fx的单调递减区间为−∞,lna,fx的单调递增区间为lna,+∞.
(2)直线y=x−1是函数y=fx图象的切线，
设切点为 x0,fx0 ，则ex0−a=1，即x0=lna+1，
因为切点在切线上，所以fx0=lna+1−1，
又fx0=flna+1=a−alna+1，
所以lna+1−1=a−alna+1，
解得： a=e−1.
当x>0时， fx≥gx，等价于ex−e−1x−1≥xlnx，
等价于exx−e−1−1x−lnx≥0 ，
设ℎx=exx−e−1−1x−lnx，
则ℎ′x=xex−exx2+1x2−1x=ex−1x−1x2，
因为x>0 ，ex−1>0，由ℎ′x=0得x=1，
当x∈0,1时， ℎ′x<0，
当x∈1,+∞时， ℎ′x>0，
所以ℎxmin=ℎ1=0，即ℎx≥0，
所以fx≥gx .