2020-2021学年湖北省黄冈市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省黄冈市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 有下列关系：
①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系.
其中有相关关系的是（ ）
A.①②③B.①②C.②③D.①③④

2. 新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图甲，为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图乙．下列说法错误的是（ ）

A.样本容量为240
B.若样本中对平台三满意的人数为40，则m=40%
C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D.样本中对平台一满意的人数为24人

3. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率满足：第一小组与第三小组的频率和是第二小组频率的2倍，第二小组的频数为15，则抽取的学生人数为( )

A.30B.45C.60D.120

4. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表：
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y=10.5x+a，据此模型预测当x=10时，y的估计值为( )
A.105.5B.106C.106.5D.107

5. 直线l过点(a−2,−1)和(−a−2,1)且与斜率为 −23的直线垂直，则实数a的值为（ ）
A.−23B.−32C.23D.32

6. 方程x2+y2+2ax−b2=0表示的图形是（ ）
A.一个圆
B.只有当a=0时，才能表示一个圆
C.一个点
D.a，b不全为0时，才能表示一个圆

7. 若圆x2+y2−2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey−4=0的公共弦所在的直线方程是x−y+1=0，则有（ ）
A.E=−4，F=8B.E=4，F=−8C.E=−4，F=−8D.E=4，F=8

8. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是16，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3“，则概率P(A∪B)=( )
A.13B.23C.12D.56

9. A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0−9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ）
A.14B.25C.710D.15

10. 一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，事件中互斥事件为( )
①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少1件次品； ④至少有1件次品和全是正品.
A.①③④B.①②C.②③④D.①④

11. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1B1的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值为（ ）
A.105B.1010C.32D.22

12. 如图所示，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1中， AB→=a→,AD→=b→, AA1→=c→，M是 A1D1的中点，点N是CA1 上的点，且 CN:NA1=1:4，用a→,b→,c→表示向量MN→的结果是( )

A.12a→+b→+c→B.15a→+15b→+45c→
C.15a→−310b→−15c→D.45a→+310b→−45c→
二、填空题

从原点向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角等于________度．

在空间直角坐标系中，点P(4, −1, 2)关于原点的对称点Q，则|PQ|=________．

某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为________．

已知平面α的一个法向量n→=(0,−12,−2)，A∈α，P∉α，且PA→=(−32,12,2)，则直线PA与平面α所成的角为________．
三、解答题

如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．

(1)当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|；

(2)当点Q在棱CC1上移动时，探究|PQ|的最小值．

已知圆M:x2+(y−1)2=16外有一点 A(4,−2)，过点A作直线l.
(1)当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；

(2)当直线l的倾斜角为135∘时，求直线l被圆M所截得的弦长.

某公司结合公司的实际情况针对调休安排展开问卷调查，提出了A，B，C三种放假方案，调查结果如下：

(1)在所有参与调查的人中，按A，B，C三种放假方案用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持A方案”的人中抽取了6人，求n的值；

(2)在“支持B方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率．

为了解学生课后阅读的情况，从全市中小学抽取1000名学生进行调查，统计他们每周利用课后阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求所有被抽查人员利用课后阅读的平均时长；

(2)现为了了解学生利用课后阅读的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[2,4)和[8,10)组中抽取25人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽
样从抽取的25人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求[2,4)小组中至少有1人发言的概率？

某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：

(1)求回归直线方程；

(2)试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？

(3)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．
（参考数据：i=15xi2=145，i=15yi2=13500，i=15xiyi=1380，
参考公式：线性回归方程系数：b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯).

如图，在四棱锥P−ABCD中， PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是菱形．

(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若AB=AP=32AC=3，求二面角A−PC−D的余弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省黄冈市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
变量间的相关关系
【解析】
相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，(2)是一种函数关系，①③④中的两个变量具有相关性．
【解答】
解：∵ 相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，
②是一种函数关系，
∴ 具有相关关系的有：①③④.
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解．
【解答】
解：A，样本容量为6000×4%=240，故选项A正确；
B，根据题意得平台三的满意率402500×4%=40% ，m=40，不是m=40%，故选项B错误；
C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为1500×20%=300，故选项C正确；
D，总体中对平台一满意人数约为2000×4%×30%=24，故选项D正确．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
频率分布直方图
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
根据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可．
【解答】
解：第2小组的频率为(1−0.0375×5−0.0125×5)×13=0.25，
则抽取的学生人数为：150.25=60．
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据表中数据计算x¯、y¯，代入回归直线方程求得a​的值，
写出回归直线方程，利用方程求出x=10时y​的值即可．
【解答】
解：根据表中数据，计算x¯=15×(2+4+5+6+8)=5，
y¯=15×(20+40+60+70+80)=54，
代入回归直线方程y=10.5x+a中，求得a=54−10.5×5=1.5，
∴ 回归直线方程为y=10.5x+1.5，
据此模型预测，x=10时，y=10.5×10+1.5=106.5，
即y的估计值是106.5．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由垂直关系可得直线l的斜率为32，
∴ 1+1−a−2−a+2=32，解得：a=−23.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
化简二元二次方程，然后判断形状即可．
【解答】
解：方程x2+y2+2ax−b2=0，
即：方程x+a2+y2=a2+b2.
当a，b不全为0时，方程表示以−a,0为圆心，以a2+b2为半径的圆．
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
圆的标准方程
相交弦所在直线的方程
【解析】
两圆方程作差即可求出公共弦所在的直线方程，然后对应相等即可求出E，F的值
【解答】
解：x2+y2−2x+F=0,①x2+y2+2x+Ey−4=0，②
①−②可得4x+Ey−F−4=0，
即x+E4y−F+44=0,
由两圆的公共弦所在的直线方程为x−y+1=0，
得E4=−1,−F+44=1,
解得E=−4,F=−8.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
古典概型及其概率计算公式
【解析】
PA∪B=PA+PB−PAB，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意得，
PA=36=12，
PB=36=12，
PAB=26=13，
所以PA∪B=PA+PB−PAB
=12+12−13=23.
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共54随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】
解：由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，
可以通过列举得到共5组随机数：978，479，588，779，共4组随机数，
所求概率为420=15.
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
解答此题的关键在于理解概率的基本性质的相关知识，掌握1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3)若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
【解答】
解：对于①恰有1件次品就是1件正品、1件次品，与2件都是次品显然互斥；
对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；
对于③至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；
对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品互斥.故互斥事件是①④.
故选D.
11.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
连结AD1，由BC1 // AD1，得∠EAD1为异面直线AE与BC1所成角，由此能求出异面直线AE与BC1所成角的余弦值．
【解答】
解：连结AD1，∵ BC1 // AD1，
∴ ∠MAD1为异面直线AM与BC1所成角.
设AB=2，
则在△AMD1中，
AM=MD1=4+1=5，AD1=4+4=22，
∴ cs∠MAD1=(22)2+(5)2−(5)22×22×5
=25=105．
故选A．
12.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接MN，如图，
由题意得，AC→=a→+b→，AA1→=c→，A1M→=12b→，
A1C→=AC→−AA1→=a→+b→−c→.
∵ CN:NA1=1:4 ，
∴ A1N→=45A1C→=45(a→+b→−c→)，
∴ MN→=A1N→−A1M→
=45a→+45b→−45c→−12b→
=45a→+310b→−45c→.
故选D.
二、填空题
【答案】
60
【考点】
圆的切线方程
圆的综合应用
【解析】
根据圆的标准方程求出圆心C的坐标和半径r，设这两条切线的夹角的大小为2θ，利用直线和圆相切的性质求得sinθ=rOC 的值，从而求得θ的值，由此可得结论．
【解答】
解：圆x2+y2−12y+27=0，即 x2+(y−6)2=9，表示以C(0, 6)为圆心，半径r=3的圆．
设这两条切线的夹角的大小为2θ，其中θ为锐角，则由圆的切线性质可得sinθ=rOC=36，所以θ=π6，
故这两条切线的夹角的大小为2×π6=π3，即60度.
故答案为：60．
【答案】
221
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
利用|PQ|＝2|OP|，及其两点之间的距离公式即可得出．
【解答】
解：|PQ|=2|OP|=242+(−1)2+22=221．
故答案为：221.
【答案】
65
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
根据平均数求出x的值，再计算方差的值．
【解答】
解：五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环，
∴ 这组数据的平均数为15×(10+x+10+7+9)=9，
解得x=9；
∴ 这组数据的方差是
s2=15×[2×(10−9)2+(7−9)2+2×(9−9)2]=65．
故答案为：65.
【答案】
π3
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ=|csα|=|n¯||PA→|˙，即可得出．
【解答】
解：设直线PA与平面α所成的角为θ，
则sinθ=|csα|=|n→||PA→|˙
=|0−14−2|0+14+234+14+2=32，
∴ 直线PA与平面α所成的角为π3．
故答案为：π3．
三、解答题
【答案】
解：(1)据题意，知B1,1,0，D10,0,1，
故BD1的中点P12,12,12．
由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为0,1,a（0≤a≤1）．
由2|C1Q|=|QC|，易知|QC|=23，故Q0,1,23．
从而|PQ|=12−02+12−12+12−232=196．
(2)据题意，知|PQ|=14+14+a−122=a−122+12（0≤a≤1）．
当a=12时，a−122+12取得最小值．
从而|PQ|min=22，此时Q0,1,12．
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)据题意，知B1,1,0，D10,0,1，
故BD1的中点P12,12,12．
由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为0,1,a（0≤a≤1）．
由2|C1Q|=|QC|，易知|QC|=23，故Q0,1,23．
从而|PQ|=12−02+12−12+12−232=196．
(2)据题意，知|PQ|=14+14+a−122=a−122+12（0≤a≤1）．
当a=12时，a−122+12取得最小值．
从而|PQ|min=22，此时Q0,1,12．
【答案】
解：(1)由圆M:x2+(y−1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R=4，
设直线l斜率为k，
当k不存在时，x=4与圆M相切，符合题意；
当k存在时，设直线l的方程为：y+2=k(x−4)，
则圆心M(0, 1)到直线l的距离为
d=|4k+2+1|1+k2=4，
即|4k+3|=41+k2，解得k=724，
此时直线l的方程为：7x−24y−76=0.
所以直线l的方程为 x=4或7x−24y−76=0.
(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k=−1，
则直线l的方程为：y+2=−x+4，
圆心M(0, 1)到直线l的距离为：d=|1−2|1+1=22，
则所截的弦长为：2R2−d2=216−(22)2=62.
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由圆M:x2+(y−1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R=4，
设直线l斜率为k，
当k不存在时，x=4与圆M相切，符合题意；
当k存在时，设直线l的方程为：y+2=k(x−4)，
则圆心M(0, 1)到直线l的距离为
d=|4k+2+1|1+k2=4，
即|4k+3|=41+k2，解得k=724，
此时直线l的方程为：7x−24y−76=0.
所以直线l的方程为 x=4或7x−24y−76=0.
(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k=−1，
则直线l的方程为：y+2=−x+4，
圆心M(0, 1)到直线l的距离为：d=|1−2|1+1=22，
则所截的弦长为：2R2−d2=216−(22)2=62.
【答案】
解：(1)根据分层抽样按比例抽取，
得610+20=n20+40+80+10+10+40，
解得n=40 .
(2)35岁以下：550×40=4（人），
35岁以上（含35岁）：550×10=1（人），
设将35岁以下的4人标记为1，2，3，4，
35岁以上（含35岁）的1人记为a，
则所有基本事件为(1,2)，1,3，1,4，1,a，2,3，
2,4，2,a，3,4，3,a，4,a，共10个．
其中满足条件的有1,a，2,a，3,a，4,a共4个，
故P=410=25 .
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
【解析】


【解答】
解：(1)根据分层抽样按比例抽取，
得610+20=n20+40+80+10+10+40，
解得n=40 .
(2)35岁以下：550×40=4（人），
35岁以上（含35岁）：550×10=1（人），
设将35岁以下的4人标记为1，2，3，4，
35岁以上（含35岁）的1人记为a，
则所有基本事件为(1,2)，1,3，1,4，1,a，2,3，
2,4，2,a，3,4，3,a，4,a，共10个．
其中满足条件的有1,a，2,a，3,a，4,a共4个，
故P=410=25 .
【答案】
解：(1)设被抽查人员利用课后阅读的平均时长为x¯，则
x¯=0.05×1+0.1×3+0.25×5+
0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13=6.8，
所以所有被抽查人员利用课后阅读的平均时长为6.8.
(2)[2,4)组的人数为1000×2×0.05=100人，
[8,10)组的人数为1000×2×0.075=150人，
所以从[2,4)组中抽取25×100250=10人，从[8,10)组中抽取25×150250=15人，
在抽取的5人中[2,4)组中抽取5×1025=2人，[8,10)组中抽取5×1525=3人，
记[2,4)组中抽取的2人分别为m，n，[8,10)组中抽取的3人分别为a，b，c，
则从5人中抽取2人的所有情况如下：
m,n，m,a，m,b，m,c，n,a，n,b，n,c，a,b，a,c，b,c共10种情况，
其中在[2,4)组至少抽取1人的有m,n，m,a，m,b，m,c，n,a，n,b，n,c 7种，
所以[2,4)小组中至少有1人发言的概率为710．
【考点】
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
【解析】
（1）用每一组的中点值乘以对应的频率，再把所有的乘积相加即可；
（2）先根据分层抽样求出每一组抽取的人数，再求出抽取总事件，求出概率．
【解答】
解：(1)设被抽查人员利用课后阅读的平均时长为x¯，则
x¯=0.05×1+0.1×3+0.25×5+
0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13=6.8，
所以所有被抽查人员利用课后阅读的平均时长为6.8.
(2)[2,4)组的人数为1000×2×0.05=100人，
[8,10)组的人数为1000×2×0.075=150人，
所以从[2,4)组中抽取25×100250=10人，从[8,10)组中抽取25×150250=15人，
在抽取的5人中[2,4)组中抽取5×1025=2人，[8,10)组中抽取5×1525=3人，
记[2,4)组中抽取的2人分别为m，n，[8,10)组中抽取的3人分别为a，b，c，
则从5人中抽取2人的所有情况如下：
m,n，m,a，m,b，m,c，n,a，n,b，n,c，a,b，a,c，b,c共10种情况，
其中在[2,4)组至少抽取1人的有m,n，m,a，m,b，m,c，n,a，n,b，n,c 7种，
所以[2,4)小组中至少有1人发言的概率为710．
【答案】
解：(1)x¯=2+4+5+6+85=5，
y¯=30+40+60+50+705=50，
b=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70−5×5×504+16+25+36+64−5×25=6.5，
a=y¯−bx¯=17.5，
∴ 线性回归方程是：y=6.5x+17.5．
(2)根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
y=6.5×10+17.5=82.5 （万元） 即这种产品的销售收入大约为82.5万元．
(3)
基本事件：(30, 40)，(30, 60)，(30, 50)，(30, 70)，(40, 60)，(40, 50)，(40, 70)，
(60, 50)，(60, 70)，(50, 70)共10个，
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：(60, 50)，
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1−110=910.
【考点】
求解线性回归方程
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．
（2）当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字，它与真实值之间有误差．
【解答】
解：(1)x¯=2+4+5+6+85=5，
y¯=30+40+60+50+705=50，
b=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70−5×5×504+16+25+36+64−5×25=6.5，
a=y¯−bx¯=17.5，
∴ 线性回归方程是：y=6.5x+17.5．
(2)根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
y=6.5×10+17.5=82.5 （万元） 即这种产品的销售收入大约为82.5万元．
(3)
基本事件：(30, 40)，(30, 60)，(30, 50)，(30, 70)，(40, 60)，(40, 50)，(40, 70)，
(60, 50)，(60, 70)，(50, 70)共10个，
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：(60, 50)，
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1−110=910.
【答案】
(1)证明：∵ PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥BD．
又∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BD⊥AC．
∵ PA∩AC=A，
∴ BD⊥平面PAC．
又BD⊂平面PBD，
∴ 平面PAC⊥平面PBD．
(2)解：设AC∩BD=O，如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
易求得OD=22．
O0,0,0，A−1,0,0，C1,0,0，D0,22,0，P−1,0,3，
由(1)知平面PAC的法向量为m→=(0,1,0)．
CD→=−1,22,0，CP→=−2,0,3，
设平面PCD的法向量为n→=x,y,z，
∴ n→⋅CD→=0,n→⋅CP→=0⇒−x+22y=0,−2x+3z=0,
令y=3，则x=62，z=42，
∴ n→=62,3,42，
∴ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=31×113=3113113，
故二面角A−PC−D的余弦值为3113113．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥BD．
又∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BD⊥AC．
∵ PA∩AC=A，
∴ BD⊥平面PAC．
又BD⊂平面PBD，
∴ 平面PAC⊥平面PBD．
(2)解：设AC∩BD=O，如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
易求得OD=22．
O0,0,0，A−1,0,0，C1,0,0，D0,22,0，P−1,0,3，
由(1)知平面PAC的法向量为m→=(0,1,0)．
CD→=−1,22,0，CP→=−2,0,3，
设平面PCD的法向量为n→=x,y,z，
∴ n→⋅CD→=0,n→⋅CP→=0⇒−x+22y=0,−2x+3z=0,
令y=3，则x=62，z=42，
∴ n→=62,3,42，
∴ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=31×113=3113113，
故二面角A−PC−D的余弦值为3113113．x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
支持A方案
支持B方案
支持C方案
35岁以下
20
40
80
35岁以上（含35岁）
10
10
40
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y
30.5
43.5
50
56.5
69.5
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y
30.5
43.5
50
56.5
69.5