2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线3x+y−5=0的倾斜角是（ ）
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

2. 过点(−1, 2)且与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为( )
A.3x+2y−1=0B.3x+2y+7=0C.2x−3y+5=0D.2x−3y+8=0

3. 抛物线y=2x2的焦点坐标为( )
A.(1, 0)B.(14, 0)C.(0, 14)D.(0, 18)

4. 设F1，F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为（ ）
A.4B.3C.2D.5

5. 点P(4, −2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x−2)2+(y+1)2=1B.(x−2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y−2)2=1D.(x+2)2+(y−1)2=1

6. 过原点的直线l与双曲线x2−y2=6交于A，B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）
A.4B.1C.12D.14

7. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4, 2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A.x−2y=0B.x+2y−4=0C.2x+3y−12=0D.x+2y−8=0

8. 设F1，F2是双曲线x2−y224=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（ ）
A.42B.83C.24D.48

9. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与双曲线x24−y25=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|=2|AF|，则A点的横坐标为（ ）
A.22B.4C.3D.23

10. 已知抛物线τ:y2＝8x，过抛物线τ的焦点且斜率为k的直线l交τ于M，N两点，已知P(−2, 3)，，则k＝（ ）
A.B.C.D.2

11. 点F(c, 0)为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，且PQ→=2QF→，则双曲线的离心率是（ ）
A.2B.3C.5D.2

12. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.(5−22, 1)B.(0, 5−22)C.(0, 5−12)D.(5−12, 1)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

若x，y满足约束条件x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0 ，则z＝x+y的最大值为________．

设双曲线C经过点(2, 2)，且与y24−x2=1具有相同渐进线，则双曲线C的方程为________．

倾斜角为π4的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

已知过抛物线C:y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2−2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

已知动圆M过点F(2, 0)，且与直线x=−2相切．
(Ⅰ)求圆心M的轨迹E的方程；
(Ⅱ)斜率为1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点A，B，求线段AB的垂直平分线方程．

已知圆C：(x−3)2+(y−4)2＝4，
(Ⅰ)若直线l1过定点A(1, 0)，且与圆C相切，求l1的方程；
(Ⅱ)若圆D的半径为3，圆心在直线l2:x+y−2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．


如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60∘，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且E，F分别为AD，PC的中点．
(Ⅰ)求证：DF // 平面PEB；
(Ⅱ)求直线EF与平面PDC所成角的正弦值．


如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D，E分别为AC，AA1的中点．
(Ⅰ)求点B1到平面BDE的距离；
(Ⅱ)求二面角D−BE−C1的余弦值．


已知椭圆C：的左顶点和下顶点分别为，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知M为椭圆C上一动点（M不与A，B重合），直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|⋅|BP|为定值．

已知椭圆C：(a>b>0)经过点，且短轴长为2．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求ΔOPQ面积的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
【解答】
解：因为直线3x+y−5=0的斜率为：−3，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα=−3，
α=120∘
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为−3x−2y+c=0，再把点(−1, 2)代入，即可求出c值，得到所求方程．
【解答】
解：∵ 所求直线方程与直线2x−3y+4=0垂直，
∴ 设方程为3x+2y+c=0,
∵ 直线过点(−1, 2)，
∴ 3×(−1)+2×2+c=0,
∴ c=−1,
∴ 所求直线方程为3x+2y−1=0．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．
【解答】
解：整理抛物线方程得x2=12y，
∴ 焦点在y轴，p=14，
∴ 焦点坐标为(0, 18).
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由题意知，OM是△PF1F2的中位线，由|OM|=3，可得|PF2|=6，再由椭圆的定义求出|PF1|的值．
【解答】
解：由题意知，OM是△PF1F2的中位线，
∵ |OM|=3，
∴ |PF2|=6.
又|PF1|+|PF2|=2a=10，
∴ |PF1|=4.
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
【解析】
设圆上任意一点为(x1, y1)，中点为(x, y)，则x=x1+42y=y1−22 ，由此能够轨迹方程．
【解答】
解：设圆上任意一点为(x1, y1)，中点为(x, y)，
则x=x1+42,y=y1−22,
即x1=2x−4,y1=2y+2, 代入x2+y2=4，
得(2x−4)2+(2y+2)2=4，
化简得(x−2)2+(y+1)2=1．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
直线与双曲线的位置关系
【解析】
可设A(m, n)，B(−m, −n)，P(x, y)，代入双曲线的方程，作差，可得y2−n2x2−m2=1，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值．
【解答】
由题意可设A(m, n)，B(−m, −n)，P(x, y)，
则m2−n2=6，x2−y2=6，
即有y2−n2=x2−m2，
即y2−n2x2−m2=1，
由kPA=y−nx−m，kPB=y+nx+m，
可得kPA⋅kPB=y2−n2x2−m2=1，
而kPA=2，所以kPB=12．
7.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
设这条弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1236+y129=1x2236+y229=1，两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k=−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．
【解答】
解：设这条弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，斜率为k，
则x1236+y129=1，x2236+y229=1，
两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0,
又弦中点为(4, 2)，故k=−12，
故这条弦所在的直线方程y−2=−12(x−4)，
整理得x+2y−8=0.
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的面积．
【解答】
F1(−5, 0)，F2(5, 0)，|F1F2|＝10，
∵ 3|PF1|＝4|PF2|，∴ 设|PF2|＝x，则|PF1|=43x，
由双曲线的性质知43x−x=2，解得x＝6．
∴ |PF1|＝8，|PF2|＝6，
∴ ∠F1PF2＝90∘，
∴ △PF1F2的面积=12×8×6=24．
9.
【答案】
C
【考点】
圆锥曲线的共同特征
【解析】
根据双曲线x24−y25=1得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A(x0, y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(−3, y0)，根据|AK|=2|AF|及AF＝AB＝x0−(−3)＝x0+3，进而可求得A点坐标．
【解答】
∵ 双曲线x24−y25=1，其右焦点坐标为(3, 0)．
∴ 抛物线C:y2＝12x，准线为x＝−3，
∴ K(−3, 0)
设A(x0, y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(−3, y0)
∵ |AK|=2|AF|，又AF＝AB＝x0−(−3)＝x0+3，
∴ 由BK2＝AK2−AB2得BK2＝AB2，从而y02＝(x0+3)2，即12x0＝(x0+3)2，
解得x0＝3．
10.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
双曲线的特性
【解析】
根据题意，设双曲线的左焦点为F1，分析可得PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a+b，由此可得b=2a，由双曲线的几何性质可得有c=5a，结合双曲线的离心率公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设双曲线的左焦点为F1，连接F1，
设圆的圆心为C，圆的方程为(x−c3)2+y2=b29的圆心为(c3, 0)，半径r=b3，
则有|F1F|=3|FC|，
若PQ→=2QF→，则PF1 // QC，|PF1|=b，|PF|=2a+b；
线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，则CQ⊥PF以及PF1⊥PF，
则有b2+(2a+b)2=4c2，
即b2+(2a+b)2=4(a2+b2)，
即b=2a，
由双曲线的性质有c=5a，
则双曲线的离心率e=ca=5；
故选：C．
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据∠B1PB2为A2B2→与F2B1→的夹角，并分别表示出A2B2→与F2B1→，由∠B1PB2为钝角，A2B2→⋅F2B1→<0，得ac−b2<0，利用椭圆的性质，可得到e2+e−1<0，即可解得离心率的取值范围．
【解答】
解：如图所示，∠B1PB2为A2B2→与F2B1→的夹角；
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
A2B2→=(−a, b)，F2B1→=(−c, −b)，
∵ 向量的夹角为钝角时，A2B2→⋅F2B1→<0，
∴ ac−b2<0，
又b2=a2−c2，
∴ a2−ac−c2>0；
两边除以a2得1−e−e2>0，
即e2+e−1<0；
解得−1−52又∵ 0∴ 0故答案选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
【答案】
32
【考点】
简单线性规划
【解析】
首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．
【解答】
不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，
由x−2y=0x+2y−2=0 得D(1, 12)，
所以z＝x+y的最大值为1+12=32；
【答案】
x23−y212=1
【考点】
双曲线的特性
【解析】
利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．
【解答】
解：与y24−x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y24−x2=m，(m≠0)，
∵ 双曲线C经过点(2, 2)，
∴ m=−3，
即双曲线方程为y24−x2=−3，即x23−y212=1
故答案为：x23−y212=1．
【答案】
8
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义，即可求线段AB的长．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB，
由抛物线的定义可知|AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2．
由已知得抛物线的焦点为F(1, 0)，斜率k=tan45∘=1，所以直线AB方程为y=x−1．
将y=x−1代入方程y2=4x，得(x−1)2=4x，化简得x2−6x+1=0．
由求根公式得x1+x2=6，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8．
【答案】
2
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
（1）设动点M(x, y)，则(x−2)2+y2＝|x+2|
化简得轨迹E的方程y2=8x
（2）斜率为1的直线l经过点F，所以l的方程为y=x−2，
由y＝x−2y2＝8x，得x2−12x+4=0．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，AB中点M(x0, y0)
则x0＝x1+x22＝6，y0=x0−2=4
所以AB垂直平分线方程为x+y−10=0．
【考点】
轨迹方程
【解析】
(Ⅰ)设动点M(x, y)，通过(x−2)2+y2＝|x+2|，化简求解即可．
(Ⅱ)由y＝x−2y2＝8x，得x2−12x+4=0．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，AB中点M(x0, y0)，利用韦达定理求出中点坐标，然后求解AB垂直平分线方程．
【解答】
（1）设动点M(x, y)，则(x−2)2+y2＝|x+2|
化简得轨迹E的方程y2=8x
（2）斜率为1的直线l经过点F，所以l的方程为y=x−2，
由y＝x−2y2＝8x，得x2−12x+4=0．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，AB中点M(x0, y0)
则x0＝x1+x22＝6，y0=x0−2=4
所以AB垂直平分线方程为x+y−10=0．
【答案】
（1）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x−1)，即kx−y−k＝0．
由题意知，圆心(3, 4)到已知直线l1的距离等于半径2，
即|3k−4−k|k2+1=2
解之得k=34．
所求直线方程是x＝1，3x−4y−3＝0．
（2）依题意设D(a, 2−a)，又已知圆的圆心C(3, 4)，r＝2，
由两圆外切，可知CD＝5
∴ 可知(a−3)2+(2−a−4)2=5，
解得a＝3，或a＝−2，
∴ D(3, −1)或D(−2, 4)，
∴ 所求圆的方程为(x−3)2+(y+1)2＝9或(x+2)2+(y−4)2＝9．
【考点】
圆的切线方程
圆的标准方程
【解析】
（I）由直线l1过定点A(1, 0)，故可以设出直线的点斜式方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k值即可，但要注意先讨论斜率不存在的情况，以免漏解．
(II)圆D的半径为3，圆心在直线l2:x+y−2＝0上，且与圆C外切，则设圆心D(a, 2−a)，进而根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程，解方程即可得到答案．
【解答】
（1）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x−1)，即kx−y−k＝0．
由题意知，圆心(3, 4)到已知直线l1的距离等于半径2，
即|3k−4−k|k2+1=2
解之得k=34．
所求直线方程是x＝1，3x−4y−3＝0．
（2）依题意设D(a, 2−a)，又已知圆的圆心C(3, 4)，r＝2，
由两圆外切，可知CD＝5
∴ 可知(a−3)2+(2−a−4)2=5，
解得a＝3，或a＝−2，
∴ D(3, −1)或D(−2, 4)，
∴ 所求圆的方程为(x−3)2+(y+1)2＝9或(x+2)2+(y−4)2＝9．
【答案】
（1）证明：取PB中点G，因为F是PC中点，
∴ FG // BC，且FG＝
∵ E是AD的中点，则DE // BCBC
∴ FG // DE，且FG＝DE
∴ 四边形DEGF是平行四边形，∴ DF // EG
又∵ DF⊄平面PEB，EG⊂平面PEB
∴ DF // 平面PEB．
（2）因为E是正三角形PAD边为AD的中点，则PE⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴ PE⊥平面ABCD，
∵ 四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60∘，
∴ 正三角形BAD中，BE⊥AD，
以E为原点，EA，EP分别为x，y，
不妨设菱形ABCD的边长为2，则AE＝ED＝6，PE＝，
BE＝＝，
则点，
∴ ＝(−1，，＝(8，0，），
设平面PDC的法向量为＝(x，y，
则，即，解得，得＝（-，2)；
又，
设EF与平面PDC所成角为θ，
∴ ，>|＝．
所以EF与平面PDC所成角的正弦值为．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）取A1C1的中点D3，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，
∵ △ABC是等边三角形，∴ BD⊥AC，
以D为原点，分别以DA，DD8所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，
则D(0, 0, 2)，，0)，2，1)，B1(2，，2)，C8(−1, 0, 3)，
∴ ＝(0，，＝(4，0，＝(7，0，
设平面BDE的法向量为＝(x1, y2, z1)，则，即，
令z1＝1可得＝(−8，0，
∴ 点B1到平面BDE的距离为＝＝．
（2）＝(1，-，＝(−2，0，
设平面BEC8的法向量为＝(x2, y2, z4)，则，即，
令x2＝1可得＝(6，，
∴ cs<，>＝＝＝，
∴ 二面角D−BE−C1的余弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题意可得a2+b2＝(4）​2，＝23＝16，b2＝2，
所以椭圆的方程为：+＝5；
证明：由（1）可知A(−4, 0)，−5)0，y0)，P(8, yP)，Q(xQ, 0)，
因为M在椭圆上，所以x05+4y03＝16，由A，PP＝，
同理可得xQ＝，
所以|AQ|⋅|BP|＝|xQ+5|⋅|yP+2|＝||
＝||＝||＝16，
所以：|AQ|⋅|BP|为定值16．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）由题意知，，2b＝2，b＝7，
故椭圆方程为：．
(2)(i)当OP，OQ斜率一个为0，SΔOPQ＝3，
(ii)当OP，设lOP:y＝kx，P(x1, y1)，Q(x7, y2)，
由消y得，，
，得，，
∴ ，
∴ ＝，
又 ，所以，
综上，ΔOPQ面积的取值范围为．
（另解）：
（2）设P(x1, y1)，Q(x6, y2)，
因为OP⊥OQ，则，
(i)若l的斜率不存在，设l:x＝n，得，
∴ ，得，
∴ ．
(ii)若l的斜率存在
由，得(8+4k2)x8+8kmx+4m5−4＝0，Δ＝16(2k2+1−m7)>0，
则，
∴
＝
＝，
∴ ，
∴ ，
又点O到直线l的距离，
∴ ，
令t＝5+4k2，则t≥5，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
综上，SΔOPQ的取值范围为．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答