2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 抛物线x2=−4y的焦点坐标为( )
A.(−16, 0)B.(0,−116)C.(0, −1)D.(−1, 0)

2. 空间直角坐标系中，点B(2, 1, 6)关于xOz平面的对称点为C，则A(−3, 4, 0)与C的距离为（ ）
A.243B.221C.86D.9

3. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得128粒内夹谷14粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A.133石B.168石C.337石D.1364石

4. 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1∼160编号，若第1组抽出的号码为6，则第6组中抽取的号码是（ ）
A.66B.56C.46D.126

5. 有两组数据如图：其中甲组数据的平均数是88，乙组数据的中位数是89，则m+n的值是（ ）

A.13B.12C.11D.10

6. 经过点P(0, −1)作直线l，若直线l与连接A(1, −2)，B(2, 1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.[0,π4]∪[34π,π)B.[0,π4]C.[34π,π)D.[0,π4]∪[34π,π]

7. 已知直线l1：(3+m)x+4y＝5−3m，l2:2x+(5+m)y＝8平行，则实数m的值为（ ）
A.−7B.−1C.−1或−7D.133

8. 已知方程x2m2+n+y2n−3m2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.(0, 3)B.(0, 3)C.(−1, 3)D.(−1, 3)

9. 如果直线y=−33x+m曲线y=1−x2有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是（ ）
A.[1, 233 )B.[33, 233 )C.(−33, 233]D.(−233, 233 )

10. 斜率为12的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AF|+|BF||AF|⋅|BF|的值为（ ）
A.12B.1C.2D.4

11. 若圆M:x2+y2+ax+by−ab−6＝0，(a>0, b>0)平分圆N:x2+y2−4x−2y+4＝0的周长，则2a+b的最小值为（ ）
A.8B.9C.16D.20

12. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点P．若P到直线BC的距离小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.(1, 2)B.(−∞, 2)C.(1, 2]D.(1, 3)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

已知一组数据4.7，4.8，5.2，5.3，5.5，则该组数据的方差是________．

一抛物线型拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为________．

已知点A(−2, −2)，B(4, −2)，点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是________．

已知方程：x2+y2−(4m+2)x−2my−m＝0，(m∈R)．
①该方程表示圆，且圆心在直线x−2y−1＝0上；
②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；
③当m＝−1时，该方程表示的曲线关于直线l:x−y+1＝0的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为2+22；
④若m≥1，过点(−1, 0)作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为4x+y−2＝0．
以上四个命题中，是正确的有________.（填序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

某市有100万居民，政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0, 0.5),[0.5, 1),…,[4, 4.5]分成9组，制成了如图的频率分布直方图：

（1）求直方图中a的值；

（2）估计居民月均用水量的众数、中位数（精确到0.01）．

已知ΔABC的顶点A(5, 1)，直线BC的方程为6x−5y−9＝0，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5＝0．
（1）求顶点C的坐标；

（2）求AC边上的高所在直线方程．

已知圆C1过点A(0, 6)，且与圆C2:x2+y2+10x+10y＝0相切于原点，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4＝0．
（1）求圆C1的方程；

（2）求直线l经过的定点P的坐标及直线l被圆C1所截得的弦长的最小值．

已知点P(x, y)(x≥0)到点(12, 0)的距离比到y轴的距离大12，其轨迹为曲线C，过点(2, 0)的直线l交C于A，B两点．
（1）求曲线C的方程；

（2）证明：以线段AB为直径的圆过原点O．

在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C，直线l过点E(−1, 0)且与曲线C交于A，B两点．
（1）求M的轨迹方程；

（2）求△AOB面积的最大值．

已知椭圆C中心为原点，离心率12，焦点F(1, 0)，斜率为k的直线l与C交于A，B两点．
（1）若线段AB的中点为M(1, m)，P为C上一点，且|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，求P的坐标；

（2）若l过点(0, n)(0参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=−4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．
【解答】
解：∵ 抛物线x2=−4y 中，p=2，p2=1，焦点在y轴上，开口向下，
∴ 焦点坐标为 (0, −1 )，
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
空间直角坐标系中，点B(a, b, c)关于xOz平面的对称点为(a, −b, c)．然后利用空间两点间距离公式求解即可．
【解答】
∵ 空间直角坐标系中，点B(2, 1, 6)关于xOz平面的对称点为C，
∴ 点C的坐标为C(2, −1, 6)．
A(−3, 4, 0)与C的距离为：(−3−2)2+(4+1)2+(0−6)2=86
3.
【答案】
B
【考点】
简单随机抽样
【解析】
根据128粒内夹谷14粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】
由题意，这批米内夹谷约为1534×14128≈168石，
4.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
【解析】
按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这20个数成等差数列，首项为6，d＝8（d是公差），即可得出结论．
【解答】
由题意可得分段间隔是16020=8，抽出的这20个数成等差数列，首项为6，
∴ 第6组中用抽签方法确定的号码是6+5×8＝46．
5.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
【解析】
由甲组数据的平均数是88，求出m＝3，乙组数据的中位数是89，得n＝9．由此能求出m+n的值．
【解答】
∵ 甲组数据的平均数是88，
∴ 17(78+88+84+86+92+90+m+95)＝88，
解得m＝3，
∵ 乙组数据的中位数是89，
∴ 80+n＝89，解得n＝9．
∴ m+n＝3+9＝12．
6.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
如图所示，设直线l的倾斜角为α，α∈[0, π)．根据直线l与连接A(1, −2)，B(2, 1)的线段总有公共点，可得kPA≤tanα≤kPB．
【解答】
解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0, π)．
kPA=−1+20−1=−1，kPB=−1−10−2=1．
∵ 直线l与连接A(1, −2)，B(2, 1)的线段总有公共点，
∴ −1≤tanα≤1．
∴ α∈[0,π4]∪[3π4,π)．
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据两直线平行列出方程求出m的值，再验证两直线是否重合即可．
【解答】
直线l1：(3+m)x+4y＝5−3m，l2:2x+(5+m)y＝8平行，
则3+m2=45+m，
(3+m)(5+m)＝8，
m2+8m+7＝0，
解得m＝−1或m＝−7；
当m＝−1时，两直线重合，
∴ 实数m的值应为−7．
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由已知可得c＝2，讨论焦点在x轴上，利用4＝(m2+n)+(3m2−n)，解得m2＝1，又(m2+n)(3m2−n)>0，从而可求n的取值范围，若焦点在y轴上，无解，由此可得n的取值范围．
【解答】
∵ 双曲线两焦点间的距离为4，∴ c＝2，
当焦点在x轴上时，方程x2m2+n+y2n−3m2=1化为x2m2+n−y23m2−n=1，
可得：4＝(m2+n)+(3m2−n)，解得：m2＝1，
∵ x2m2+n−y23m2−n=1表示双曲线，
∴ (m2+n)(3m2−n)>0，可得：(n+1)(n−3)<0，
解得：−1当焦点在y轴上时，方程x2m2+n+y2n−3m2=1化为y2n−3m2−x2−(m2+n)=1，
可得：−4＝(m2+n)+(3m2−n)，解得：m2＝−1，无解．
综上可得n的取值范围是(−1, 3)．
9.
【答案】
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
利用数形结合求出直线与半圆相切时m的值，以及直线与半圆有两个交点的临界位置时的m的值，进而可以求解．
【解答】
由y=1−x2可得：x2+y2＝1，(y≥0)，
则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x轴上方的半圆，
直线和曲线的图象如图所示：
当直线与圆相切于点C时满足：|m|1+(−33)2=1，解得m=233，
当直线与半圆相交于AB两点时，把A(1, 0)代入直线方程可得：m=33，
则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m的取值范围为：[33,233)，
故选：B．
10.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，将直线的方程和抛物线的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，求出x1+x2，x1⋅x2，然后将结论用x1+x2，x1⋅x2表示出来，结论可求．
【解答】
由y2＝4x得F(1, 0)，p＝2．
由已知得y=12(x−1)y2=4x ，消去y得x2−18x+1＝0．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2＝18，x1x2＝1．
又|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，
所以|AF|⋅|BF|＝(x1+1)(x2+1)＝x1x2+x1+x2+1＝20．
故|AF|+|BF||AF|⋅|BF|=x1+x2+220=2020=1．
11.
【答案】
A
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
根据题意知两圆的公共弦所在直线过圆N的圆心，由此求出a、b的关系，再利用基本不等式求出2a+b的最小值．
【解答】
圆M:x2+y2+ax+by−ab−6＝0平分圆N:x2+y2−4x−2y+4＝0的周长，
所以公共弦所在的直线(a+4)x+(b+2)y−ab−10＝0过圆N的圆心N(2, 1)，
所以2a+b＝ab；
又a>0，b>0，
所以1a+2b=1，
所以2a+b＝(2a+b)(1a+2b)＝4+ba+4ab≥4+2ba⋅4ab=8，
当且仅当b＝2a＝4时取等号，
所以2a+b的最小值为8．
12.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由题意画出图形，由双曲线的对称性知P在x轴上，设P(x, 0)，根据直线垂直可得c−x的值，再由P到直线BC的距离小于a+c得不等式，结合隐含条件求解得答案．
【解答】
由题意，A(a, 0)，B(c, b2a)，C(c, −b2a)，
由双曲线的对称性知P在x轴上，设P(x, 0)，
则由BP⊥AC，得b2ac−x⋅−b2ac−a=−1，∴ c−x=b4a2(c−a)，
∵ P到直线BC的距离小于a+c，∴ |c−x|＝|b4a2(c−a)|∴ b4a2∴ c2<2a2，又e>1，解得1∴ 双曲线的离心率的取值范围是(1, 2)．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
0.092
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
根据题意，先求出数据的平均数，由方差计算公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，数据4.7，4.8，5.2，5.3，5.5，其平均数x¯=4.7+4.8+5.2+5.3+5.55=5.1，
则其方差s2=15[(4.7−5.1)2+(4.8−5.1)2+(5.2−5.1)2+(5.3−5.1)2+(5.5−5.1)2]＝0.092，
【答案】
42米
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y＝−4代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A(2, −2)代入x2＝my，
得m＝−2
∴ x2＝−2y，代入B(x0, −4)得x0＝22，
故水面宽为42m．
【答案】
36−85
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
根据题意，设P(2csθ, 2sinθ)，据此用θ表示|PA|2+|PB|2，结合三角函数的性质分析可得答案．
【解答】
根据题意，点P在圆x2+y2＝4上，则设P(2csθ, 2sinθ)，
又A(−2, −2)，B(4, −2)，
则|PA|2+|PB|2＝(2csθ+2)2+(2sinθ+2)2+(2csθ−4)2+(2sinθ+2)2
＝4cs2θ+8csθ+4+4sin2θ+8sinθ+4+4cs2θ−16csθ+16+4sin2θ+8sinθ+4
＝36−8csθ+16sinθ＝36+85sin(θ−α)，其中tanα=12，
则有|PA|2+|PB|2≥36−85，
故|PA|2+|PB|2的最小值是36−85，
【答案】
③④
【考点】
直线与圆的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
利用配方法把已知方程变形，确定圆心与半径判断①②；将m＝−1代入圆的方程，把问题转化为圆上的点到直线l的最大距离求解，即可判断③；求出以(−1, 0)和圆心的连线为直径的圆的方程，将两圆方程作差可得两切点AB所在直线方程判断④．
【解答】
由方程：x2+y2−(4m+2)x−2my−m＝0，
配方可得：(x−2m−1)2+(y−m)2＝5m2+5m+1
当5m2+5m+1>0，即m<−5−510或m>5−510才表示圆，故①错误；
由①知，当m<−5−510或m>5−510才表示圆，且圆心M(2m+1, m)在直线x−2y−1＝0上移动，
而圆的半径是是不定的，故②错误；
当m＝−1时，方程表示圆M(x+1)2+(y+1)2＝1，由条件知曲线C上的点到直线l的最大距离
即为圆M上的点到直线l的最大距离，即为|−1+1+1|2+1=2+22，故③正确；
当m≥1时，r2=5m2+5m+1=5(m+12)2−14，则当m＝1时，面积最小，
此时圆心为M(3, 1)，圆M的方程为(x−3)2+(y−1)2＝11，
设P(−1, 0)，则PM的中点为(1, 12)，|PM|2＝17，
则以PM为直径的圆的方程为(x−1)2+(y−12)2=174，
两圆相减即得AB所在直线方程为4x+y−2＝0，故④正确．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
由频率分布直方图得：
(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5＝1，
解得a＝0.3．
由频率分布直方图估计居民月均用水量的众数为：
2+2.52=2.25．
[0, 2)的频率为：(0.08+0.16+0.3+0.4)×0.5＝0.47，
[2, 2.5)的频率为：0.52×0.5＝0.26，
∴ 中位数为：2+0.5−×0.5≈2.10．
【考点】
频率分布直方图
【解析】
（1）由频率分布直方图的性质能求出a的值．
（2）由频率分布直方图能估计居民月均用水量的众数和中位数．
【解答】
由频率分布直方图得：
(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5＝1，
解得a＝0.3．
由频率分布直方图估计居民月均用水量的众数为：
2+2.52=2.25．
[0, 2)的频率为：(0.08+0.16+0.3+0.4)×0.5＝0.47，
[2, 2.5)的频率为：0.52×0.5＝0.26，
∴ 中位数为：2+0.5−×0.5≈2.10．
【答案】
∵ 直线BC的方程为6x−5y−9＝0，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5＝0，
由6x−5y−9=02x−y−5=0 ，求得x=4y=3 ，可得C(4, 3)．
设点B(a, b)，则由BC的方程可得6a−5b−9＝0 ①．
再根据AB中点(5+a2, 1+b2)在AB边上的中线CM所在直线方程2x−y−5＝0上，
可得(5+a)−1+b2−5＝0 ②．
由①②求得a＝−1，b＝−3，可得B(−1, −3)．
直线AC的斜率为1−35−4=−2，故AC边上的高所在直线的斜率为12．
故AC边上的高所在直线方程为 y+3=12(x+1)，即 x−2y−5＝0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
（1）把直线BC的方程和CM所在直线方程联立方程组，即可求得C的坐标．
（2）设点B(a, b)，根据BC的方程、AB中点在中线CM上，求出点B坐标．根据AC的斜率求出AC边上的高所在直线斜率，用点斜式求AC边上的高所在直线方程．
【解答】
∵ 直线BC的方程为6x−5y−9＝0，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5＝0，
由6x−5y−9=02x−y−5=0 ，求得x=4y=3 ，可得C(4, 3)．
设点B(a, b)，则由BC的方程可得6a−5b−9＝0 ①．
再根据AB中点(5+a2, 1+b2)在AB边上的中线CM所在直线方程2x−y−5＝0上，
可得(5+a)−1+b2−5＝0 ②．
由①②求得a＝−1，b＝−3，可得B(−1, −3)．
直线AC的斜率为1−35−4=−2，故AC边上的高所在直线的斜率为12．
故AC边上的高所在直线方程为 y+3=12(x+1)，即 x−2y−5＝0．
【答案】
化圆C2:x2+y2+10x+10y＝0为(x+5)2+(y+5)2＝50，
可得圆心C2(−5, −5)，半径为52，
设圆C1：(x−a)2+(y−b)2＝r2，
则a2+(6−b)2=r2a2+b2=r2(a+5)2+(b+5)2=r+52 ，解得a=3b=3r=32 ．
∴ 圆C1的方程为(x−3)2+(y−3)2＝18；
由(2m+1)x+(m+1)y−7m−4＝0，得m(2x+y−7)+(x+y−4)＝0，
联立2x+y−7=0x+y−4=0 ，解得x=3y=1 ，
∴ 直线l经过的定点P的坐标为(3, 1)，
点P(3, 1)在圆C1内部，则当l⊥PC1 时，直线l被圆C1所截得的弦长最小，
此时|PC1|＝|3−1|＝2，则直线l被圆C1所截得的弦长最小值为218−4=214．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再设圆C1：(x−a)2+(y−b)2＝r2，由题意列关于a，b，r的方程组，求解可得a，b，r的值，则圆C1的方程可求；
（2）由直线系方程求得直线l所过定点坐标，然后求出圆心到定点的距离，再由垂径定理求得直线l被圆C1所截得的弦长的最小值．
【解答】
化圆C2:x2+y2+10x+10y＝0为(x+5)2+(y+5)2＝50，
可得圆心C2(−5, −5)，半径为52，
设圆C1：(x−a)2+(y−b)2＝r2，
则a2+(6−b)2=r2a2+b2=r2(a+5)2+(b+5)2=r+52 ，解得a=3b=3r=32 ．
∴ 圆C1的方程为(x−3)2+(y−3)2＝18；
由(2m+1)x+(m+1)y−7m−4＝0，得m(2x+y−7)+(x+y−4)＝0，
联立2x+y−7=0x+y−4=0 ，解得x=3y=1 ，
∴ 直线l经过的定点P的坐标为(3, 1)，
点P(3, 1)在圆C1内部，则当l⊥PC1 时，直线l被圆C1所截得的弦长最小，
此时|PC1|＝|3−1|＝2，则直线l被圆C1所截得的弦长最小值为218−4=214．
【答案】
设直线l的方程为x＝mx+2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y2=2xx=my+2 ，消去x，得：y2−2my−4＝0，
∴ y1+y2＝2m，y1y2＝−4，
∴ x1x2＝(my1+
(my2+(1)＝m2y1y2+2m(y1+y2)+4＝−4m2+4m2+4＝4，
∴ x1x2+y1y2＝0，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ 以AB为直径的圆过原点O．
【考点】
轨迹方程
【解析】
（1）由已知得(x−12)2+y2=x+1，由此能求出动点P的轨迹C的方程．
（2）设直线l的方程为x＝mx+2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，利用韦达定理，求出OA→⋅OB→=0，即可证明．
【解答】
设直线l的方程为x＝mx+2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y2=2xx=my+2 ，消去x，得：y2−2my−4＝0，
∴ y1+y2＝2m，y1y2＝−4，
∴ x1x2＝(my1+
(my2+(1)＝m2y1y2+2m(y1+y2)+4＝−4m2+4m2+4＝4，
∴ x1x2+y1y2＝0，
∴ OA→⋅OB→=0，
∴ 以AB为直径的圆过原点O．
【答案】
设M(x, y)，由题意可得P(x, 2y)，
由题意可得P在圆上，即x2+(2y)2＝4，
整理可得x24+y2＝1，
所以中点M的轨迹曲线C的方程x24+y2＝1．
设直线l的方程为x＝my−1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
直线l的方程与曲线C的方程联立，消去x，整理得(m2+4)y2−2my−3＝0，
所以y1+y2=2mm2+4，y1y2=−3m2+4，
所以△AOB的面积为S=12|OE||y1−y2|=12×1×(y1+y2)2−4y1y2=124m2(m2+4)+12m2+4
=2m2+3m2+4=2m2+3+1m2+3≤23+13=32，当m＝0时，取得等号，
所以△AOB面积的最大值为32．
【考点】
轨迹方程
【解析】
（1）设M的坐标，由题意可得P的坐标，再由P在圆上，由相关点法求出M的轨迹方程；
（2）设直线l的方程为x＝my−1，与曲线C的方程联立，由根与系数的关系，及面积公式化简可得△AOB的面积为S=2m2+3+1m2+3，由对勾函数的性质可得S的最大值．
【解答】
设M(x, y)，由题意可得P(x, 2y)，
由题意可得P在圆上，即x2+(2y)2＝4，
整理可得x24+y2＝1，
所以中点M的轨迹曲线C的方程x24+y2＝1．
设直线l的方程为x＝my−1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
直线l的方程与曲线C的方程联立，消去x，整理得(m2+4)y2−2my−3＝0，
所以y1+y2=2mm2+4，y1y2=−3m2+4，
所以△AOB的面积为S=12|OE||y1−y2|=12×1×(y1+y2)2−4y1y2=124m2(m2+4)+12m2+4
=2m2+3m2+4=2m2+3+1m2+3≤23+13=32，当m＝0时，取得等号，
所以△AOB面积的最大值为32．
【答案】
根据题意可得e=ca=12c=1a2=b2+c2 ，
解得a＝2，c＝1，b=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，P(x3, y3)，
则|FA|=(x1−1)2+y12=(x1−1)2+3(1−x14)2=2−x12，
同理|FB|＝2−x22，|FP|＝2−x32，
所以|FA|+|FB|＝4−12(x1+x2)＝3，
又|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，故|FA|+|FB|＝2|FP|，
所以4−x3＝3，即x3＝1，所以P(1, ±32)．
假设存在这样的点，且设Q(0, y0)，又y＝kx+n，
y=kx+n3x2+4y2−12=0 得(3+4k2)x2+8knx+4n2−12＝0，
所以x1+x2=−8kn3+4k2x1⋅x2=4n2−123+4k2 ，又△>0得4k2−n2+3>0，
因为∠OQA＝∠OQB，所以QA与QB倾斜角互补，即kQA+kQB＝0，
所以y0−y1−x1+y0−y2−x2=0，
所以x2(y0−y1)+x1(y0−y2)＝0，
所以y0(x1+x2)−x2y1−x1y2＝0，
所以y0(x1+x2)−x2(kx1+n)−x1(kx2+n)＝0，
所以(y0−n)(x1+x2)−2kx1x2＝0，
所以(y0−n)(−8kn)−2k(4n2−12)＝0，
所以k(24−8ny0)＝0，
所以y0=3n，
故存在这样的点，且Q(0, 3n)．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）根据题意可得e=ca=12c=1a2=b2+c2 ，解得a，c，b，推出椭圆C的方程，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，P(x3, y3)，由两点之间的距离公式得|FA|＝2−x12，|FB|＝2−x22，|FP|＝2−x32，由|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，故|FA|+|FB|＝2|FP|，进而解得x3，得P点坐标．
（2）假设存在这样的点，且设Q(0, y0)，直线l方程为y＝kx+n，联立椭圆的方程，消去y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得x1+x2=−8kn3+4k2x1⋅x2=4n2−123+4k2 ，又△>0得4k2−n2+3>0，由∠OQA＝∠OQB，推出kQA+kQB＝0，进而得y0=3n，故得Q坐标．
【解答】
根据题意可得e=ca=12c=1a2=b2+c2 ，
解得a＝2，c＝1，b=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，P(x3, y3)，
则|FA|=(x1−1)2+y12=(x1−1)2+3(1−x14)2=2−x12，
同理|FB|＝2−x22，|FP|＝2−x32，
所以|FA|+|FB|＝4−12(x1+x2)＝3，
又|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，故|FA|+|FB|＝2|FP|，
所以4−x3＝3，即x3＝1，所以P(1, ±32)．
假设存在这样的点，且设Q(0, y0)，又y＝kx+n，
y=kx+n3x2+4y2−12=0 得(3+4k2)x2+8knx+4n2−12＝0，
所以x1+x2=−8kn3+4k2x1⋅x2=4n2−123+4k2 ，又△>0得4k2−n2+3>0，
因为∠OQA＝∠OQB，所以QA与QB倾斜角互补，即kQA+kQB＝0，
所以y0−y1−x1+y0−y2−x2=0，
所以x2(y0−y1)+x1(y0−y2)＝0，
所以y0(x1+x2)−x2y1−x1y2＝0，
所以y0(x1+x2)−x2(kx1+n)−x1(kx2+n)＝0，
所以(y0−n)(x1+x2)−2kx1x2＝0，
所以(y0−n)(−8kn)−2k(4n2−12)＝0，
所以k(24−8ny0)＝0，
所以y0=3n，
故存在这样的点，且Q(0, 3n)．