高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性课后测评

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3.1.2 函数的单调性
一、选择题
1．直线与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
直线y=x+a是一次函数，斜率k=1，b=a，可判断从左到右图象上升，B,D不满足题意;
当b=a＞0时，y=x+a的图象在y轴上的交点在正半轴，没有选项，
所以a＜0，则直线y=ax表示直线过原点，且斜率为小于0，
所以选项A错误，C正确．故选：C
2．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A中，函数y＝﹣x2+2在（﹣∞，0）上为增函数；
B中，函数y＝4x﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；
C中，函数y＝x2+4x在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；
D中，函数在（﹣∞，0）上为减函数
故选：D．
3．已知函数在定义域上是减函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
依题意，，所以，解得．故选A
4．若函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝( ).
A．2 B．3 C．1 D．-1
【答案】C
【解析】
因为a＞0，所以一次函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递增，
所以当x=3时，函数y＝ax＋1取得最大值，
故3a＋1=4，解得a＝1.
故选C.
5．已知函数f（x）=x2-kx-6在[2，8]上是单调函数，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣6的对称轴为x，
若f（x）在[2，8]上是单调函数，必有2或8，
解可得：k≤4或k≥16，
即k的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；
故选：D．
6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），且对任意的x1，x2∈（-∞，1]（x1≠x2）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
∵当x1，x2∈（-∞，1]（x1≠x2）时有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0，
∴f（x）在（-∞，1]上单调递减，
∵f（x）=f（2-x），
∴函数f（x）的图象关于x=1对称，则f（x）在∈（1，+∞）上单调递增，
∴f（-1）=f（3）>f（2）＞f（1）
即f（-1）＞f（2）＞f（1）
故选：B．
7．已知函数在上是减函数，则a的取值范围为 )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数在上是减函数，
，
求得，
故选：B．
8．已知函数f（x）是R上的增函数，A（4，2）是其图象上的一点，那么f（x）＜2的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为是函数的图象上的一点，则，
所以，
又因为函数是上的增函数，
所以，
即的解集是，故选B．
9．函数f（x）=满足：对任意的实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为函数f（x）=满足：对任意的实数x1≠x2，
都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，
且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，
故有，
解得1≤a≤2．
所以实数a的取值范围是[1，2]．
故选：C．
二、填空题
10．已知函数在区间上的函数值恒为正，则b的取值范围为______．
【答案】
【解析】
为增函数，
∴若在区间上的函数值恒为正，
则只需要即可，
即，
即实数b的取值范围是，
故答案为：
11．已知函数，若在上是减函数，则实数的取值范围为____.
【答案】[，0）
【解析】
若在R上是减函数，
因为y=在上单调递减，故只需满足，
解得：k∈[，0）
故答案为：[，0）
12．若，且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
，
可得时，递减；
时，递减，
且，
可得在R上递减，
，可得，
解得，
故答案为：．
13．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数＝_________________.
【答案】答案不唯一，比如或；
【解析】
根据题意只要举出的例子不符合函数单调增即可，可以在区间端点处违反单调性，即.
答案为：答案不唯一，比如或；
三、解答题
14．已知函数．
Ⅰ画出的图象；
Ⅱ根据图象写出的值域、单调区间．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的单调递减区间为，无增区间．
【解析】
Ⅰ，
的图象；
Ⅱ由图象知的值域为，
的单调递减区间为，无增区间．
15．已知函数f（x）=，
（Ⅰ）画出f（x）的图象；
（Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）[-1，0]，[2，5]
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）=的图象如下：
（Ⅱ）f（x）的单调递增区间为[-1，0]，[2，5]．
16．已知函数，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．
【答案】（1）（2）f（x）在（0，1）上单调递减，证明见解析.
【解析】
（1）∵；
∴；
解得a=1，b=1；
∴；
（2）f（x）在区间（0，1）上单调递减，证明如下：
设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：
=；
∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；
∴x1-x2＜0，，；
∴；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
17．已知函数,且，.
（I）求的函数解析式；
（II）求证：在上为增函数；
（III）求函数的值域.
【答案】（I）（II）见解析（III）
【解析】
（I）函数,
由得a+4b=6,①
由得2a+5b=9,②
联立①②解得a=2,b=1,
则函数解析式为
（II）任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
∴
∵3≤x1＜x2≤5，
∴