2020-2021学年湖南省常德市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省常德市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M={0, 1}，集合N满足M∪N={0, 1}，则集合N共有( )个．
A.1B.2C.3D.4

2. 直线x+2y+2=0与直线2x+y−2=0的交点坐标是( )
A.(2, −2)B.(−2, 2)C.(−2, 1)D.(3, −4)

3. 已知椭圆x29+y2n=1的焦距为2，则n=( )
A.8或10B.8C.5D.5或13

4. 已知csα=−35，α是第三象限的角，则sinα=( )
A.−35B.45C.−45D.43

5. 已知函数f(x)=ax(a>0, a≠1)在[1, 2]上的最大值和最小值的和为6，则a=( )
A.2B.3C.4D.5

6. 在△ABC中，a=3b，A=120∘，则B的大小为( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

7. 一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为( )
A.10B.12C.14D.16

8. 已知tanα=2，则tan(α−π4)=( )
A.14B.13C.12D.−3

9. 圆x2+y2=1与圆(x+1)2+(y+4)2=16的位置关系是( )
A.相外切B.相内切C.相交D.相离

10. “|x−3|<1”是“3x−1>1”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题

不等式x2−5x≤0的解集是________．

已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈0,+∞时， fx=x3+x2+1，则f−2=________.

已知函数f(x)=Asinωx(A>0, ω>0)的图象如图所示，则A，ω的值分别是________．


命题“∃x>0，2x−1>0"的否定是________.

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y2b2=1 a>0, b>0的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题

如图，甲，乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：

(1)某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；

(2)估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20, 40]内的概率．

求满足下列条件的曲线的方程：
(1)离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程；

(2)与椭圆x227+y236=1有相同焦点，且经过点15,4的双曲线的标准方程．

如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O，D分别是AB，PB的中点．

(1)求证：PA // 平面COD；

(2)求三棱锥P−ABC的体积．

已知函数f(x)=2+1x−a的图象经过点(2, 3)，a为常数．
(1)求a的值和函数f(x)的定义域；

(2)用函数单调性定义证明f(x)在(a, +∞)上是减函数．

某种汽车购买费用为10万元，每年的保险、汽油费用为9000元.汽车的维修费用如下：第一年2000元，第二年4000元，第三年6000元，并以每年2000的增量递增．
(1)这种汽车第n年的维修费用是多少元？

(2)这种汽车使用10年，一共花费了多少钱？
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省常德市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
子集与真子集的个数问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
根据集合的包含关系求出集合N的个数即可．
【解答】
解：M={0, 1}，集合N满足M∪N={0, 1}，
则N⊆M，
故N=⌀，{0}，{1}，{0, 1}共4种可能.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
两条直线的交点坐标
【解析】
根据题意，联立两直线的方程，解可得x、y的值，即可得交点坐标，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，联立x+2y+2=0，2x+y−2=0，
解可得x=2，y=−2，
即直线x+2y+2=0与直线2x+y−2=0的交点坐标是(2, −2).
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
对椭圆的焦点在x,y轴进行分情况讨论，利用c2=a2−b2即可得到答案.
【解答】
解：由题意，若椭圆x29+y2n=1的焦点在x轴上，
则a2=9，b2=n，
于是由焦距为2可求出9−n=1，解之得n=8；
若椭圆x29+y2n=1的焦点在y轴上，则a2=n，b2=9，
于是由焦距为2可求出n−9=1，解之得n=10，
所以n=8或n=10.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．
【解答】
解：∵ csα=−35，α是第三象限的角，
∴ sinα=−1−cs2α=−45.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．
【解答】
解：根据指数函数的性质：
当x=1时，f(x)取得最大值，那么x=2时取得最小值，
或者x=1时，f(x)取得最小值，那么x=2时取得最大值．
∴ a+a2=6．
∵ a>0，a≠1，
∴ a=2．
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinB=12，结合B的范围即可得解B的值．
【解答】
解：∵ a=3b，A=120∘，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB，可得：sinB=12，
又∵ B∈(0∘, 60∘)，
∴ B=30∘．
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得所求．
【解答】
解：每个个体被抽到的概率等于2449+35=27，
则应从男运动员中抽出的人数为49×27=14.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
由题意直接利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【解答】
解：∵ tanα=2，则tan(α−π4)=tanα−11+tanα=13.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．
【解答】
解：圆x2+y2=1的圆心(0, 0)，半径为1，
圆(x+1)2+(y+4)2=16的圆心(−1, −4)，半径为4，
圆心距为：1+16=17，半径和为5，半径差为3，
因为17∈(3, 5)，
所以两个圆的位置关系是相交．
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
因为|x−3|<1，所以21，所以1≤x<4，因为2,4⫋(1,4)，所“|x−3|<1或3x−x−1>1”的充分不必要条件．
【解答】
解：因为|x−3|<1，所以2因为3x−1>1，所以1因为2,4⫋(1,4)，所以“|x−3|<1”是“3x−1>1”的充分不必要条件．
故选B.
二、填空题
【答案】
{x|0≤x≤5}
【考点】
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的应用
【解析】
把不等式x2−5x≤0化为x(x−5)≤0，求出解集即可．
【解答】
解：不等式x2−5x≤0可化为：
x(x−5)≤0，
解得0≤x≤5，
∴ 不等式的解集是{x|0≤x≤5}．
故答案为：{x|0≤x≤5}.
【答案】
−13
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题。
【解答】
解：当x∈(0,+∞)时，f(x)=x3+x2+1，
∴ f(2)=23+22+1=13.
由于函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，
∴ f(−2)=−f(2)=−13.
故答案为：−13．
【答案】
3；2
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
根据图象信息即可求出A，ω 的值．
【解答】
解：根据图象，可知最高点为3，最低点−3，
∴ A=3.
从图可以看出周期T=π，即2πω=π，
∴ ω=2.
故答案为：3；2.
【答案】
∀x>0，2x−1≤0
【考点】
命题的否定
【解析】
本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可.
【解答】
解：∵ 命题“∃x>0，2x−1>0"是一个特称命题，
∴ 命题“∃x>0，2x−1>0"的否定是“∀x>0，2x−1≤0”.
故答案为：∀x>0，2x−1≤0.
【答案】
y=±52x
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
利用双曲线的离心率得到ca=32，再利用a2+b2=c2得到a，b的关系式，即可求出渐近线方程.
【解答】
解：由题意可得双曲线的离心率ca=32，
所以c=32a.
又a2+b2=c2，
故b2=54a2,
所以双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax=±52x.
故答案为：y=±52x.
三、解答题
【答案】
解：(1)由茎叶图性质得：
中位数为：32+30+m2=33，
解得m=4．
(2)∵ 篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20, 40]内，
∴ 可以估计乙运动员得分落在[20, 40]的概率为：P=510=12.
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
用频率估计概率
【解析】
（1）由茎叶图性质利用中位数定义列出方程，求出m．
（2）由篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20, 40]内，能估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20, 40]内的概率．
【解答】
解：(1)由茎叶图性质得：
中位数为：32+30+m2=33，
解得m=4．
(2)∵ 篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20, 40]内，
∴ 可以估计乙运动员得分落在[20, 40]的概率为：P=510=12.
【答案】
解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，
焦距为2c，离心率为e，
依题意，2a=6，
∴ a=3，又e=ca=23，
∴ c=2．又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5．
∴ 当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：x29+y25=1，
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：x25+y29=1．
∴ 椭圆的标准方程为x29+y25=1或x25+y29=1．
(2)由题意知双曲线焦点为F1(0, −3)，F2(0, 3)，
可设双曲线方程为，y2a2−x29−a2=1，
点(15, 4)在曲线上，代入得a2=4或a2=36（舍），
∴ 双曲线的方程为y24−x25=1.
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，
焦距为2c，离心率为e，
依题意，2a=6，
∴ a=3，又e=ca=23，
∴ c=2．又a2=b2+c2，
∴ b2=a2−c2=5．
∴ 当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：x29+y25=1，
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：x25+y29=1．
∴ 椭圆的标准方程为x29+y25=1或x25+y29=1．
(2)由题意知双曲线焦点为F1(0, −3)，F2(0, 3)，
可设双曲线方程为，y2a2−x29−a2=1，
点(15, 4)在曲线上，代入得a2=4或a2=36（舍），
∴ 双曲线的方程为y24−x25=1.
【答案】
(1)证明：∵ O，D分别是AB，PB的中点，
∴ OD // AP，又PA⊄平面COD，OD⊂平面COD，
∴ PA // 平面COD．
(2)解：连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB，
又∵ 平面PAB⊥平面ABC，∴ OP⊥面ABC，
且OP=32×22=6．
∴ 三棱锥P−ABC的体积为：
V=13SABC×OP=13×12×22×6=263．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）由O、D分别是AB，PB的中点，得OD // AP，即可得PA // 平面COD．
（2）连接OP，得OP⊥面ABC，且OP=32×22=6．即可得三棱锥P−ABC的体积V=13sABC×OP=13×12×22×6=263．
【解答】
(1)证明：∵ O，D分别是AB，PB的中点，
∴ OD // AP，又PA⊄平面COD，OD⊂平面COD，
∴ PA // 平面COD．
(2)解：连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB，
又∵ 平面PAB⊥平面ABC，∴ OP⊥面ABC，
且OP=32×22=6．
∴ 三棱锥P−ABC的体积为：
V=13SABC×OP=13×12×22×6=263．
【答案】
解：(1)函数f(x)=2+1x−a的图象经过点(2, 3)，
∴ 2+12−a=3，解得a=1.
∴ f(x)=2+1x−1，且x−1≠0，则x≠1，
∴ 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}.
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(1, +∞)上是减函数如下：
设1f(x1)−f(x2)=(2+1x1−1)−(2+1x2−1)=x2−x1(x1−1)(x2−1)，
∵ 10，x1−1>0，x2−1>0，
∴ f(x1)>f(x2)，
∴ f(x)在(1, +∞)上是减函数．
【考点】
函数的定义域及其求法
函数解析式的求解及常用方法
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）把点(2, 3)代入函数解析式求出a的值；根据f(x)的解析式，求出它的定义域；
（2）用单调性定义证明f(x)在(1, +∞)上是减函数即可．
【解答】
解：(1)函数f(x)=2+1x−a的图象经过点(2, 3)，
∴ 2+12−a=3，解得a=1.
∴ f(x)=2+1x−1，且x−1≠0，则x≠1，
∴ 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}.
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(1, +∞)上是减函数如下：
设1f(x1)−f(x2)=(2+1x1−1)−(2+1x2−1)=x2−x1(x1−1)(x2−1)，
∵ 10，x1−1>0，x2−1>0，
∴ f(x1)>f(x2)，
∴ f(x)在(1, +∞)上是减函数．
【答案】
解：(1)a1=2000，d=2000，
∴ 维修费用是首项为2000，公差为2000的等差数列，
∴an=a1+(n−1)d，
∴an=2000+(n−1)×2000，
∴an=2000n，
∴第n年维修费用是2000n元．
(2)维修费10年共需：
S10=10×2000+10×92×2000
=20000+90000
=110000．
∴共花费：10+11+0.9×10=21+9=30(万元)．
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
函数模型的选择与应用
【解析】

左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)a1=2000，d=2000，
∴ 维修费用是首项为2000，公差为2000的等差数列，
∴an=a1+(n−1)d，
∴an=2000+(n−1)×2000，
∴an=2000n，
∴第n年维修费用是2000n元．
(2)维修费10年共需：
S10=10×2000+10×92×2000
=20000+90000
=110000．
∴共花费：10+11+0.9×10=21+9=30(万元)．