2020-2021学年湖南省部分重点高中高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省部分重点高中高二（上）期中数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∀x>4，lg2x>2”的否定是（ ）
A.∃x0>4，lg2x0≤2B.∀x>4，lg2x≤2
C.∃x0≤4，lg2x0≤2D.∀x≤4，lg2x≤2

2. 抛物线y=116x2的准线方程是( )
A.y=4B.y=8C.y=−4D.y=−8

3. 已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且y​=0.6x+a​，则a​=( )
A.4.2B.4.6C.4.7D.4.9

4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin2A−2asinAcsB＝0，则△ABC的形状为（ ）
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形

5. 已知{an}是等差数列，且a1+a2＝4，a8+a9＝6，则这个数列的前9项和等于（ ）
A.45B.452C.55D.552

6. 已知正数m，n满足25m−1＝0.2n，则1m+2n的最小值为（ ）
A.2B.4C.8D.12

7. 已知平面向量m→=(1, λ+1)，n→=(λ+2, 2)，则“λ>−43”是“m→，n→的夹角为锐角”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O作斜率为3的直线交C的右支于点A，若∠F1AF2=2π3，则双曲线的离心率为（ ）
A.3B.3+1C.23+102D.32+102
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，点M(x0, y0)在抛物线C上，若|MF|＝4，则（ ）
A.x0＝3B.y0＝23
C.|OM|=21D.F的坐标为(0, 1)

已知a，b，c是三条不重合的直线，平面α，β相交于直线c，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则下列说法可能成立的是（ ）
A.a与c相交，且b与c也相交B.a // β，且b // α
C.a // c，且b与c相交D.a⊥c，且b⊥c

已知点P(1, −1)是角α终边上的一点，则（ ）
A.函数f(x)＝sin(2x+α)的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)
B.函数f(x)＝sin(2x+α)的对称轴方程为x=π8+kπ2(k∈Z)
C.函数g(x)=cs(3x+α+5π4)是奇函数
D.函数g(x)=cs(3x+α+5π4)是偶函数

已知lnx>lny，x≠1，y≠1，0A.xm>ymB.(x+1)lgy+1m<(y+1)lgx+1m
C.xym>yxmD.lgxm⋅lgmy>1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上

在等差数列{an}中，已知a1＝−3，a4＝1，则a7＝________．

已知椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是________．

已知函数f(x)=x−1,x≤0,lnx,x>0, 若函数g(x)＝f(x)+a恰有一个零点，则a的取值范围是________．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过函数y=x3x−1图象的对称中心，若椭圆C的离心率e∈(12,33)，则C的长轴长的取值范围是________2219,103） ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

在①AB＝2BD＝12，②sin∠BAD=2sin∠ABD，D为BC的中点，③∠DAB=π6，AB=103这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，在△ABC中，∠ACB=π4，点D在线段BC上，AD＝10，_____？

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C为锐角，且ab＝3，△ABC的面积为334．
（1）求角C；

（2）若△ABC外接圆的半径为433，求△ABC的周长．

记Sn是正项数列{an}的前n项和，an+32是6和Sn+124的等比中项，且a1≠2．
（1）求{an}的通项公式；

（2）若等比数列{bn}的公比为12，且1b1，1b2，1b3−2成等差数列，求数列{anbn}的前n项和Tn．

2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另投入成本f(x)=12x2+20x,0（1）求该游乐项目每天的利润y（元）关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；

（2）当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？

如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD．点E是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线CD，PC，PB分别交于点F，G，H．

（1）证明：GH // EF．

（2）若四棱锥P−ABCD的体积为83，求四边形EFGH的面积．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为22，点M为椭圆C上的动点，△F1MF2面积的最大值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M是椭圆C的上顶点，直线MF1交椭圆C于点N，过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆C交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若S​△F1MP:S​△F1NQ=3:2，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x>4，lg2x>2”的否定是∃x0>4，lg2x0≤2．
2.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
【解答】
解：化为标准方程为x2=16y，
故p=8，
其准线方程为y=−4.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据样本中心点在线性回归直线方程上即可得解．
【解答】
由表中数据可知，x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=5.5+6+7+7+85=6.7，
因为样本中心点(3, 6.7)在线性回归方程上，所以6.7＝0.6×3+a​，
所以a​=4.9．
4.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
【解析】
利用二倍角公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得bcsA＝acsB，进而由余弦定理可得a＝b，即可判断△ABC的形状为等腰三角形，即可得解．
【解答】
因为bsin2A−2asinAcsB＝0，
所以2bsinAcsA＝2asinAcsB，
因为sinA≠0，
所以bcsA＝acsB，
由余弦定理可得b⋅b2+c2−a22bc=a⋅a2+c2−b22ac，整理可得a＝b，
所以△ABC的形状为等腰三角形．
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的性质和前n项和公式求解．
【解答】
∵ a1+a2＝4，a8+a9＝6，
∴ a1+a2+a8+a9＝10，
∴ 2a1+2a9＝10，
∴ a1+a9＝5，
∴ S9=9(a1+a9)2=452，
6.
【答案】
B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合指数的运算性质可得，2m+n＝2，1m+2n=12(1m+2n)(2m+n)，然后结合基本不等式可求．
【解答】
因为正数m，n满足25m−1＝0.2n，
所以52m−2＝5−n，即2m−2＝−n，
所以2m+n＝2，m>0，n>0，
则1m+2n=12(1m+2n)(2m+n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2nm⋅4mn)=4，
当且仅当nm=4mn且2m+n＝2即m=12，n＝1时取等号．
7.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
当m→,n→的夹角为锐角时，可得出λ>−43且λ≠0，然后可看出λ>−43得不出λ>−43且λ≠0，而λ>−43且λ≠0可得出λ>−43，从而可得出正确的选项．
【解答】
m→,n→的夹角为锐角时，m→⋅n→>0且m→,n→不共线，
∴ λ+2+2(λ+1)>02−(λ+1)(λ+2)≠0 ，解得λ>−43，且λ≠0，
∵ λ>−43得不出λ>−43且λ≠0，而λ>−43且λ≠0能得出λ>−43，
∴ λ>−43是m→,n→的夹角为锐角的必要不充分条件．
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
画出图形，通过三角形相似，结合余弦定理求出2a，2c，然后求解离心率即可．
【解答】
由题意可知∠F1OA=2π3，易得△F1OA∽△F1AF2，
所以|F1O||F1A|=|F1A||F1F2|，可得|F1A|=2c．
在△F1AF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF3|cs2π3，
解得|AF2|=10−22c．
双曲线的离心率为：2c2c−10−22c=32+102．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
【答案】
A,C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出抛物线的焦点坐标判断D；利用抛物线的定义，求出x0，判断A；求出y0判断B，求解|OM|判断C．
【解答】
抛物线C:y2＝4x的焦点为F，可得F(1, 0)，所以D不正确；
点M(x0, y0)在抛物线C上，
所以x0＝3，所以A正确；x0＝3代入抛物线方程可得y0＝±23．所以B不正确；
|OM|=32+(23)2=21．所以C正确；
【答案】
A,C,D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由题意画出图形，由图可知，ACD可能成立；利用直线与平面平行的性质及平行公理说明B不可能成立．
【解答】
如图，
若a⊂α，b⊂β，且a，b为异面直线，则a与c相交，且b与c也相交可能成立，故A正确；
若a // β，由直线与平面平行的性质，可得a // c，又b // α，同理可得b // c，则a // b，这与a，b异面矛盾，故B错误；
当直线a处于图中d的位置时，a // c，且b与c相交，故C正确；
当图中a与c相交垂直，b与c相交垂直时，D正确．
∴ 说法可能成立的是ACD．
【答案】
A,D
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得α＝2kπ−π4，k∈Z，再利用三角函数的图象的对称性、函数的奇偶性，得出结论．
【解答】
∵ 点P(1, −1)是角α终边上的一点，∴ α为第四象限角，且tanα＝−1，α＝2kπ−π4，k∈Z．
故函数f(x)＝sin(2x+α)＝sin(2x−π4)，令2x−π4=nπ+π2，可得x=nπ2+3π8，n∈Z，
故f(x)的图象的对称轴方程为x=nπ2+3π8，n∈Z，故A正确，B不正确．
函数g(x)=cs(3x+α+5π4)=cs(3x−π4+5π4)＝−csx，故g(x)为偶函数，故D正确、C错误，
【答案】
A,B
【考点】
对数的运算性质
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
指数函数、对数函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
∵ 已知lnx>lny，x≠1，y≠1，∴ x>y>0，
∵ 0ym，故A成立；
∵ x+1>y+1>1，∴ lg（x+1）m>lg（y+1）m，
∴ (x+1)lg（x+1）m>(y+1)lg（y+1）m，故B正确；
∵ xm>ym>0，∴ xym 和yxm 的大小关系不确定，
例如 x＝4，y＝2，m=12，显然 xym=44，yxm=28，此时，xym=yxm，故C不对；
∵ lgxm⋅lgmy=lgmlgx⋅lgylgm=lgylgx=lgxy，当x>1，0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上
【答案】
−13
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
根据题意，由等比数列的性质可得a1a7＝(a4)2，进而计算可得答案．
【解答】
根据题意，在等差数列{an}中，a1a7＝(a4)2，
即−3a7＝1，解可得a7=−13，
【答案】
16
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据椭圆的定义即可求解．
【解答】
由已知椭圆方程可得a2＝16，所以a＝4，
又由椭圆的定义可得：|AF​1|+|AF2|＝2a＝8
且|BF1|+|BF2|＝2a＝8，
所以三角形ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝8+8＝16，
【答案】
(−∞, 1)
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
作出f(x)的图象，转化为y＝−a与f(x)只有一个交点问题，即可则a的取值范围．
【解答】
函数f(x)=x−1,x≤0,lnx,x>0,
作出f(x)的图象，
转化为y＝−a与f(x)只有一个交点问题，
从图象可知−a>−1，
即a<1，
故a的取值范围是(−∞, 1)
【答案】
（
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
先求出函数的对称中心，然后代入椭圆方程可得a，b的关系式，然后再根据椭圆的离心率的范围即可求解．
【解答】
因为函数y=x3x−1=13(1+13x−13)，
所以函数是对称中心为M(13, 13)，
把M代入椭圆方程可得：19a2+19b2=1，即b​2=a29a2−1，
而椭圆的离心率e=ca=1−b2a2，
所以e=1−a29a2−1a2=1−19a2−1∈(12,33)，
解得a​2∈(727,518)，即a∈(219,106)，
所以2a∈(2219,103)，
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
选择条件①，
在△ABD中，由余弦定理可得csB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=59，
∴ sinB=1−cs2B=2149，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
可得AC=ABsinBsinC=12×214922=1673．
选择条件②，
在△ABD中，sin∠BAD=2sin∠ABD，
可得BD=2AD=102，
又D为BC的中点，
所以CD=102，
在△ADC中，由余弦定理得AD2＝CD2+AC2−2CD⋅ACcs∠ACB，
得100＝200+AC2−20AC，
解得AC＝10．
选择条件③，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2+AB2−2AD⋅ABcs∠DAB＝100，即BD＝10，
则AD＝BD＝10，∠ADB=2π3，∠ADC=π3，
在△ADC中，由正弦定理得ADsinC=ACsin∠ADC，
可得AC=ADsin∠ADCsinC=56．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
选择条件①，在△ABD中，由余弦定理可得csB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，在△ABC中，由正弦定理即可求解AC的值．
选择条件②，在△ABD中，可得BD=2AD=102，CD=102，在△ADC中，由余弦定理即可求解AC的值．
选择条件③，在△ABD中，由余弦定理可得BD的值，可求AD＝BD＝10，∠ADB=2π3，∠ADC=π3，在△ADC中，由正弦定理即可解得AC的值．
【解答】
选择条件①，
在△ABD中，由余弦定理可得csB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=59，
∴ sinB=1−cs2B=2149，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
可得AC=ABsinBsinC=12×214922=1673．
选择条件②，
在△ABD中，sin∠BAD=2sin∠ABD，
可得BD=2AD=102，
又D为BC的中点，
所以CD=102，
在△ADC中，由余弦定理得AD2＝CD2+AC2−2CD⋅ACcs∠ACB，
得100＝200+AC2−20AC，
解得AC＝10．
选择条件③，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2+AB2−2AD⋅ABcs∠DAB＝100，即BD＝10，
则AD＝BD＝10，∠ADB=2π3，∠ADC=π3，
在△ADC中，由正弦定理得ADsinC=ACsin∠ADC，
可得AC=ADsin∠ADCsinC=56．
【答案】
因为ab＝3，△ABC的面积为334=12absinC=12×3×sinC，
解得sinC=32，
又因为C为锐角，
所以C＝60∘．
设△ABC外接圆的半径为R，则csinC=2R=833，
所以c=833×32=4，
因为c2＝a2+b2−2abcsC＝a2+b2−ab＝(a+b)2−3ab，
所以16＝(a+b)2−9，解得a+b＝5，
所以a+b+c＝5+4＝9，即△ABC的周长为9．
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）由已知利用三角形的面积公式可求sinC的值，结合C为锐角，可求C的值．
（2）设△ABC外接圆的半径为R，利用正弦定理可求c的值，根据余弦定理可求a+b的值，即可得解△ABC的周长．
【解答】
因为ab＝3，△ABC的面积为334=12absinC=12×3×sinC，
解得sinC=32，
又因为C为锐角，
所以C＝60∘．
设△ABC外接圆的半径为R，则csinC=2R=833，
所以c=833×32=4，
因为c2＝a2+b2−2abcsC＝a2+b2−ab＝(a+b)2−3ab，
所以16＝(a+b)2−9，解得a+b＝5，
所以a+b+c＝5+4＝9，即△ABC的周长为9．
【答案】
由题设可得：(an+32)2＝6(Sn+124)，又(an−1+32)2＝6(Sn−1+124)，n≥2，
两式相减得：(an+an−1+3)(an−an−1)＝6an，整理得：an2−an−12＝3(an+an−1)，
∵ an>0，∴ an−an−1＝3，n≥2，
又当n＝1时，有(a1+32)2＝6(S1+124)，又a1≠2，解得：a1＝1，
∴ 数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
由题设可得：2b2=1b1+1b3−2，又等比数列{bn}的公比为12，
∴ 212b1=1b1+114b1−2，解得：b1=12，
∴ bn＝(12)n，anbn=3n−22n，
∴ Tn=121+422+723+⋯+3n−22n，
又12Tn=122+423+⋯+3n−52n+3n−22n+1，
两式相减得：12Tn=12+3(122+123+⋯+12n)−3n−22n+1=12+3×122[1−(12)n−1]1−12−3n−22n+1，
整理得：Tn＝4−3n+42n．
【考点】
数列的求和
【解析】
（1）先由题设⇒(an+32)2＝6(Sn+124)，又(an−1+32)2＝6(Sn−1+124)，n≥2，两式相减整理得：an−an−1＝3，n≥2，再求得a1，即可得到：数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，进而求得an；
（2）先由题设求得bn，进而求得anbn，再利用错位相减法求得其前n项和即可．
【解答】
由题设可得：(an+32)2＝6(Sn+124)，又(an−1+32)2＝6(Sn−1+124)，n≥2，
两式相减得：(an+an−1+3)(an−an−1)＝6an，整理得：an2−an−12＝3(an+an−1)，
∵ an>0，∴ an−an−1＝3，n≥2，
又当n＝1时，有(a1+32)2＝6(S1+124)，又a1≠2，解得：a1＝1，
∴ 数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
由题设可得：2b2=1b1+1b3−2，又等比数列{bn}的公比为12，
∴ 212b1=1b1+114b1−2，解得：b1=12，
∴ bn＝(12)n，anbn=3n−22n，
∴ Tn=121+422+723+⋯+3n−22n，
又12Tn=122+423+⋯+3n−52n+3n−22n+1，
两式相减得：12Tn=12+3(122+123+⋯+12n)−3n−22n+1=12+3×122[1−(12)n−1]1−12−3n−22n+1，
整理得：Tn＝4−3n+42n．
【答案】
当0当500≤x≤800时，y＝400x−410x−3600000x+100000−10000=−10(x+360000x)+90000．
∴ y=−12x2+380x−10000,0由（1）可得，当0y=−12x2+380x−10000=−12(x−380)2+62200，
当x＝380时，ymax＝62200；
当500≤x≤800时，y＝−10(x+360000x)+90000≤−20x⋅360000x+90000=78000．
当且仅当x＝600时，ymax＝78000．
综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）由题意分段写出利润y（元）关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；
（2）分别利用配方法与基本不等式求最值，取最大值中的最大者得结论．
【解答】
当0当500≤x≤800时，y＝400x−410x−3600000x+100000−10000=−10(x+360000x)+90000．
∴ y=−12x2+380x−10000,0由（1）可得，当0y=−12x2+380x−10000=−12(x−380)2+62200，
当x＝380时，ymax＝62200；
当500≤x≤800时，y＝−10(x+360000x)+90000≤−20x⋅360000x+90000=78000．
当且仅当x＝600时，ymax＝78000．
综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元．
【答案】
∵ BC // AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴ BC // 平面PAD，又平面PAD // 平面EFGH，∴ BC // 平面EFGH，
∵ BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面EFGH＝GH，
∴ BC // GH，同理，BC // EF，
可得GH // EF；
由VP−ABCD=13⋅PD⋅4=83，得PD＝2，
∵ 平面PAD // 平面EFGH，且平面PAB∩平面EFGH＝EH，
平面PAB∩平面PAD＝PA，∴ PA // HE，
∵ 平面PAD // 平面EFGH，且平面PCD∩平面EFGH＝GF，
平面PCD∩平面PAD＝PD，∴ PD // GF，
又点E是AB的中点，可知G、H、F分别为PC、PB、CD的中点，
∴ EF＝2，GH＝1，GF＝1，且GF⊥CD，
∴ 四边形EFGH的面积为(1+2)×12=32．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
直线与平面平行
【解析】
（1）由已知证明BC // GH，BC // EF，由平行公理可得GH // EF；
（2）由棱锥体积求得PD＝2，再证明四边形EFGH为直角梯形，则其面积可求．
【解答】
∵ BC // AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴ BC // 平面PAD，又平面PAD // 平面EFGH，∴ BC // 平面EFGH，
∵ BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面EFGH＝GH，
∴ BC // GH，同理，BC // EF，
可得GH // EF；
由VP−ABCD=13⋅PD⋅4=83，得PD＝2，
∵ 平面PAD // 平面EFGH，且平面PAB∩平面EFGH＝EH，
平面PAB∩平面PAD＝PA，∴ PA // HE，
∵ 平面PAD // 平面EFGH，且平面PCD∩平面EFGH＝GF，
平面PCD∩平面PAD＝PD，∴ PD // GF，
又点E是AB的中点，可知G、H、F分别为PC、PB、CD的中点，
∴ EF＝2，GH＝1，GF＝1，且GF⊥CD，
∴ 四边形EFGH的面积为(1+2)×12=32．
【答案】
△F1MF2面积的最大值为：
Smax=12|F1F2|⋅b=12⋅2c⋅b＝bc＝1，①
又ca=22，②
a2＝b2+c2，③
由①②③解得a=2,b=1，
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
由题可得直线MF1的方程为y＝x+1，
联立y=x+1x22+y2=1 ，得N(−43,−13)，则|NF1||MF1|=13，
因为S△F1MP:S△F1NQ=3:2，
所以12|NF1|⋅|QF1|sin∠QF1N=23(12|MF1|⋅|PF1|sin∠PF1M)
得|QF1|＝2|PF1|，
当直线l的斜率为0时，不符合题意，
故设直线l的方程为x＝my−1，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
由点P在点Q的上方，则y2＝−2y1
联立x=my−1x22+y2=1 得(m2+2)y2−2my−1＝0，
则y1+y2=2mm2+2y1y2=−1m2+2
则−2(2mm2+2)2=−1m2+2，得m2=27,m=±147，
又y1+y2=2mm2+2=−y1<0，则m=147，不符合题意，所以m=−147
故直线l的方程为7x+14y+7=0．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）根据题意可得bc＝1①，ca=22②，a2＝b2+c2③，解得a，b，进而写出椭圆C的标准方程．
（2）P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
联立直线MF1与椭圆C的方程，解得N坐标，进而推出|NF1||MF1|=13，由于S△F1MP:S△F1NQ=3:2 推出|QF1|＝2|PF1|，分别分两种情况当直线l的斜率为0时，斜率不为0时，直线l的方程x＝my−1，联立椭圆的方程，进而得y1+y2解得m，写出直线l的方程．
【解答】
△F1MF2面积的最大值为：
Smax=12|F1F2|⋅b=12⋅2c⋅b＝bc＝1，①
又ca=22，②
a2＝b2+c2，③
由①②③解得a=2,b=1，
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
由题可得直线MF1的方程为y＝x+1，
联立y=x+1x22+y2=1 ，得N(−43,−13)，则|NF1||MF1|=13，
因为S△F1MP:S△F1NQ=3:2，
所以12|NF1|⋅|QF1|sin∠QF1N=23(12|MF1|⋅|PF1|sin∠PF1M)
得|QF1|＝2|PF1|，
当直线l的斜率为0时，不符合题意，
故设直线l的方程为x＝my−1，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
由点P在点Q的上方，则y2＝−2y1
联立x=my−1x22+y2=1 得(m2+2)y2−2my−1＝0，
则y1+y2=2mm2+2y1y2=−1m2+2
则−2(2mm2+2)2=−1m2+2，得m2=27,m=±147，
又y1+y2=2mm2+2=−y1<0，则m=147，不符合题意，所以m=−147
故直线l的方程为7x+14y+7=0．x
1
2
3
4
5
y
5.5
6
7
7
8