题型十三数学思想-2021年中考数学二轮复习重点题型专项训练（含解析）

这是一份题型十三数学思想-2021年中考数学二轮复习重点题型专项训练（含解析），共8页。
中考数学第二轮复习----题型十三数学思想类型1  方程思想如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE上的点H处，连接PH并延长交BC于点F，则EF的长为（）
A.  B.  C.  D. 第1题图            第2题图             第3题图               第4题图如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是______．如图,直线ABCD,直线l与直线AB、CD相交于点E、F,点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E),将EPF沿PF折叠,使顶点E落在点Q处. (1)若PEF=,点Q恰好落在其中的一条平行线上,请直接写出EFP的度数;(2)若PEF=,CFQ=PFC,求EFP的度数.


类型2  函数思想如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（）（1）EFOE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE+BFOA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE；（5）OG•BD＝AE2+CF2．A. （1）（2）（3）（5） B. （1）（3）（4）（5）
C. （2）（3）（4）（5） D. （1）（2）（3）（4）如图，在，，，，是边上异于点，的一动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，则四边形面积的最大值是________．
第5题图         第6题图                            第7题图 如图，点G是边长为1的正方形ABCD的边BC上的动点，以BG为边长作正方形BEFG，其中A，B，E三点在同一条直线上，连结A，G，延长AG交CE的连线于点H，则AG×GH的最大值为__________．类型3  数形结合思想在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（　　）
A. 2a  B. 2b    C. 2a-2b  D. -2b如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式kx+b-≥0的解集为______．

     第8题图                 第9题图             第11题图如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A（－1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________．类型4  分类讨论思想已知，，且，则的值为(    )A. 1或7 B. 1或 C.  D. 如图，直线y=kx-2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB=1．
（1）求k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．



     


 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？

  



类型5  化归转化思想
 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？




 计算的结果为  （    ）A. 1 B.  C.  D. 阅读下列材料：关于x的方程：
的根是x1＝c，；
(即)的根是x1＝c，；
的根是x1＝c， ……(1)观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程(m≠0)的解，并利用“方程的解”的概念进行验证．(2)通过(1)中的结论，你能解出关于x的方程的解吗?若能，请求出此方程的解；若不能，请说明理由．







答案和解析1.【答案】A
 【解析】解：连接AF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=1，∠B=90°，
∵BE=EC=，
∴AE==，
由翻折不变性可知：AD=AH=1，∠AHP=∠D=，
∴EH=AE-AH=-1，
∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AB，
∴Rt△AFBRt△AFH，
∴BF=FH，设EF=x，则BF=FH=-x，
在Rt△FEH中，∵EF2=EH2+FH2，
∴x2=（-x）2+（-1）2，
∴x=，
故选A．
首先证明Rt△AFBRt△AFH，推出BF=FH，设EF=x，则BF=FH=-x，在Rt△FEH中，根据EF2=EH2+FH2，构建方程即可解决问题；
本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】或
 【解析】【分析】
联立y=kx、y=并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），分AB=BC、AC=BC两种情况分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，方程思想，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
【解答】
解：联立y=kx、y=并解得：点A（，2），同理点B（，3），
点C（，），∴AB≠AC，
①当AB=BC时，（）2+（3-2）2=（3-）2，解得：k=±（舍去负值）；
②当AC=BC时，同理可得：（-）2+（3-2）2=（3-）2，解得：k=（舍去负值）；
故答案为：或．
3.【答案】解：(1)如图,当点Q落在AB上时,FPAB,
所以EFP=-PEF=;如图,当点Q落在CD上时,
因为将EPF沿PF折叠,使顶点E落在点Q处,
所以1=2.
因为ABCD,所以QFE=-PEF=,
所以PFE=QFE=.(2)如图,当点Q在平行线AB、CD之间时,设PFQ=x,
由折叠可得EFP=x,因为CFQ=PFC,
所以PFQ=CFQ=x.
因为ABCD,所以AEF+CFE=,
所以+x+x+x=,所以x=,
所以EFP=如图,当点Q在CD的下方时,设CFQ=y,由CFQ=PFC得,PFC=2y,所以PFQ=3y.
由折叠得,PFE=PFQ=3y.
因为ABCD,所以AEF+CFE=,
所以2y+3y+=,所以y=,EFP=3y=,
综上所述,EFP的度数是或.
 【解析】本题主要考查平行线的性质，折叠与对称，分类讨论的应用.
（1）可分两种情况：如图，当点Q落在AB上时，FPAB，利用直角三角形的性质可求解EFP的度数；如图，当点Q落在CD上时，由折叠可知1=2，由平行线的性质可得QFE=-PEF=，进而可求解PFE的度数；
（2）可分两种情况：如图，当点Q在平行线AB，CD之间时，设PFQ=x，则可求EFP=x，PFQ=CFQ=x，由平行线的性质可得AEF+CFE=，进而可列关于x的方程，解方程即可求解；如图,当点Q在CD的下方时，设CFQ=y，则可求PFC=2y，PFE=PFQ=3y由平行线的性质可得AEF+CFE=，进而可列关于y的方程，解方程即可求解.
4.【答案】A
 【解析】【分析】
此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．
​​​​​​​（1）由四边形ABCD是正方形，∠EOF＝90°，易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得结论；
（2）由（1）易证得S四边形OEBF＝S△BOCS正方形ABCD，则可证得结论；
（3）由BE＝CF，可得BE+BF＝BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BFOA；
（4）首先设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；
（5）易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB＝OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论．
【解答】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴EFOE；
故（1）符合题意；
（2）∵S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOF＝S△BOF+S△COF＝S△BOCS正方形ABCD，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；
故（2）符合题意；
（3）∵△BOE≌△COF,
∴BE+BF＝BF+CF＝BCOA；
故（3）符合题意；
（4）过点O作OH⊥BC，
∵BC＝1，
∴OHBC，
设AE＝x，则BE＝CF＝1﹣x，BF＝x，
∴S△BEF+S△COFBE•BFCF•OHx（1﹣x）（1﹣x）（x）2，
∵a0，
∴当x时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE；
故（4）不符合题意；
（5）∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB＝OG：OE，
∴OG•OB＝OE2，
∵OBBD，OEEF，
∴OG•BD＝EF2，
∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
∴OG•BD＝AE2+CF2．
故（5）符合题意．
​​​​​​​故选：A．
5.【答案】​​​​​​​
 【解析】【分析】
本题主要考查翻折的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角的定义、二次函数的综合应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；解题时设CD=x，则，由将沿翻折得到，将沿翻折得到，可知≌，≌，由此可得BE=BD，CF=CD，然后分别过点E、F做EN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，由三角形内角和定理、邻补角的定义易得∠EBN=30°，∠FCM=60°，进而可得EN、BN、CM、FM的大小，最后由四边形面积等于梯形ENMF的面积减去ΔEBN，再减去ΔCFM的面积得出关于x的函数，由二次函数函数的性质求解即可；
【解答】
解设CD=x，则，
∵将沿翻折得到，将沿翻折得到，
∴≌，≌，
∴∠ABE=∠ABD，∠ACF=∠ACD=60°，
，CF=CD=x，
如图，分别过点E、F做EN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，

∵，，
∴∠ABC=75°，∠EBN=30°，∠FCM=60°，
∴

∵NM=NB+BC+CM，
∴NM=
∴




∴当x=2时，四边形的面积最大，为，
故答案为.
6.【答案】​​​​​​​
 【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，函数方程思想.掌握相似三角形的判定和性质得二次函数是解本题的关键.
先根据正方形的性质和SAS证明△EBC△GBA得∠BCE=∠BAG，再证明△BGA△HGC，设BG=x，则CG=CB-x=1-x，根据相似三角形的对应边成比例得AG×GH的函数解析式，最后根据二次函数的最值即可解答.
【解答】
解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形ABCD，A，B，E三点在同一条直线上，
∴BE=BG，∠EBG=∠GBA=90°，BC=BA,
∴△EBC△GBA,
∴∠BCE=∠BAG,
∵∠BGA+∠BAG=90°，∠BGA=∠HGC，
∴∠HGC+∠BCH=90°,
∴∠GHC=90°,
∴∠GHC=∠GBA=90°，
又∠BGA=∠HGC，
∴△BGA△HGC，
∴,
设BG=x，则CG=CB-x=1-x，
∴AG×GH=BG×CG=x(1-x)=-x2+x=-
∵a=-1<0,
∴当x=时，AG×GH有最大值，最大值为.
故答案为.
7.【答案】B
 【解析】解：S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），
S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），
∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）•a-（AB-b）（AD-a）
=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）
=b•AD-ab-b•AB+ab=b（AD-AB）=2b．
故选：B．
利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
8.【答案】x＜0和1≤x≤4
 【解析】解：从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，
故不等式kx+b-≥0的解集为x＜0和1≤x≤4，
故答案为：x＜0和1≤x≤4．
从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，从而求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
9.【答案】x＜-1或x＞4
 【解析】【分析】
观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
【解答】
解：观察函数图象可知：当x＜-1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜-1或x＞4．
故答案为x＜-1或x＞4．
10.【答案】D
 【解析】【分析】
本题主要考查的是有理数的减法、绝对值、有理数的乘法，求得当a=3时，b=-4；当a=-3时，b=4是解题的关键．由绝对值的性质可知a=±3，b=±4，由ab＜0可知a、b异号，从而判断出a、b的值，最后代入计算即可．
【解答】解：∵|a|=3，|b|=4，
∴a=±3，b=±4．
∵ab＜0，
∴当a=3时，b=-4；当a=-3时，b=4．
当a=3，b=-4时，原式=3-（-4）=3+4=7；
当a=-3，b=4时，原式=-3-4=-7．
故选D．
11.【答案】解：（1）∵OB=1，
∴B（1，0），
∵点B在直线y=kx-2上，
∴k-2=0，
∴k=2；
（2）由（1）知，k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，
∵点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x-2上的一个动点，
∴y=2x-2（x＞1），
∴S=S△AOB=×OB×|yA|=×1×|2x-2|=x-1；
（3）①如图，

由（2）知，S=x-1，
∵△AOB的面积是1；
∴x=2，
∴A（2，2），
∴OA=2；
②设点P（m，0），
∵A（2，2），
∴OP=|m|，AP=，
当OA=OP时，2=|m|，
∴m=±2，P1（-2，0），P2（2，0）；
当OA=AP时，2=，
∴m=0或m=4，P3（4，0）；
当OP=AP时，|m|=，
∴m=2，P4（2，0）；
即：满足条件的所有P点的坐标为P1（-2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．
 【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，分类讨论的数学思想，解本题的关键是求出点A的坐标．
（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
（3）①利用三角形的面积求出点A坐标；
②设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分三种情况讨论计算即可得出点P坐标．
12.【答案】解：设同时运动ts时两个三角形相似，
当△PCQ∽△BCA，则，t=0.8；
当△PCQ∽△ACB，则，t=2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
 【解析】设同时运动ts时两个三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB两种情况进行讨论即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
13.【答案】解：设这个班有x名学生，则有：3x+20=4x-25 解得x=45        答：这个班有45名学生.      
 【解析】本题考查一元一次方程的应用.解决本题需要读懂题意，设这个班有x名学生，根据两种分书的方案，可得（3x+20），（4x-25）都可以表示图书的总数，根据两者相等即可得到方程，解出方程，写好答语即可.
14.【答案】C
 【解析】【分析】
本题考查的知识点是有理数的混合运算，掌握是解题的关键，将原式整理得，再利用的方法即可得出答案．
【解答】
解：，
=，
=，
=，
=，
=，
故选C.
15.【答案】解：（1）猜想：方程的解为：x1=c，；
验证：
当x=c时，方程左边=，
方程右边​​​​​​​=，
​​​​​​​​​​​​​​∴左边=右边，
∴x=c是方程的解；
当时，方程左边=，
方程右边=，
∴左边=右边，
∴是方程的解；
（2）由，得，
∴x-1=a-1或，
∴x1=a，．
 【解析】本题主要考查了分式方程的解法，正确理解已知条件，正确理解阅读材料中解方程的方法是解题关键．
（1）根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解，然后把方程的解代入原方程看左右两边是否相等即可；
（2）原方程可以变形为，把x-1当作一个整体，即可求解．