2020届黑龙江省大庆市高三第一次质量检测数学(文)试题
展开这是一份2020届黑龙江省大庆市高三第一次质量检测数学(文)试题,共14页。试卷主要包含了10, 14等内容,欢迎下载使用。
大庆市高三年级第一次教学质量检测
文科数学
2019.10
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
- 已知集合,则
A. B. C. D.
- 已知(为虚数单位),则复数的共轭复数等于
A. B. C. D.
- 已知,,且,则
A. B. C. D.
- 在平面直角坐标系中,现有共五个点,从中任取两个点,则 这两个点恰有一个在圆内部的概率是
A. B. C. D.
- 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题中,该女每天比前一天少织布的尺数为
A. B. C. D.
- 已知,则
A. B. C. D.
- 曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
- 设,是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题错误的是
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
- 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,其中只有一位获奖.有人走访了四人,甲说:“乙、丁都未获 奖”,乙说:“是甲或丙获奖”,丙说:“是甲获奖”,丁说:“是乙获奖”,四人所说话中只有一位是真话,则获奖的人是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
- 在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
- 已知函数为偶函数,将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),所得的图象对应的函数为,若最小正周期为,且, 则
A. B. C. D.
- 设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题,考生根据要求做答.
二.填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分.
- 已知等比数列的前项和为,公比为,且,则 .
- 若实数满足不等式组,则的最大值为 .
- 若,则 .
- 已知是双曲线:的左、右焦点,过点的直线与双曲线 的左支交于 两点,若,且,则的离心率是 .
三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为,已知.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的面积的值.
18.(本小题满分12分)
在四棱锥中,平面平面,,四边形是边长为的菱形,,是的中点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
19.(本小题满分12分)
过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来,以保证自己生活的稳定,考虑到通货膨胀的压力,如果我们把所有的钱都用来储蓄,这并不是一种很好的方式,随着金融业的发展,普通人能够使用的投资理财工具也多了起来,为了研究某种理财工具的使用情况,现对年龄段的人员进行了调查研究,将各年龄段人数分成组:,并整理得到频率分布直方图:
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)求被调查人员的年龄的中位数和平均数;
(Ⅲ)采用分层抽样的方法,从第二组、第三组、第四组中共抽取人,在抽取的人中随机抽取人,则这人都来自于第三组的概率是多少?
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,且短轴长为,离心率等于.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若
,
求证:为定值.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)若实数为整数,且对任意的时,都有恒成立,求实数的最小值.
请考生在第22、23二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)在圆上取两点,使得,点与直角坐标原点构成,求面积的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集为实数集,求的取值范围.
大庆市2020届高三第一次教学质量检测
数学(文)试题参考答案
一.
二.13. 14. 15. 16.
17.解:(1)由正弦定理,
有
则可化为
即,即 .......................................4分
又余弦定理
由,得 ...................6分
(2)由(1)知,,则
.........................................7分
.........................................9分
由正弦定理得,, .........................................11分
.........................................12分
(其他方法,推导合理、步骤完整、结果正确亦可)
18、解:(1)连接,在中,,是的中点,
得,
平面平面,平面平面
平面
.........................................3分
又四边形是边长为2的菱形,,
为等边三角形
, .........................................5分
又
平面. .........................................6分
(2)在中,,....................8分
在中,
由。得,..........10分
由,设点到平面的距离为,
则,则
即点到平面的距离为. ......... ...............12分
19、解(1)由频率分布直方图的性质可得,解得.....2分
(2)中位数为 .........................4分
平均数为...............6分
(3)第二组、第三组、第四组的频率比为,共抽取人,所以三个组依次抽取的人数为.记第二组人分别为,第三组人分别为,第四组人分别为..............7分
从人中抽取两人共包含
,,,,,,,,,,
,,,,共个基本事件. .......................9分
而两人都来自于第三组的基本事件包括
,,,共个. .......................11分
设这人都来自于第三组为事件,则所求概率 .......................12分
20.解:(1)设椭圆的方程为,则由题意知,所以.
,解得,所以椭圆的方程为............4分
(2)证明:设的点的坐标分别为,点的坐标为,
显然直线的斜率存在,设直线的方程是,
联立,消去并整理得,
∴, .... ..... ..... ..... ..... ........6分
又由,得,.... ..... .....................8分
∴..............12分
21、(1)解:设
令,则;,则; ............2分
在上单调递增,上单调递减 ............3分
............4分
(2)法一:由在上恒成立,
在上恒成立,
设,
显然............5分
设,故在上单调递减
由,
由零点定理得使得,即 ............8分
且时,,时,则
在上单调递增,在上单调递减 ............10分
,
又由,,则........11分
,且为整数,可得的最小值为 .......12分
法二:由在上恒成立,
设
则, .... .......6分
当时,,则在上单调递增
由知时,与矛盾,故不合题意,舍去 .... .......8分
当时,,
显然当时,,时,,
故在上单调递增,在上单调递减 ............10分
,则可得
设,显然在上单调递减,且
则使得的最小整数为 ............12分
22解(Ⅰ)由的极坐标方程为,即打开得,
将代入,得的直角坐标方程为, ...... ......2分
由圆的方程为,得圆心为,半径为
则由直线与曲线相切
圆心到直线的距离 .... ...... ...... .......5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)圆的极坐标方程为,
不妨设,,
则
,..... ..... ......8分
当,即时,, ...... ......9分
所以面积的最大值为 ....... ...... ...... ......10分
23.解 (1)
由,则 ............5分
(2)
由的解集为实数集,可得,
即 ............10分
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