2020届黑龙江省大庆市高三第一次质量检测数学（理）试题

这是一份2020届黑龙江省大庆市高三第一次质量检测数学（理）试题，共15页。试卷主要包含了10，本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
大庆市高三年级第一次教学质量检测理科数学2019.10注意事项:    1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.    2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．  设集合，，则A．    B． C．       D．2．  已知（为虚数单位），则复数的共轭复数等于A．            B．        C．      D．3．  已知，，且，则A．               B．     C．           D．4．  《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织， 日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布.则此问题中，该女每天比前一天少织布的尺数为A．  B．          C．            D． 5．  设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为A．   B． C．         D．6．  若直线和曲线相切，则实数的值为A．   B． C．              D．7．  某公司安排甲、乙、丙人到两个城市出差，每人只去个城市，且每个城市必须有人去，则城市恰好只有甲去的概率为A．  B．          C．         D． 8．  已知函数 为偶函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则A．          B．            C.             D．9．  设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是A．若，，则       B．若，，则C．若，，则      D．若，，则10．  已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A．      B．    C． D．11．  设函数是定义在上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有A．  B．C．  D．12．  已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为A．  B．  C．        D．第Ⅱ卷（非选择题  共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．  若实数满足不等式组，则的最大值为                  .14．  若函数，且，则的值为                 .15．  若，则                 .16．  已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是                 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）    微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能.他随机选取了其中名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：步数性别(0,2000)[2000,6000)[4000,6000)[6000,8000)[8000,10000)[10000,+∞)男345431女353252（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取名，其中走路步数不低于步的有名，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数不低于步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动懒人”．根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 运动达人运动懒人总计男   女   总计   附：,其中．       19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，， 为等边三角形，且平面平面， 为中点． （Ⅰ） 求证：平面 ；（Ⅱ）求二面角的正弦值．        20.（本小题满分12分）   椭圆的右顶点为，右焦点为，且短轴长为，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由．        21.（本小题满分12分）    已知函数，.（Ⅰ）当，时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若函数的两个零点分别为，且，求证：.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切. （Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）在圆上取两点，使得，点与直角坐标原点构成，求面积的最大值．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数.  （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式的解集为实数集，求的取值范围.   
大庆市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题参考答案一．二．13．   14．   15．   16．17．解：（1）当时，                  .........................................1分当时，       .........2分                                  .........................................4分        是以为首项，为公差的等差数列                                     .........................................6分（2）由（1）的              ....................9分                      .....................12分18解：（1）在先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为 可能取值分别为0，1，2，3，                  . ............. ....................2分∴，  ，，  ，  .. ................4分的分布列为则．（也可写成 .. ................6分  （2）完成列联表 运动达人运动懒人总计男41620女71320总计112940的观测值．..................10分据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．  ..... .............12分 19．解：（1）证明：因为，， 所以， 又平面平面，且平面平面，⊥平面，·····················································1分又平面，所以⊥，···················································2分为中点，且为等边三角形，⊥，·························································3分又，平面 . ······················································4分（2）【法一】：（1）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以⊥，由平面⊥平面，因为平面，所以⊥平面，······································5分（2）所以⊥，由，，可知，所以．以中点O为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ··············6分所以，则，因为为中点，所以，由 (1) 知，平面的一个法向量为     ----------------7分设平面的法向量为，由得，取，则，····························································9分由.·································································11分所以，二面角的正弦值为.················································12分【法二】：取中点为，连接，因为为等边三角形，所以⊥，由平面⊥平面，所以⊥平面，··············································5分所以⊥，由，，可知，所以．以中点O为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.···············6分所以，所以，由(1)知，可以为平面PBC的法向量，因为为的中点，所以，由(1)知，平面PBC的一个法向量为，··········································7分设平面PCD的法向量为，由得，取，则，·····························································9分所以································································11分所以，二面角的正弦值为.················································12分【法三】：过点作的垂线，交于点，连结.由题意知⊥平面，平面，所以.由条件知，又，所以⊥平面，又平面，所以，又，所以，所以，由二面角的定义知，二面角的平面角为.······································7分在中，，，由，所以.-------------8分同理可得，-----------------------------------------------------9分又.在中，---------------------------------················································10分所以，二面角的正弦值为.················································12分20．解：（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，的方程为，所以，所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则．设的斜率为，则，所以，………………………………………………6分设的方程为，，由，得，……………………………………7分由，得．…………………………8分．…………………………………………………………9分因为，所以，因为，所以，……………………………………………………10分即，整理得，所以，整理得，解得或．当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；当时，满足，所以存在直线，使得是的垂心，的方程为．…………12分21. 解：（1）当时，   （）        则，切点为,故函数在处的切线方程为.    ………………………………4分（2）证明：不妨设,即，，相减得： …………6分， ……8分令，即证，           …………………9分    令，   …………………11分在上是增函数   又，命题得证            …………………12分22.解（Ⅰ）由的极坐标方程为，即打开得，将代入，得的直角坐标方程为，    ...... ...........2分由圆的方程为，得圆心为，半径为则由直线与曲线相切圆心到直线的距离      .... ...... ...... ..........5分（Ⅱ）由（Ⅰ）圆的极坐标方程为，不妨设，，则 ，..... ..... ......8分当，即时，，                   ...... ......9分所以面积的最大值为                ．...... ...... ...... ......10分23.解　（1）由，则                    ............5分（2）    由的解集为实数集，可得，    即                                            ............5分