2020-2021学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷人教新课标A版

这是一份2020-2021学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 函数的定义域为集合________．

2. 设函数y＝ax−4，(a>0, a≠1)，若其零点为2，则a＝________．

3. 求函数f(x)＝x+1x(x>0)的值域________．

4. 全集U＝{x||x−1|<3, x∈Z}，A＝{1, 2, 3}，则＝________．

5. 已知函数f(x)=(a2−a+1)xa+2为幂函数，且为奇函数，则实数a的值________．

6. 函数f(x)＝|3−x|+|x−7|的最小值等于________．

7. 函数y＝lga(x+3)−4(a>0，且a≠1)图象恒过定点P，点P的坐标为________．

8. 已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且它在[0, +∞)上单调递增，那么使得f(−2)≤f(a)成立的实数a的取值范围是________．

9. 若函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，，则函数y＝f(x)在R上的解析式为f(x)＝________．

10. 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝lg2(2−x)，则f(0)+f(6)＝________．

11. 已知函数f(x)＝ax+1−2(a>0且a≠1)的图象不经过第四象限，则a的取值范围为________．

12. 定义区间[x1, x2](x1二、选择题（每小题3分，共12分）

“m∈{1, 2}“是“lnm<1”成立的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件

关于函数，下列说法正确的是（ ）
A.是奇函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数
B.是偶函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数
C.是非奇非偶函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数
D.是非奇非偶函数且在区间[0, +∞)上是严格减函数

函数的大致图象是（ ）
A.B.C.D.

定义在[t, +∞)上的函数f(x)、g(x)是严格增函数，f(t)＝g(t)＝M，若对任意k>M，存在x1A.①②④B.①②③C.①④D.①②
三、解答题：（5大题，共52分）

已知函数f(x)=ln1+x1−x的定义域为集合A，集合B=(a, a+1)，且B⊆A．
（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数．

科学家发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（时间：分钟）的变化规律满足关系式：y＝m⋅2x+21−x(0≤x≤4, m>0)．
（1）若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；

（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

设函数fm(x)＝lg2(x+m)(m∈R)．
（1）解不等式；

（2）关于x的方程+λ在区间[−2, 6]上有实数解，求实数λ的取值范围．

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x0，使得f(x0+1)＝f(x0)+f(1)成立．
（1）函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)＝lg∈M，求a的取值范围；

（3）设函数y＝2x图象与函数y＝−x的图象有交点且交点横坐标为a，证明：函数f(x)＝2x+x2∈M，并求出对应的x0（结果用a表示出来）．

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为，x∈[0, 24)，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a)．
（1）令，x∈[0, 24)，求t的取值范围；

（2）求M(a)的表达式，

（3）规定当M(a)≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（每小题3分，共36分）
1.
【答案】
(0, +∞)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
2
【考点】
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
[2, +∞)
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
利用基本不等式求值域是解决函数值域问题的一种方法，关键要用到基本不等式的放缩办法，要注明等号成立的条件．
【解答】
当x>0时，f(x)＝x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x＝1时取到等号，
因此该函数的值域为[2, +∞)．
4.
【答案】
{−1, 0}
【考点】
补集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
1
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
根据幂函数的定义得到关于a的方程，求出a的值，结合函数的奇偶性确定a的值即可．
【解答】
函数f(x)=(a2−a+1)xa+2为幂函数，
所以a2−a+1=1，所以a2−a=0，解得a=0或a=1，
又f(x)为奇函数，所以a=1，
6.
【答案】
4
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
(−2, −4)
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
(−∞,−2]∪[2,+∞)
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
【解析】
利用函数是偶函数得到不等式f(−2)≤f(a)等价为f(2)≤f(|a|)，然后利用函数在区间[0, +∞)上单调递增即可得到不等式的解集．
【解答】
解：∵ 函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且在区间[0, +∞)上单调递增．
∴ 不等式f(−2)≤f(a)等价为f(2)≤f(|a|)，
即2≤|a|，
∴ a≤−2或a≥2.
故答案为：(−∞,−2]∪[2,+∞).
9.
【答案】
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
−3
【考点】
求函数的值
函数的求值
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
[2, +∞)
【考点】
指数函数的图象与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
3
【考点】
对数函数的值域与最值
对数函数的定义域
【解析】
先对函数化简可得，y=|lg12x|=lg12x，lg12x≥0lg2x，lg12x<0，做出函数的简图，结合图象可知要使得函数的值域为[0, 2]则函数定义域的最大区间为[14, 4]，从而可求
【解答】
解：∵ y=|lg12x|的值域为[0, 2]
∴ 0≤|lg12x|≤2
∴ 0≤lg12x≤2或−2≤lg12x≤0
∴ 14≤x≤1或1≤x≤4即14≤x≤4
∵ 定义域为[a, b]时函数的值域[0, 2]，
由图象可知，定义域大区间的最大值为4−14=154，区间的最小值1−14=34，其差为3
故答案为：3
二、选择题（每小题3分，共12分）
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论．
【解答】
lnm<1⇔0∵ {1, 2}⫋(0, e)，
∴ m∈{1, 2}“是“lnm<1”成立的充分非必要条件，
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：（5大题，共52分）
【答案】
令1+x1−x>0，解得−1因为B⊆A，所以a≥−1a+1≤1 ，
解得−1≤a≤0，
即实数a的取值范围是[−1, 0]；
证明：函数f(x)的定义域A=(−1, 1)，定义域关于原点对称，
f(−x)=ln1−x1+x=ln(1+x1−x)−1=−ln1+x1−x=−f(x)，
而f(12)=ln3，f(−12)=ln13，所以f(−12)≠f(12)，
所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得f(x)的定义域，计算f(−x)与f(x)比较，即可得到所求结论．
【解答】
令1+x1−x>0，解得−1因为B⊆A，所以a≥−1a+1≤1 ，
解得−1≤a≤0，
即实数a的取值范围是[−1, 0]；
证明：函数f(x)的定义域A=(−1, 1)，定义域关于原点对称，
f(−x)=ln1−x1+x=ln(1+x1−x)−1=−ln1+x1−x=−f(x)，
而f(12)=ln3，f(−12)=ln13，所以f(−12)≠f(12)，
所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数．
【答案】
由题意，当m＝2，则2⋅2x+21−x＝5，
解得x＝1或x＝−1； 由x≥0，∴ x＝1，
故经过1时间，温度为5摄氏度．
由题意得m2x+21−x≥2对一切x≥0恒成立，
则 由2x>0，得 m≥22x，
令t＝2−x则0当t=12时，取得最大值为12．
∴ m≥12，故的取值范围为[12, +∞)．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）将m＝2，x＝5代入y＝m2x+21−x(x≥0，并且m>0)．解指数方程即可求出x的值；
（2）问题等价于m2x+21−x≥2(t≥0)恒成立，求出m2x+21−x的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．
【解答】
由题意，当m＝2，则2⋅2x+21−x＝5，
解得x＝1或x＝−1； 由x≥0，∴ x＝1，
故经过1时间，温度为5摄氏度．
由题意得m2x+21−x≥2对一切x≥0恒成立，
则 由2x>0，得 m≥22x，
令t＝2−x则0当t=12时，取得最大值为12．
∴ m≥12，故的取值范围为[12, +∞)．
【答案】
由题意知，不等式即 ，则，
化简得，故有 ，
∴ 原等式的解集为．
关于x的方程+λ，
即 ，由于函数λ在[−3，
x＝−2时，λmin＝1；x＝7时，．
所以，实数λ的取值范围是．
【考点】
其他不等式的解法
指、对数不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
若，则在定义城内存在x0，
使得．
∵ 方程无解，
∴ ．
因为，
所以(a−2)x2+4ax+2(a−1)＝4有解，
当a≠2时，；
当a≠2时，由△≥0，得，
∴
证明：∵
＝，
又∵ 函数y＝2x图象与函数y＝−x的图象交点的横坐标为a，
即6a+a＝0，因此取x0＝a+7，
即得
∴ 存在x0∈R使得f(x7+1)＝f(x0)+f(1)，
即f(x)＝5x+x2∈M，其中x0＝a+2．
【考点】
元素与集合关系的判断
抽象函数及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
，
①当x＝8时，t＝0，
②当0∵ x+＝2即x＝3时，
∴ ，即6综上所述，．
当时，由（1），，则，
所以，
于是，g(t)在t∈[0，在是严格增函数，
所以，
因为，，
解，得，
所以，当时，；当时，，
即．
由M(a)≤2，得或或，
综上．
所以，当时，综合污染指数不超标．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答