2020-2021学年湖南省邵阳市武冈市高三（上）九月月考数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年湖南省邵阳市武冈市高三（上）九月月考数学试卷人教A版（2019），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=0,1,2,3，B=x|y=2−x，则A∩B=( )
A.{3}B.2,3C.0,1D.0,1,2

2. 命题“∀x∈0,+∞，x2+2x≥1”的否定是( )
A.∃x0∈0,+∞，x02+2x0<1B.∃x0∈0,+∞，x02+2x0≥1
C.∀x∈0,+∞，x2+2x<1D.∀x∈0,+∞，x2+2x≤1

3. 已知复数z=|3−4i|2−i，则z的共轭复数z¯在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4. 设a=213，b=lg32，c=lg20.1，则( )
A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

5. 已知向量m→，n→满足|m→+n→|=|m→−2n→|，且|m→|=2|n→|，则m→与n→的夹角的余弦值为( )
A.13B.14C.16D.18

6. 函数fx=excsx−x2e2x+1的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.

7. 我国古代著作《庄子⋅天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列an的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>20202021成立的正整数n的最小值为( )
A.9B.10C.11D.12

8. 已知斜率存在的直线l交椭圆C:x29+y24=1于A，B两点，点P是弦AB的中点，点M1,0，且MP→⋅MB→−MA→=0，|MP|=1，则直线MP的斜率为( )
A.22B.42C.±43D.±34
二、多选题

已知双曲线E:x2m−y24=1m>0的一条渐近线方程为x+3y=0，则下列说法正确的是( )
A.E的焦点在x轴上B.m=49
C.E的实轴长为6D.E的离心率为103

2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且求得线性回归方程为y=45x+5，则下列说法正确的是( )
A.a=147
B.y与x正相关
C.y与x的相关系数为负数
D.8月份该手机商城的5G手机销量约为36.5万部

已知a>0，b>0，且2a+1b=1，则( )
A.b>1B.ab≤8C.4a2+1b2≥12D.a+2b≥8

已知函数fx=cs2x+π4与gx=sin2x+θ−π<0<π的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是( )
A.θ=π4
B.直线x=π8是gx的图象的一条对称轴
C.gx在π8,5π8上单调递减
D.gx的图象可看作是fx的图象向左平移π4个单位长度而得到的
三、填空题

若曲线fx=ax3−2x在点(2,f(2))处的切线的斜率为1，则a=________.

已知tanα−π4=12，则tanα=________，cs2αsin2α−2cs2α=________．

2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年．某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有________种（用数字填写答案）．

已知球O是三棱锥P−ABC的外接球，AB=BC=CA=1，PA=2，则当点P到平面ABC的距离取最大值时，球O的表面积为________.
四、解答题

在①5bcsB−3acsC=3ccsA；②3bsinBcsC=4acsB−3bcsBsinC；③2cs2B2+π8=1−2100已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c=7，△ABC的面积为4，________，求sin B及b．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

记Sn为等差数列{an}的前n项和，S8−S3=90，a2=6.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；

(2)记数列{1Sn}的前n项和为Tn，若Tn=2033，求n的值．

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC=3AB=3AD，M为线段BD的中点．

(1)求证：BD⊥平面AFM；

(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．

在平面直角坐标系xOy中，已知F2,0，M−2,3，动点P满足12|OF→⋅MP→|=|PF→|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点D1,0作直线AB交C于A，B两点，若△AFD的面积是△BFD的面积的2倍，求|AB|.

2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价．在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）．

(1)规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为2623，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；

(2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x¯，并已求得σ=11.95．该厂决定将消毒液分为A，B，C级三个等级，其中质量指标值Z不高于2.6的为C级，高于38.45的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
(i)甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；
(ii)已知每瓶消毒液的等级与出厂价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：
假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．
附：若Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ
已知函数fx=xsinx+csx−1，gx=14x2−fx．
(1)求fx在区间0,2π上的极值点；

(2)证明：gx恰有3个零点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省邵阳市武冈市高三（上）九月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ B={x|x≤2}，
∴ A∩B={0,1,2}．
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
全称命题与特称命题
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：全称命题的否定为特称命题，
则可得命题的否定为：∃x0∈(0,+∞)，x02+2x0<1．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵z=|3−4i|2−i=32+(−4)22−i=52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，
∴ z¯=2−i，
它在复平面内对应的点(2,−1)位于第四象限．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】

【解答】
解：∵ a=213>20=1，b=lg32且b>0，c=lg20.1∴ a>b>c．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ |m→+n→|=|m→−2n→|，
∴ m→2+n→2+2m→⋅n→
=m→2+4n→2−4m→⋅n→，
∴ m→⋅n→=12n→2．
设向量m→与n→的夹角为θ，
则csθ=m→⋅n→|m→||n→|=12n→22|n→|2=14．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】

【解答】
解：因为f(−x)=e−x(cs x−x2)e−2x+1=ex(cs x−x2)e2x+1=f(x)，
所以f(x)为偶函数，排除D；
因为f0=12，所以排除B；
因为f(2)=e2cs2−4e4+1= −4−cs2e2+1e2，
而0<4−cs 2e2+1e2<5e2+1e2<1，
所以f2∈−1,0，排除A．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：记第n天后剩余木棍的长度为an，
则{an}是首项为12，公比为12的等比数列，
所以an=12n，Sn=121−12n1−12=1−12n，
Sn是关于n的增函数.
而S10=1−1210=10231024<20202021，
S11=1−1211=20472048>20202021，
所以使得不等式Sn>20202021成立的正整数n的最小值为11．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
直线与椭圆的位置关系
直线的斜率
【解析】
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，直线AB的斜率为k，不妨k>0，则x129+y124=1，x219+y224=1，两式相减，得19x1+x2(x1−x2)+14(y1+y2)(y1−y2)=0，所以19×2x0+14×y0×y1−y2x1−x2=0，所以即k=−4x09y0,由MP→,MB→−MA→=0，得MP⊥AB，kBP=y0x0−1，所以k⋅kBP−4x09x0⋅y0x0−1=−1，解得x0=95，过点P作PH⊥x轴于点H，则cs∠PMH= 45，所以tan∠PMH=34，即kBP=−34，
考虑对称性可知，直线MP的斜率为±34 . 故选D．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，直线AB的斜率为k，
不妨k>0，则x129+y124=1，x229+y224=1，
两式相减，
得19x1+x2(x1−x2)+14(y1+y2)(y1−y2)=0，
所以19×2x0+14×2y0×y1−y2x1−x2=0，
所以4x0+9y0k=0，即k=−4x09y0.
由MP→⋅MB→−MA→=0，
得MP⊥AB.
又kMP=y0x0−1，
所以k⋅kMP=−4x09y0⋅y0x0−1=−1，
解得x0=95.
过点P作PH⊥x轴于点H，
则cs∠PMH=45，
所以tan∠PMH=34，即kMP=−34.
考虑对称性可知，直线MP的斜率为±34 .
故选D．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
由m＞0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A确；根据题意得ba=2m=13，所以m=36，故B错误；双曲线E的实轴长为2m=12，故C错误；双曲线E的离心率 e=ea=m+4m==103，故D正确．故选AD．
【解答】
解：由m>0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上，故A正确；
双曲线E:x2m−y24=1m>0的一条渐近线方程为x+3y=0，即y=−13x，
根据题意得ba=2m=13，
所以m=36，故B错误；
双曲线E的实轴长为2m=12，故C错误；
双曲线E的离心率e=ca=m+4m=103，故D正确．
故选AD．
【答案】
A,B
【考点】
相关系数的求法
线性相关关系的判断
求解线性回归方程
【解析】

【解答】
解：由表中数据，计算得x¯=15×(1+2+3+4+5)=3，
所以y¯=45×3+5=140，
于是得37+104+a+196+216=140×5，
解得a=147，故A正确；
由回归方程中的x的系数为正可知，y与x正相关，且其相关系数r>0，故B正确，C错误；
8月份时，x=7，y=32（万部），故D错误．
故选AB．
【答案】
A,C,D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：2a=1−1b=b−1b>0，
∴ b>1，故A正确；
2a+1b=1≥22ab，
∴ ab≥8，故B错误；
4a2+1b2=2a+1b2−2×2a×1b
≥2a+1b2−12(2a+1b)2=122a+1b2=12，故C正确；
a+2b=2a+1b(a+2b)
=4+4ba+ab≥4+24ba⋅ab=8，故D正确．
故选ACD．
【答案】
A,B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
正弦函数的图象
【解析】
由题得，gx=cs−2x+π4=cs2x−π4=sin2x−π2−sin2x+π4，∴ θ=π4，故A正确；∵ gπ8=sin2×π8+π4=sinπ2=1，∴ 直线x=π8的图象的一条对称轴，故B正确；由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z)．当
k=0时，π8≤x≤5π8，故g(x)在π8,5π8单调递减，故C正确，f(x)=cs2x+π4=sinπ2+2x+π4=sin2x+3π8−π4，故函数g(x)的图象可看作是函数f(x)的图象向右平移平个单位长度而得到的．故D错误．故选ABC．
【解答】
解：由题得，gx=cs−2x+π4
=cs2x−π4
=sin2x−π4+π2
=sin2x+π4，
∴ θ=π4，故A正确；
∵ gπ8=sin2×π8+π4=sinπ2=1，
∴ 直线x=π8是函数g(x)的图象的一条对称轴，故B正确；
由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，
得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z)．
当k=0时，π8≤x≤5π8，
故g(x)在π8,5π8上单调递减，故C正确；
f(x)=cs2x+π4
=sinπ2+2x+π4
=sin2x+3π8，
而g(x)=sin2x+π8
=sin2x+3π8−π4，
故函数g(x)的图象可看作是函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度而得到的，故D错误．
故选ABC．
三、填空题
【答案】
14
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
∵ f′(x)=3ax2−2，∴ f′(2)=12a−2=1，解得a=1，解得a=14 .
【解答】
解：∵ f′(x)=3ax2−2，
∴ f′(2)=12a−2=1，解得a=14 .
故答案为：14 .
【答案】
3,−87
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为tanα−π4=12，
所以tanα−11+tanα=12，解得tanα=3，
所以cs2αsin2α−2cs2α
=cs2α−sin2αsin2α−2cs2α
=1−tan2αtan2α−2
=−87．
故答案为：3；−87．
【答案】
180
【考点】
排列、组合及简单计数问题
分步乘法计数原理
分类加法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，
有C83−1⋅A22=110种；
第二类：两组均为4人，
有C84C44A22⋅A22=70种，
所以共有N=110+70=180种不同的分配方案.
故答案为：180.
【答案】
16π3
【考点】
球内接多面体
正弦定理
球的表面积和体积
【解析】

【解答】
解：当点P到平面ABC的距离最大时，PA⊥平面ABC，如图，
以△ABC为底面，PA为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，
球心O到底面△ABC的距离d=12PA=1．
由正弦定理得△ABC的外接圆半径r=AB2sin60∘=33，
所以球O的半径为R=d2+r2=233，
所以球O的表面积为S=4πR2=16π3．
故答案为：16π3．
四、解答题
【答案】
解：若选①：由正弦定理及5bcsB−3acsC=3ccsA，
得5sinBcsB=3sinAcsC+3sinCcsA=3sinA+C=3sinB.
又B∈(0,π)，所以sinB≠0，
所以5csB=3，即csB=35，
所以sinB=1−cs2B=45.
因为S△ABC=12acsinB=12ac×45=4，
所以ac=10.
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−12
=a+c2−2ac−12=49−32=17，
即b=17.
若选②：由正弦定理及3bsinBcsC=4acsB−3bcsBsinC，
得3sinBsinB+C=4sinAcsB，
即3sinBsinA=4sinAcsB.
又A∈(0,π)，所以sinA≠0，所以3sinB=4csB，
结合sin2B+cs2B=1及B∈0,π，
可解得csB=35，sinB=45.
因为S△ABC=12acsinB=12ac×45=4，
所以ac=10.
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−12
=a+c2−2ac−12=49−32=17 ，
即b=17.
若选③：由2cs2B2+π8=1−210，
得csB+π4=−210.
又0所以π4所以sinB+π4>0，
所以sinB+π4=1−cs2B+π4=7210，
所以sinB=sinB+π4−π4=7210×22+210×22=45.
因为S△ABC=12acsinB=12ac×45=4，
所以ac=10.
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−12
=a+c2−2ac−12=49−32=17，
即b=10.
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
诱导公式
三角形的面积公式
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若选①：由正弦定理及5bcsB−3acsC=3ccsA，
得5sinBcsB=3sinAcsC+3sinCcsA=3sinA+C=3sinB.
又B∈(0,π)，所以sinB≠0，
所以5csB=3，即csB=35，
所以sinB=1−cs2B=45.
因为S△ABC=12acsinB=12ac×45=4，
所以ac=10.
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−12
=a+c2−2ac−12=49−32=17，
即b=17.
若选②：由正弦定理及3bsinBcsC=4acsB−3bcsBsinC，
得3sinBsinB+C=4sinAcsB，
即3sinBsinA=4sinAcsB.
又A∈(0,π)，所以sinA≠0，所以3sinB=4csB，
结合sin2B+cs2B=1及B∈0,π，
可解得csB=35，sinB=45.
因为S△ABC=12acsinB=12ac×45=4，
所以ac=10.
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−12
=a+c2−2ac−12=49−32=17 ，
即b=17.
若选③：由2cs2B2+π8=1−210，
得csB+π4=−210.
又0所以π4所以sinB+π4>0，
所以sinB+π4=1−cs2B+π4=7210，
所以sinB=sinB+π4−π4=7210×22+210×22=45.
因为S△ABC=12acsinB=12ac×45=4，
所以ac=10.
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−12
=a+c2−2ac−12=49−32=17，
即b=10.
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则8a1+28d−3a1+3d=90，a1+d=6，
解得a1=3，d=3,
∴ an=3+(n−1)×3=3n ，
Sn=n(a1+an)2=n(3+3n)2=32n2+32n．
(2)由(1)可得1Sn=2n3n+3=231n−1n+1，
故Tn=23[(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]
=231−1n+1=2n3(n+1)，
令Tn=2033，得2n3(n+1)=2033，
即nn+1=1011，解得n=10 ．
【考点】
数列的求和
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】


【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则8a1+28d−3a1+3d=90，a1+d=6，
解得a1=3，d=3,
∴ an=3+(n−1)×3=3n ，
Sn=n(a1+an)2=n(3+3n)2=32n2+32n．
(2)由(1)可得1Sn=2n3n+3=231n−1n+1，
故Tn=23[(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]
=231−1n+1=2n3(n+1)，
令Tn=2033，得2n3(n+1)=2033，
即nn+1=1011，解得n=10 ．
【答案】
(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD.
因为AB=AD，M为线段BD的中点，
所以BD⊥AM.
又AM∩AF=A，所以BD⊥平面AFM.
(2)解：由(1)知AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥AB，AF⊥AD.
又AB⊥AD，
所以AB，AD，AF两两垂直，以A为原点，分别以AB→，AD→，AF→为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz（如图）.
设AB=1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,3,0)，D(0,1,0)，E(0,1,1)，
所以BD→=(−1,1,0)，AE→=(0,1,1)，AC→=(1,3,0)，
设平面ACE的一个法向量为n→=(x,y,z)，
则AE→⋅n→=0，AC→⋅n→=0，即y+z=0，x+3y=0，
令y=1，则x=−3，z=−1，则n→=(−3,1,−1).
由(1)知，BD→=(−1,1,0)为平面AFM的一个法向量.
设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为θ，
则csθ=|cs|=|BD→⋅n→||BD→||n→|
=|(−3)×(−1)+1×1+(−1)×0|(−1)2+12+02×(−3)2+12+(−1)2
=22211，
所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为22211.
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD.
因为AB=AD，M为线段BD的中点，
所以BD⊥AM.
又AM∩AF=A，所以BD⊥平面AFM.
(2)解：由(1)知AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥AB，AF⊥AD.
又AB⊥AD，
所以AB，AD，AF两两垂直，以A为原点，分别以AB→，AD→，AF→为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz（如图）.
设AB=1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,3,0)，D(0,1,0)，E(0,1,1)，
所以BD→=(−1,1,0)，AE→=(0,1,1)，AC→=(1,3,0)，
设平面ACE的一个法向量为n→=(x,y,z)，
则AE→⋅n→=0，AC→⋅n→=0，即y+z=0，x+3y=0，
令y=1，则x=−3，z=−1，则n→=(−3,1,−1).
由(1)知，BD→=(−1,1,0)为平面AFM的一个法向量.
设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为θ，
则csθ=|cs|=|BD→⋅n→||BD→||n→|
=|(−3)×(−1)+1×1+(−1)×0|(−1)2+12+02×(−3)2+12+(−1)2
=22211，
所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为22211.
【答案】
解：(1)设Px,y，MP→=(x+2,y−3)，OF→=(2,0)，PF→=(2−x,−y) .
由12|OF→⋅MP→|=|PF→|，
得|x+2|=(2−x)2+y2，
化简得y2=8x，即动点P的轨迹C的方程为y2=8x．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由题意知S△AFD=12|FD|⋅|y1|，S△BFD=12|FD|⋅|y2|，
因为S△AFD=2S△BFD，
所以|y1|=2|y2|，易知y1y2<0，
所以y1=−2y2．①
设直线AB的方程为x=my+1，
联立y2=8x，x=my+1，消去x，得y2−8my−8=0，
则Δ=64m2+32>0，
y1+y2=8m，②
y1y2=−8，③
由①②③解得m=±14，
所以|AB|=1+m2|y1−y2|=1+m2|24m|=1+116×6=3172 .
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
轨迹方程
【解析】


【解答】
解：(1)设Px,y，MP→=(x+2,y−3)，OF→=(2,0)，PF→=(2−x,−y) .
由12|OF→⋅MP→|=|PF→|，
得|x+2|=(2−x)2+y2，
化简得y2=8x，即动点P的轨迹C的方程为y2=8x．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由题意知S△AFD=12|FD|⋅|y1|，S△BFD=12|FD|⋅|y2|，
因为S△AFD=2S△BFD，
所以|y1|=2|y2|，易知y1y2<0，
所以y1=−2y2．①
设直线AB的方程为x=my+1，
联立y2=8x，x=my+1，消去x，得y2−8my−8=0，
则Δ=64m2+32>0，
y1+y2=8m，②
y1y2=−8，③
由①②③解得m=±14，
所以|AB|=1+m2|y1−y2|=1+m2|24m|=1+116×6=3172 .
【答案】
解：(1)甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为
x¯甲=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5．
设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n，
则0.2+0.1+(n−20)×0.03=0.5，
解得n=2623．
统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）
①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当．
②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．
③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．
④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．
⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2623．
⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．
(2)(i)P(2.6=P(μ−2σ=12[P(μ−2σP(μ−σ因为100000×0.8186=81860，
所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有81860瓶．
(ii)设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，−4，
P(Y=10)=P(Z≥38.45)
=P(Z≥μ+σ)
=12[1−P(μ−σ=12(1−0.6827)=0.15865，
由(i)知P(Y=5)=P(2.6所以P(Y=−4)=1−0.8186−0.15865=0.02275 ，
故Y的分布列为
所以每瓶消毒液的平均利润为：
E(Y)=10×0.15865+5×0.8186−4×0.02275=5.5885（元），
故生产半年消毒液所获利润为1×5.5885=5.5885（千万元），
而5.5885（千万元）>4（千万元），
所以甲厂能在半年之内收回投资．
【考点】
众数、中位数、平均数
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为
x¯甲=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5．
设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n，
则0.2+0.1+(n−20)×0.03=0.5，
解得n=2623．
统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）
①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当．
②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．
③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．
④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．
⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2623．
⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．
(2)(i)P(2.6=P(μ−2σ=12[P(μ−2σP(μ−σ因为100000×0.8186=81860，
所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有81860瓶．
(ii)设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，−4，
P(Y=10)=P(Z≥38.45)
=P(Z≥μ+σ)
=12[1−P(μ−σ=12(1−0.6827)=0.15865，
由(i)知P(Y=5)=P(2.6所以P(Y=−4)=1−0.8186−0.15865=0.02275 ，
故Y的分布列为
所以每瓶消毒液的平均利润为：
E(Y)=10×0.15865+5×0.8186−4×0.02275=5.5885（元），
故生产半年消毒液所获利润为1×5.5885=5.5885（千万元），
而5.5885（千万元）>4（千万元），
所以甲厂能在半年之内收回投资．
【答案】
(1)解：f′(x)=xcsx(x∈(0,2π))，
令f′x=0，得x=π2，或x=3π2.
当x∈0,π2时，f′x>0，fx单调递增；
当x∈π2,3π2时，f′x<0，fx单调递减；
当x∈3π2,2π时，f′x>0，fx单调递增．
故x=π2是fx的极大值点，x=3π2是fx的极小值点．
综上所述，fx在区间0,2π上的极大值点为x=π2，极小值点为x=3π2.
(2)证明：gx=14x2−fx=14x2+1−xsinx−csxx∈R.
因为g0=0，所以x=0是gx的一个零点．
g(−x)=(−x)24+1−(−x)sin(−x)−cs(−x)
=14x2+1−xsinx−csx=gx，
所以gx为偶函数．
即要确定gx在R上的零点个数，只需确定x>0时，gx的零点个数即可．
当x>0时，g′x=12x−xcsx=12x1−2csx.
令g′x=0，即csx=12，
即x=π3+2kπ或x=5π3+2kπk∈N.
x∈0,π3时，g′x<0，gx单调递减，
又g0=0，所以gπ3<0；
x∈π3, 53π时，g′x>0，gx单调递增，
且g53π=2536π2+536π+12>0，
所以gx在区间0,53π内有唯一零点．
当x≥53π时，由于sinx≤1，csx≤1，
gx=14x2+1−xsinx−csx≥14x2+1−x−1=14x2−x=tx，
而tx在区间53π,+∞内单调递增，tx≥t53π>0，
所以gx>0恒成立，故gx在区间53π,+∞内无零点，
所以gx在区间0,+∞内有一个零点.
由于gx是偶函数，
所以gx在区间−∞,0内有一个零点，而g0=0，
综上，gx恰有3个零点．
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的极值
【解析】


【解答】
(1)解：f′(x)=xcsx(x∈(0,2π))，
令f′x=0，得x=π2，或x=3π2.
当x∈0,π2时，f′x>0，fx单调递增；
当x∈π2,3π2时，f′x<0，fx单调递减；
当x∈3π2,2π时，f′x>0，fx单调递增．
故x=π2是fx的极大值点，x=3π2是fx的极小值点．
综上所述，fx在区间0,2π上的极大值点为x=π2，极小值点为x=3π2.
(2)证明：gx=14x2−fx=14x2+1−xsinx−csxx∈R.
因为g0=0，所以x=0是gx的一个零点．
g(−x)=(−x)24+1−(−x)sin(−x)−cs(−x)
=14x2+1−xsinx−csx=gx，
所以gx为偶函数．
即要确定gx在R上的零点个数，只需确定x>0时，gx的零点个数即可．
当x>0时，g′x=12x−xcsx=12x1−2csx.
令g′x=0，即csx=12，
即x=π3+2kπ或x=5π3+2kπk∈N.
x∈0,π3时，g′x<0，gx单调递减，
又g0=0，所以gπ3<0；
x∈π3, 53π时，g′x>0，gx单调递增，
且g53π=2536π2+536π+12>0，
所以gx在区间0,53π内有唯一零点．
当x≥53π时，由于sinx≤1，csx≤1，
gx=14x2+1−xsinx−csx≥14x2+1−x−1=14x2−x=tx，
而tx在区间53π,+∞内单调递增，tx≥t53π>0，
所以gx>0恒成立，故gx在区间53π,+∞内无零点，
所以gx在区间0,+∞内有一个零点.
由于gx是偶函数，
所以gx在区间−∞,0内有一个零点，而g0=0，
综上，gx恰有3个零点．月份
2020年2月
2020年3月
2020年4月
2020年5月
2020年6月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y/千部
37
104
a
196
216
质量指标值
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
40,50
频数
20
10
30
15
25
等级
A级
B级
C级
出厂价X
30
25
16
Y
10
5
−4
P
0.15865
0.8186
0.02275
Y
10
5
−4
P
0.15865
0.8186
0.02275