函数压轴之切比雪夫函数学案

函数压轴之切比雪夫函数

一．考情分析

纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。最后就是不了了之。然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。

二．经验分享

【传统解法】

【切比雪夫不等式解法】

【解析】根据切比雪夫不等式：，若时，

对称轴为压轴，所以，，

当，,故此次

的最大值

例2.已知函数，若时，恒成立，则=        

【切比雪夫不等式解法】

【解析】根据切比雪夫不等式：若时，恒成立，也就是对称轴应该是；

，解之得：，,故此；

故此,所以..

（二）其他类型函数的

【解析】存在，使得，即有，

化为，可得，

即，由，可得.

则实数的最大值是.

【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.

【解析】因为，所以当时，单调递增，故；当时，，

当且仅当，即时，取等号，

【解析】由题意得：设切点为，因为切点既在直线上，也在曲线上，所以得到：①；

同时求导：和，切点在，故此②；

联立①②得：再带入②整理得：，

化简：，其中；

构造函数，

故当，，是单调递增；

当，，是单调递减。

所以的最大值；

从而得到ab的最大值为.

四.迁移应用

1．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】设函数，

A．9  B．11

C．13  D．15

【答案】B

【解析】∵函数，∴=2+9=11．

故选B．

【名师点睛】本题考查分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题．

2．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学】函数的单调减区间为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】函数，

则或，

故函数的定义域为或，

由是单调递增函数，可知函数的单调减区间即的单调减区间，

当时，函数单调递减，

结合的定义域，可得函数的单调减区间为.

故选A.

【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间.

3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数

A．  B．0

C．1  D．2

【答案】C

【解析】∵是定义在上的奇函数，，

且时，，∴，

∴．故选C．

【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.

4．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是

A． B．C． D．

【答案】D

【解析】因为函数，，

所以函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A、B选项；

又因为所以，

而选项C在时是递增的，故排除C.

故选D.

【名师点睛】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的奇偶性和取特值判断函数的图象是解题的关键，属于基础题.

5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷】若函数的大致图象如图所示，则的解析式可以是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当x→0时，f（x）→±∞，而A中的f（x）→0，排除A；

当x＜0时，f（x）＜0，而选项B中x＜0时，>0，

选项D中，>0，排除B，D，故选C.

【名师点睛】本题考查了函数的单调性、函数值的符号，考查数形结合思想，利用函数值的取值范围可快速解决这类问题．

6．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模）数学】已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】函数的图象如图：

若函数存在零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）．故选D．

【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力．

7．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）数学】已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为对，满足，所以当时，是单调递减函数，又因为为偶函数，所以关于直线对称，所以函数当时，是单调递增函数，又因为，所以有，

当，即当时，

；

当，即当时，

，

综上所述：不等式的解集为.

故选A．

【名师点睛】本题考查了抽象函数的单调性、对称性、分类讨论思想.

对于来说，设定义域为，，，

若，则是上的增函数；

若，则是上的减函数.

8．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，

因此，由得，

又在上单调递减，则在上单调递增，

所以，当即时，由得，所以，

解得；

当即时，由得，所以，解得，

因此，的解集是.

故选D.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的求解，先根据函数的奇偶性得到函数在定义域上的单调性，从而分类讨论求解不等式.

9．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】根据题意，的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，

又由函数在区间上单调递增，

可得，则，

即，解得，

即a的取值范围为.

故选C．

【名师点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法.

10．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B卷)数学】已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】因为，

所以当时，单调递增，故；

当时，，

当且仅当，即时，取等号，

综上可得，.

又因为存在实数，使得成立，

所以只需，即，

解得.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域，将存在实数，使得成立，转化为是解题的关键，属于常考题型.

11．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】若，则的定义域为____________.

【答案】

【解析】要使函数有意义，需，

解得.

则的定义域为.

【名师点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.

12．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）数学】若函数称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均有，已知为准奇函数”，则a＋b＝_________.

【答案】2

【解析】由知“准奇函数”关于点对称.

因为=关于对称，所以，，

则.

故答案为2.

【名师点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性，属于基础题．

13．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学】函数为奇函数，则实数__________．

【答案】

【解析】函数为奇函数，，

即，

则，即，

，则，

，则.

当时，，

则的定义域为：且，

此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；

当时，，满足题意，

.

【名师点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误．

14．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学】已知直线与曲线有三个不同的交点，，，且，则__________.

【答案】3

【解析】由题意，函数是奇函数，则函数的图象关于原点对称，

所以函数的函数图象关于点对称，

因为直线与曲线有三个不同的交点，且，

所以点为函数的对称点，即，且两点关于点对称，

所以，

于是.

【名师点睛】本题主要考查了函数对称性的判定及应用，其中解答中根据函数的基本性质，得到函数图象的对称中心，进而得到点为函数的对称点，且两点关于点对称是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.