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    【新教材精创】11.1.2 构成空间几何体的基本元素 教学设计(2)-人教B版高中数学必修第四册
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    高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.2 构成空间几何体的基本元素教案设计

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.2 构成空间几何体的基本元素教案设计,共16页。教案主要包含了情境与问题,达标检测,小结,课时练等内容,欢迎下载使用。

    11.1.2  构成空间几何体的基本元素

    本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四(人教B版)第十一章《11.1.2  构成空间几何体的基本元素》, 本节课要学的内容包括空间中点、线、面的位置关系,及几何符号语言的运用。引导学生通过观察生活中的实物及长方体模型,进行数学抽象,直观想象。从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。

    课程目标

    学科素养

    A..以长方体的构成为例,认识构成几何体的基本元素,体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.

    B.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.

    C.理解平面的无限延展性,学会判断平面的方法.

    1.数学抽象:点、线、面的位置关系的符号表示;

    2.逻辑推理:点线面的位置关系

    3.数学建模:长方体模型的运用;

    4.直观想象:在不同几何背景下判断点线面的位置关系

    1.教学重点:以长方体的构成为例,认识构成几何体的基本元素,体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.

    2.教学难点:几何语言的准确运用,理解平面的无限延展性.

    多媒体

    教学过程

    教学设计意图

    核心素养目标

    一、情境与问题

    问题1:空间中的点、线、面

    1:空间几何体的基本元素

    长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也简称为),包围着几何体的都是,面与面相交给人线的形象,线与线相交给人的形象。

    点、线、面是构成空间几何体的基本元素.

    2:点、线、面运动的轨迹

    点运动的轨迹是线、线运动的轨迹是面、面运动的轨迹是体.

       如图,塔的侧面可以看出一条线段运动的结果;

    水平放置的长方体,可以看出一个底面沿垂直方向运动的结果.

     

    1:如图所示的长方体中,

    8个顶点可表示为:

    12条棱可以表示为:

    6个面可以表示为:

    长方体可以表示为:

    用身边的物体演示图中塔的侧面的形成过程,以及图所示的长方体的形成过程,并思考几何体中点、线、面之间的关系,能否用数学符号符号来表示。

    3:点、线、面的表示方法

    (1)点用大写英文字母表示,如点A,点B,点A1

    (2)直线用该直线上的两个点表示,如直线AB,直线A1B1

    也可以用小写英文字母表示,如直线l,直线m

    (3)平面用该平面内不共线的3个或3个以上的表示,如长方形ABCD所在的平面

    可记作面ABC,或面ABD,或面ABCD也可用小写希腊字母αβγ表示.

    根据如图所示的棱柱中,回答下列问题:

    (1)6个顶点可表示为____________________(2)9条棱可以表示为____________________

    (3)5个平面可以表示为___________________(4)棱柱可以表示为______________________

    答案 (1)ABCA1B1C1 (2)ABBCACAA1BB1CC1A1B1B1C1A1C1 

    (3)ABC,面A1B1C1,面AA1B1B,面BB1C1C,面AA1C1C (4)棱柱ABCA1B1C1

    问题2空间中点与直线,直线与直线的位置关系

    空间中的一条直线可看出这条直线上所有点组成的集合,从而也就能用集合符号来表示空间中点与直线、直线与直线的关系.

    2:如图中的长方体,

    1)直线AB可简记为l,此时,AB都是l上的点,且都不是l上的点,

    这可用符号简写为:

    2)如果记图中顶点确定的直线为m,顶点确定的直线为k,则有ml相交(即有公共点),kl不相交(即没有公共点),这可分别表示为:

    3)因为ml相交于点B,所以,一般简写为:

    1:异面直线

    一般地,空间中的两条直线,可以既不平行,也不相交,

    此时称这两条直线异面.

    上图中,直线lk异面.

    2:直线与直线的位置关系

    如果a,b是空间中的两条直线,则,有且仅有一种情况成立,

    而且当时,ab要么平行(记作),要么异面.

         同一平面内的两条直线,如果不相交,就一定平行,这一结论可以推广到空间中的两条直线吗?结合图总结空间中两条直线的位置关系。

    问题3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

    3:下图所示的长方体中:

    1)面ABCD可以记为,此时,A是平面内的点,不是平面内的点,

    这可用符号简写为:.

    2)点AB确定的直线上的所有点都在平面内,这称为直线l在平面

    (或平面过直线l,记作:

    3)点确定的直线m上至少有一个点不在平面内,

    这称为直线m在平面外,记作:.

    直线m有且只有一个公共点(称为直线,与平面相交),

    ,一般简写为:.

    4)记图中长方形所在的平面为,点AD确定的直线为,则有公共点,

    这称为平面与平面相交,记作:

    进一步,一个点是的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作:.

    1:直线与平面的位置关系

    一般地,如果l是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,则:有且仅

    有一种情况成立.

    1)当时,要么,要么l只有一个公共点;

    2)当时,称直线l与平面平行,记作:.

    结合图,总结空间中直线与平面的位置关系,以及平面与平面的位置关系。

    2:平面与平面的位置关系

    如果是空间中的两个平面,则有且仅有一种情况成立。

    1)当时,的公共点组成一条直线;

    2)当时,称平面与平面平行,记作:.

    4.思考辨析

    (1)直线l在平面α内,记作lα.(  )

    (2)ab,则ab平行.(  )

    (3)lα,则直线l与平面α有公共点.(  )

    (4)若直线l在平面α外,则直线l与平面α平行.(  )

    (5)αβ,则平面α与平面β相交,且交于一个点.(  )

    答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×  (5)×

    5.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

    (1)P与直线AB   (2)C与直线AB    (3)M与平面ABCD

    (4)A1与平面ABCD        (5)直线AB与直线BC

    (6)直线AB与平面ABCD      (7)平面A1ABB1与平面ABCD

    解 (1)P直线AB        (2)C直线AB    

     (3)M平面ABCD  (4)A1平面ABCD  

     (5)直线AB直线BC=点B

    (6)直线AB平面ABCD(7)平面A1ABB1平面ABCD=直线AB

    问题4.直线与平面垂直

    由观察可知,图中,不管直线的具体位置如何,只要平面ABCD,则一定有.

    观察图中的长方体
    (1) 是否垂直,是否垂直并说明理由;
    (2) 判断AC是否垂直;
    (3) 若直线在平面ABCD内,且过点A,判断是否垂直.

    8:直线与平面垂直的定义

    一般地,如果直线l与平面相交于一点A,且对平面内任意一条过点A的直线m,都有

    则称直线l与平面垂直(或l是平面的一条垂线,是直线l的一个垂面),记作),

    其中点A称为垂足.

    因此,图中长方体中,有平面ABCD,类似的,

    平面平面.

    9:点到平面的距离

    给定空间中一个平面以及一个点A,过A可以作而且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为B,则称BA在平面内的射影(也称为投影),线段AB为平面的垂线段,AB的长为点A到平面的距离.

    10.直线到平面的距离

    特别的,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离;

    11:平行平面间的距离

    当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.

    因此,点到面ABCD的距离等于线段的长,直线到面ABCD的距离

    等于线段的长,面与面ABCD之间的距离等于的长.

    6.下列命题中正确的个数是(  )

    如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则lα

    如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则lα

    如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;

    如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.

    A0           B1               C2            D3

    解:B 当α内的无数条直线平行时,lα不一定垂直,故不对;

    lα内的一条直线垂直时,不能保证lα垂直,故不对;

    lα不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故不对;正确.

    7.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB6 cmBC4 cmAA13 cm,则

    (1)A到平面DCC1D1的距离为________

    (2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为________

    (3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为________.

    解:(1)4 cm (2)6 cm (3)3 cm 

     

     

     

     

    通过对生活中实物的观察,引导学生分析抽象几何体的基本元素,发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过观察、练习掌握点线面的位置关系及表示方法让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过长方体模型,探究空间中线与线,面与面的位置关系,提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过长方体模型,探究空间中线与面,面与面的垂直与平行关系,提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

     

     

     

     

     

    三、达标检测

    1.P在直线a上,直线a在平面α内可记为(  )

    APaaα        BPaaα

    CPaaα          DPaaα

    A [由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为Pa,直线a在平面α内可表示为aα,故A正确.]

    2.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系:

    (1)C与平面β________.

    (2)A与平面α________.

    (3)直线AB与平面α____________.

    (4)直线CD与平面α__________.

    (5)平面α与平面β__________.

    [答案] (1)Cβ (2)Aα (3)ABαB(4)CDα (5)αβBD

    3.若ab是异面直线,bc是异面直线,则ac的位置关系是(  )

    A.异面或平行            B.异面或相交

    C.异面                  D.相交、平行或异面

    D [可参考长方体中各条线的位置关系判断.]

    4.给出下列四个命题:

    若直线lm,则lm平行;若直线a在平面α外,则aα

    若直线ab,直线bα,则aαmαmβM

    那么平面α与平面β相交,其中真命题的个数为(  )

    A1  B2  C3  D4

    解答:A

    对于,直线lm,即直线l与直线m没有公共点,lm可能平行,也可能异面,l不一定与m平行.故错.

    对于,直线a在平面α外包括两种情形:aαaα相交,故错.

    对于,由直线abbα,只能说明ab无公共点,但a可能在平面α内,故错.

    对于mαmβMMαMβ,故平面α与平面β相交,故正确.

    5.下面叙述中:

    若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直;

    若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线与平面垂直;

    若直线l是平面α的一条垂线,则直线l垂直于平面α内的所有直线;

    若直线l垂直于平面α,则称平面α是直线l的一个垂面.

    其中正确的有(  )

    A1          B2        C3       D4

    解:C 中若两条直线为平行直线,则这条直线不一定与平面垂直,所以不正确;由定义知②③④正确.

    6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列直线、平面间的位置关系:

    A1BD1C________            A1BB1C________

    D1D与平面BCC1B1________    AB1与平面BCC1________

    平面ABB1与平面DCC1_________     平面ABB1与平面DD1A1________.

    答案 平行 异面 平行 相交 平行 相交

    7.线段AB长为5 cm,在水平面上向右移动4 cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为CD,再将CD沿水平方向向左移动4 cm后记为AB,依次连接构成长方体ABCD­ABCD′.

    (1)该长方体的高为________cm

    (2)平面ABBA与平面CDDC间的距离为________cm

    (3)A到平面BCCB的距离为________cm.

    (1)3 (2)4 (3)5 

    [如图,在长方体ABCD­ABCD中,AB5 cmBC4 cmCC3 cm

     

     

     

     

    长方体的高为3 cm;平面ABBA与平面CDDC之间的距离为4 cm;点A到平面BCCB的距离为5 cm.]

     

     

     

    通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,感悟其中蕴含的方程思想,增强学生的数学运算的核心素养。

     

     

     

     

    四、小结

    1.空间中的两条直线ab的位置关系:

    2.直线a与平面α的位置关系:

    3.平面α与平面β的位置关系

    4.直线与平面垂直:

    (1)定义.

    (2)点面距:若点A是平面α外一点,ABαB为垂足,则线段AB的长为点A到平面α的距离.

    (3)线面距、面面距转化为点面距.

    五、课时练

     

     

    通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。

     

    本课以生活中的实物为出发点,引导学生通过观察,抽象出几何体的基本元素、及点、线、面的位置关系。并以长方体为基础进行分析和探究。从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。教学中要注重学生的主体地位,调动学生积极性,使数学教学成为数学活动的教学。

     

     

     

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