2020-2021学年山东省滨州市无棣县九年级（下）开学数学试卷 (1)

这是一份2020-2021学年山东省滨州市无棣县九年级（下）开学数学试卷 (1)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）42的平方根为（ ）
A．±2B．2C．±4D．4
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a2）2＝a4B．a+a＝a2C．3a2÷a2＝2a2D．a4•a2＝a8
3．（3分）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜4
4．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝2∠AB．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BODD．AD2＝AC•CD
5．（3分）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，则点B'的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）
8．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：
①当x＞2时，M＝y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M＝2，则x＝1．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，BD相交于点O，点E，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，到点C，D时停止运动（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求.填写最后结果.
11．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5μm用科学记数法可表示为 ．
12．（3分）分解因式：ax4﹣9ay2＝ ．
13．（3分）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1 ．
14．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2＝20，则k的值为 ．
15．（4分）如果+＝，ab＝2，那么a﹣b的值为 ．
16．（4分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处 尺．
17．（4分）已知123456789101112…997998999是由连续数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2015位上的数字为 ．
18．（4分）如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上的图象上，OA＝1，则点E的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（7分）（1）计算：（﹣1）2014+（tan30°）﹣1+（5﹣）0+6×|3﹣|+84×（﹣0.125）3．
（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x满足x2+x﹣2＝0．
20．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查．市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭去年一年的月平均用水量（单位：吨）
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）写出这100个样本数据的众数和中位数；
（3）试估计该市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
21．（8分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，AB的交点，P为AB延长线上一点
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
22．（8分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为60°
23．（8分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，请你根据以上信息及（2）中条件
24．（11分）如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，BC所在的直线相交，交点分别为E
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
2020-2021学年山东省滨州市无棣县九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1．（3分）42的平方根为（ ）
A．±2B．2C．±4D．4
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵42＝16，16的平方根是±2，
∴42的平方根为±2，
故选：C．
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a2）2＝a4B．a+a＝a2C．3a2÷a2＝2a2D．a4•a2＝a8
【分析】A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝a4，正确；
B、原式＝2a；
C、原式＝4；
D、原式＝a2，错误．
故选：A．
3．（3分）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜4
【分析】直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x+3+m，求出直线y＝﹣x+3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝2∠AB．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BODD．AD2＝AC•CD
【分析】求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；证得△BCD是等腰三角形，△ABC∽△BDC，则可判断D．
【解答】解：A、∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠C＝2∠A，故选项A不符合题意；
B、∵OD是AB垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，故选项B不符合题意；
C、过D作DE⊥BC于E，
∵OD⊥AB，∴BO＝BE△BCD＝BC×DE，
S△BOD，＝BO×DO，
∴S△BCD≠S△BOD，故选项C符合题意；
D、∵∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝72°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC＝AD，
∵∠A＝∠DBC＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AC：BC＝BC：CD，
∴BC6＝AC•CD，
∴AD2＝AC•CD，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．
【解答】解：在Rt△AOB中，AB＝＝，
S半圆＝π×（）2＝π，
S△AOB＝OB×OA＝，
S扇形OBA＝＝，
故S阴影＝S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB＝．
故选：C．
6．（3分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，正方体的左视图是正方形，
所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体．
7．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，则点B'的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）
【分析】根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．
【解答】解：如图所示：
结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．
故选：A．
8．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌鸟的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有8种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有3种，
则P＝．
故选：B．
9．（3分）如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：
①当x＞2时，M＝y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M＝2，则x＝1．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】若y1＝y2，记M＝y1＝y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．
【解答】解：∵当y1＝y2时，即﹣x3+4x＝2x时，
解得：x＝7或x＝2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y7＞y1；当0＜x＜5时，y1＞y2；当x＜6时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y5＝﹣x2+4x，直线y8＝2x，当x任取一值时1、y2．若y1≠y2，取y7、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大；
∴②正确；
∵抛物线y6＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当0＜x＜5时，y1＞y2；
当M＝7，2x＝2；
x＞7时，y2＞y1；
当M＝8，﹣x2+4x＝4，x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），
∴使得M＝2的x值是1或7+，
∴④错误；
∴正确的有②③两个．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，BD相交于点O，点E，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，到点C，D时停止运动（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE＝CF＝t，则CE＝8﹣t，再根据正方形的性质得OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE＝S△OCF，这样S四边形OECF＝S△OBC＝16，于是S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意BE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OBC＝×82＝16，
∴S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t＝t2﹣5t+16＝（t﹣7）2+8（5≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（3，自变量为0≤t≤8．
故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求.填写最后结果.
11．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5μm用科学记数法可表示为 2.5×10﹣6 ．
【分析】直接用科学记数法写出即可．
【解答】解：2.5×6.000001＝2.5×10﹣8，
故答案为2.5×10﹣3，
12．（3分）分解因式：ax4﹣9ay2＝ a（x2+3y）（x2﹣3y） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x4﹣9y2）＝a（x2+3y）（x3﹣3y），
故答案为：a（x2+6y）（x2﹣3y）．
13．（3分）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1 9 ．
【分析】由于有6个数，则把数据由小到大排列时，中间有两个数中有1，而数据的中位数为1，所以中间两个数的另一个数也为1，即x＝1，再计算数据的平均数，然后利用方差公式求解．
【解答】解：∵数据﹣3，x，﹣2，6，1，
∴＝1，
解得x＝1，
∴数据的平均数＝（﹣3﹣8+1+1+6+6）＝1，
∴方差＝[（﹣3﹣3）2+（﹣2﹣8）2+（1﹣5）2+（1﹣4）2+（3﹣8）2+（6﹣7）2]＝9．
故答案为：5．
14．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2＝20，则k的值为 10 ．
【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，则OA2﹣AB2＝20变形为AC2﹣AD2＝10，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）＝10，所以（OC+BD）•CD＝10，则有a•b＝10，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝10．
【解答】解：设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA＝ACAD，AD＝BD，
∵OA8﹣AB2＝20，
∴2AC3﹣2AD2＝20，即AC6﹣AD2＝10，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝10，
∴（OC+BD）•CD＝10，
∴a•b＝10，
∴k＝10．
故答案为：10．
15．（4分）如果+＝，ab＝2，那么a﹣b的值为 ±1 ．
【分析】把+＝变形可得a+b＝3，再由a+b、a﹣b、ab的关系即可得答案．
【解答】解：∵+＝，ab＝2，
∴＝，可得a+b＝，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣5ab＝32﹣5×2＝1，
∴a﹣b＝±2，
故答案为：±1．
16．（4分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处 25 尺．
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为＝25（尺）．
故答案为：25．
17．（4分）已知123456789101112…997998999是由连续数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2015位上的数字为 0 ．
【分析】一位数字9个，两位数字90个，三位数字900个，由此算出2015处于三位数字的第几个数字求得答案即可．
【解答】解：∵共有9个1位数，90个3位数
∴2015﹣9﹣180＝1826，
∴1826÷3＝608…5，
∵此608是继99后的第608个数后面的第二个数字
∴此数是708，第二位是0
故从左往右数第2015位上的数字为0．
故答案为：8．
18．（4分）如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上的图象上，OA＝1，则点E的坐标为 （3，2） ．
【分析】根据OA、OC的长度结合矩形的性质即可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，设正方形ADEF的边长为a，由此即可表示出点E的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵OA＝1，OC＝6，
∴点B的坐标为（5，6），
∵反比例函数y＝的图象过点B，
∴k＝1×4＝6．
设正方形ADEF的边长为a（a＞0），
则点E的坐标为（8+a，a），
∵反比例函数y＝的图象过点E，
∴a（1+a）＝7，
解得：a＝2或a＝﹣3（舍去），
∴E（8，2），
故答案为（3，4）．
三、解答题：本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（7分）（1）计算：（﹣1）2014+（tan30°）﹣1+（5﹣）0+6×|3﹣|+84×（﹣0.125）3．
（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x满足x2+x﹣2＝0．
【分析】（1）先计算乘方、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂、逆用积的乘方变形，再去绝对值符号，最后计算乘法和加减运算即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解一元二次方程求出x的值，结合分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+（）﹣1+1+7×|3﹣|+8×（﹣0.125×5）3
＝1++1+6×（7﹣5
＝1++2+18﹣
＝12；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝﹣，
∵x2+x﹣2＝3，
∴x＝1或x＝﹣2，
又∵x≠2且x≠0.5，
∴x＝﹣3，
则原式＝﹣＝．
20．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查．市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭去年一年的月平均用水量（单位：吨）
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）写出这100个样本数据的众数和中位数；
（3）试估计该市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
【分析】（1）根据条形统计图中的数据得出平均用水10吨，12吨，13吨，14吨的户数，进而求出平均用水11吨的户数，再画出条形图即可；
（2）根据众数与中位数的定义分别求解即可；
（3）根据样本估计总体得出答案即可．
【解答】解：（1）根据条形图可得出：平均用水11吨的用户为：100﹣20﹣10﹣20﹣10＝40（户），
条形统计图补充如下：
（2）因为11出现次数最多，所以众数为：11，
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，
按大小排列后第50，51个数据都是11；
答：这100个样本数据的众数和中位数分别是11，11；
（3）样本中不超过12吨的有20+40+10＝70（户），
则该社区500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500×＝350（户）．
21．（8分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，AB的交点，P为AB延长线上一点
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD＝BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，
（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB＝∠ACO，可得到∠OCP＝90°，所以直线PC与⊙O相切．
【解答】解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝8（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD＝AB＝cm；
（2）直线PC与⊙O相切．理由如下：
连接OC如图，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
而∠PEC＝∠EAC+∠ACE，∠PCE＝∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC＝∠PCB，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
而∠ABC＝∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠PCO＝90°，
∴PC⊥OC
∴直线PC与⊙O相切
22．（8分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为60°
【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝60°，分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
根据题意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝60°，
设AD＝x，则BD＝BA+AD＝1000+x，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝x，
在Rt△BCD中，BD＝CD•tan60°＝，
∴1000+x＝7x，
解得：x＝500，
∴AD＝500米．
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为500米．
23．（8分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，请你根据以上信息及（2）中条件
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y＝（100+m）x﹣150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），
②据题意得，100﹣x≤2x，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），
33≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
24．（11分）如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，BC所在的直线相交，交点分别为E
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE＝CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由＝求得的值．与（1）（2）问相比较，的值发生了变化．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA＝PC，
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE＝∠PCF，
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE＝∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE＝CF．
在Rt△PCF中，＝tan30°＝，
∴＝；
故答案为：；
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，则PM⊥PN，
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝，
由（1）知，＝，
∴＝，
（3）答：变化，
证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，则PM⊥PN，PN∥AB，
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM＝∠PCN，∠PAM＝∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴＝＝，得CN＝2PM，
在Rt△PCN中，＝tan30°＝，
∴＝，
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝＝，
∴的值发生变化．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【分析】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；
（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；
（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC＝﹣（m﹣）2+，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣8），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣7，
∵点B（3，0）在二次函数图象上，
∴5+3b﹣3＝7，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；
（2）存在，理由：如图1，
连接PP'交y轴于E，
∵四边形POP'C为菱形，
∴PP'⊥OC，OE＝CE＝，
∵点C（0，﹣6），
∴OC＝3，
∴OE＝，
∴E（0，﹣），
∴点P的纵坐标为﹣，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x8﹣2x﹣3，
∴x8﹣2x﹣3＝﹣，
∴x＝或x＝，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴6＜x＜3，
∴点P（，﹣）；
（3）如图7，过点P作PF⊥x轴于F，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣5，
令y＝0，则x2﹣6x﹣3＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣1，2），
∴设P（m，m2﹣2m﹣6）（0＜m＜3），
∴F（m，2），
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFB＝OA•OC+PF•BF
＝×8×3+2+2m+3）•m+（﹣m3+2m+3）•（5﹣m）
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，四边形ABPC的面积最大，此时，﹣），
即点P运动到点（，﹣）时，其最大值为．