备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）专题13 双曲线及其性质（解析版）

专题13   双曲线及其性质

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【试题解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距

故答案为：4

【命题意图】

1.考查双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.

2.考查运算求解能力，运用数形结合思想分析与解决问题的能力.

【命题方向】

双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档

【得分要点】

1.待定系数法求双曲线方程的常用方法

（1）与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为(≠0)；

（2）若渐近线方程为y＝±x，则可设为 (≠0)；

（3）若过两个已知点，则设为()．

2.双曲线几何性质的三个关注点

（1）“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；

（2）“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；

（3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．

3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程．

4.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．

5.双曲线的离心率是双曲线的性质中非常重要的一个，高考中若出现关于双曲线的题目，基本都要涉及，所以求双曲线离心率的方法一定要掌握.

（1）求双曲线的离心率，可以由条件寻找满足的等式或不等式，结合得到，也可以根据条件列含的齐次方程求解，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.

（2）求解双曲线的离心率的取值范围，一般根据已知条件、双曲线上的点到焦点的距离的最值等列不等式求解，同样注意根据双曲线离心率的取值范围是.

1．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【分析】

根据的关系求出，即可得到双曲线的一条渐近线方程．

【详解】

因为，所以，所以，即双曲线：，所以双曲线的渐近线方程为．

故选：A．

2．（2021·河北高三其他模拟）已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】D

【分析】

利用双曲线的渐近线方程求出，然后利用求出c，即可求出焦距.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，可得：，

所以，所以焦距为.

故选：D

3．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））如图，､是双曲线：的左､右焦点，过的直线与双曲线交于､两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

设，利用双曲线的定义得，

再利用勾股定理建立方程组，消去,得到，进而得到的值，由得到双曲线的渐近线方程.

【详解】

设，

 ,

①，

②,

由①可得

代入②式化简得：,

∴,∴,

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.

4．（2019·吉林高三其他模拟（理））双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】

由双曲线的方程可得右焦点的坐标，及渐近线的方程，再由以右顶点为，以为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，可得圆心到渐近线的距离等于半径，可得，再由，，之间的关系求出双曲线离心率.

【详解】

由双曲线的方程可得右焦点，渐近线的方程为：，

由以双曲线的右顶点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切可得：，可得，可得，

所以双曲线的离心率，

故选：C.

5．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据双曲线标准方程知，，结合离心率为及常数关系即可求的值，从而可求其渐近线方程.

【详解】

根据双曲线标准方程，知：，，

∵双曲线的离心率为，

∴，而，

∴，所以其渐近线方程为.

故选：A.

6．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（ ）

A．-4 B．3 C．-2 D．1

【答案】A

【分析】

根据双曲线的性质，判断参数的范围，并根据渐近线方程，求得参数的值.

【详解】

表示双曲线，则，即，

其渐近线方程为，

则，解得.

故选：A.

7．（2021·甘肃高三二模（理））双曲线(，)的渐近线方程为，实轴长为2，则为（    ）

A．-1 B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题设得，再由渐近线方程，结合已知即可求得参数m、n，进而可得.

【详解】

双曲线(，)的渐近线方程为，实轴长为2，得，

∴，且，则，

∴.

故选：C.

8．（2021·浙江宁波市·效实中学高三其他模拟）设，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为30°，则双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

首先设点在双曲线的右支上，由题知：，从而得到，根据，即可得到为的最小内角，再利用余弦定理求解即可.

【详解】

设点在双曲线的右支上，由题知：

，

又因为，所以，即为的最小内角.

所以，

化简得，即，解得.

所以，

所以渐近线方程为.

故选：C

【点睛】

方法点睛：求双曲线渐近线的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的，从而得到双曲线的渐近线方程；（2）方程法：根据题意得到的齐次式，再解方程即可.

9．（2021·常州市新桥高级中学高三三模）双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】

求出焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出距离.

【详解】

设双曲线的一个焦点，其中，渐近线方程：，则F到渐近线的距离d为：.

故选：C

10．（2021·北京海淀区·北大附中高三其他模拟）已知双曲线和双曲线有共同的渐近线，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】

根据双曲线的性质计算可得；

【详解】

解：双曲线的渐近线为

双曲线和双曲线有共同的渐近线，

所以，

故选：B

11．（2021·奉新县第一中学高三三模（理））已知双曲线的离心率为2.则其渐近线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

由离心率得，然后变形求得即可得，但要注意焦点所在轴．

【详解】

由题意，所以，，

焦点在轴，所以渐近线方程为，即．

故选：A．

12．（2021·江西高三其他模拟（文））已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点满足，且，若点恰为虚轴的一个端点，则的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

先根据已知求出，再把点坐标代入双曲线的方程即得解.

【详解】

因为点满足，所以，

所以点A在双曲线的右支上，

又，所以点是的中点，

所以(为坐标原点)是的中位线，

故，即轴，且，

所以，

而点在双曲线上，

故，故，

则双曲线的渐近线方程为，

故选：B

【点睛】

方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常用的方法有：（1）公式法（求出的值代入渐近线方程即得解）；（2）方程法（直接求出或的值即得解）.

13．（2021·重庆市育才中学高三二模）写出一个与双曲线共渐近线的双曲线的标准方程___________.(不同于原双曲线)

【答案】(答案不唯一)

【分析】

根据双曲线渐近线的知识确定正确结论.

【详解】

与双曲线共渐近线的双曲线为，

即，所以可以填.

故答案为：(答案不唯一)

14．（2021·浙江高二期末）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．

【答案】

【分析】

根据离心率结合得出关系即可求出.

【详解】

由题离心率，即，

又，即，则，

故此双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

15．（2021·山东泰安市·高三三模）已知双曲线的左右焦点分别为，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，交双曲线的另一条渐近线于点，且满足 则双曲线的渐近线的斜率为__________．

【答案】

【分析】

根据直线垂直于的一条渐近线，不妨假设直线垂直于渐近线，两直线联立可求出点的坐标，再由可得，即可求出点的坐标，然后根据点在另一条渐近线上，可求得，即得到双曲线的渐近线的斜率．

【详解】

不妨假设直线垂直于渐近线，由解得点，

又，且，则，又点在直线上，故，．故双曲线的渐近线的斜率为．

故答案为：．

16．（2021·浙江高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点，则________；若双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是_________．

【答案】-2       

【分析】

由双曲线方程求出实半轴长，再由双曲线定义即可得解；由离心率求出m值，由双曲线方程写出渐近线方程即可得解.

【详解】

由给定方程知，双曲线实半轴长a=1，点P是双曲线左支上，则，由双曲线定义得-2；

依题意：双曲线半焦距c=，则离心率，解得，双曲线的渐近线方程为.

故答案为：-2；