专题07 三角函数图像与性质-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）

专题07   三角函数图像与性质

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【试题解析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

【命题意图】函数图象的平移变换

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

【命题方向】

三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下.

常见的命题角度有：

（1）三角函数的图象变换；

（2）三角函数解析式的确定；

（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）；

（4）函数的性质与其他知识的综合应用．

【得分要点】

（一）函数图象的平移变换

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

（二）结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.

（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法

（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略

（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.

一、单选题

1．（2021·河南商丘市·高一月考）要得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（    ）

A．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度

B．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度

C．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度

D．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度

【答案】D

【分析】

有函数的平移伸缩变换的性质选出即可.

【详解】

由将各点横坐标变成原来的得到.

再向左平移个单位长度变换得到 .

故选：D.

2．（2021·河南焦作市·高一月考）若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】

由给定函数按各选项指定的变换进行处理，再分析所得函数的性质即可得解.

【详解】

对于A，得到的函数为，不是奇函数，图象关于原点不对称，A错误；

对于B，得到的函数为，是奇函数，图象关于原点对称，B正确；

对于C，得到的函数为，不是奇函数，图象关于原点不对称，C错误；

对于D，得到的函数为，不是奇函数，图象关于原点不对称，D错误；

故选：B

3．（2021·河南商丘市·高二月考（理））将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由图像伸缩平移变换知，，将代入即可求得结果.

【详解】

由图像伸缩平移变换知，，

则

故选：C

4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断不正确的是（    ）

A．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位

B．函数的图象关于直线对称

C．时，函数的最小值为

D．函数在上单调递减

【答案】C

【分析】

根据最大值为2，可得A，根据正弦型函数的周期性，可求得，根据对称性，可求得，即可得解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

由题意得A=2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为，

所以，可得，

所以，所以，

因为为对称中心，

所以，

因为，令k=0，可得，

所以.

对于A：将的图象向右平移个单位，

可得，故A正确；

对于B：令，解得，

令k=1，可得，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；

对于C：因为，所以，

所以当时，，故C错误；

对于D：令，解得，

令k=0，可得一个单调减区间为，

因为，

所以函数在上单调递减，故D正确.

故选：C

5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数（，）的最小正周期是，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（    ）

A．是函数一条对称轴

B．是函数一个对称中心

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

【答案】D

【分析】

根据条件求出、，然后可得，然后逐一判断每个选项即可.

【详解】

，向左平移个单位长度后所得到的函数是，

其中图象过，所以，因为，，

所以．

因为，所以是函数一条对称轴，故A正确

因为，所以是函数一个对称中心，故B正确

当时，，所以在区间上单调递增，故C正确

当时，，所以在区间上不单调递减，故D错误

故选：D

二、多选题

6．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数的图象，只需将的图象（    ）

A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度

B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度

C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)

D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)

【答案】BC

【分析】

利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项.

【详解】

如果是先伸缩再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，即得

如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得.

故选：BC

7．（2021·福建高三三模）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（    ）

A．对一切恒成立

B．在区间上不单调

C．在区间上恰有1个零点

D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称

【答案】AB

【分析】

由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论.

【详解】

解：∵函数的最小正周期为，∴，.

令，求得为最大值，故有对一切恒成立，故A正确；

在区间上，，函数没有单调性，故B正确；

在区间上，，函数有2个零点，故C错误；

将函数的图像向左平移个单位长度，所得的图像关于不原点对称，故D错误，

故选：AB.

8．（2021·广东高三其他模拟）关于函数的描述正确的是（    ）

A．其图象可由的图象向左平移个单位得到

B．f(x)在上单调递增

C．f(x)在有2个零点

D．f(x)在的最小值为－1

【答案】AC

【分析】

将函数化成正弦型函数，根据函数的平移关系，可判断A；利用整体思想结合正弦函数的单调性判断B；求出函数的零点，即可判断C；根据正弦函数的最值，判断D.

【详解】

，

所以是由的图象向左平移个单位得到，

选项A正确；

不具有单调性，

选项B不正确；

由，得，

所以在的零点为，选项C正确；

，

当时，取得最小值为，

选项D不正确.

故选：AC.

9．（2021·山东济南市·高三其他模拟）分别对函数的图象进行如下变换：

①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来倍，得到的图象；

②先将其上各点的横坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到的图象，

以下结论正确的是（    ）

A．

B．为图象的一个对称中心

C．直线为函数图象的一条对称轴

D．的图象向右平移个单位长度可得的图象

【答案】BCD

【分析】

由三角函数平移和伸缩变换原则可求得；

由解析式不同知A错误；利用代入检验法，对应正弦函数的性质可确定BC正确；由左右平移变换后的解析式可知D正确.

【详解】

①向左平移个单位长度可得；再将横坐标变为原来倍，得到；

②横坐标变为原来倍可得；再向左平移个单位长度，得到；

对于A，两函数解析式不同，A错误；

对于B，当时，且，是的一个对称中心，B正确；

对于C，当时，，是的一条对称轴，C正确；

对于D，的图象向右平移个单位长度得：，D正确；

故选：BCD.

10．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）函数(，)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得图像对应的函数是奇函数

C．若把的图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在上是增函数

D．，若成立，则的最小值为

【答案】AB

【分析】

由五点法求解析式可判断A；利用三角函数的平移变换原则即可判断B；利用三角函数的平移伸缩变换可判断C；利用三角函数的单调性以及最值即可判断D.

【详解】

解析：由题图，知，

∴，∴.∵，即，

∴()，即()，

∵，∴，∴，故A正确；

把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数解析式为，是奇函数，故B正确：

把的图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，

得到图像对应的函数解析式为，∵，

∴在上不是增函数，故C错误；

，令

，，

所以，所以的最小值为，故D错误.

故选：AB.

11．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）下列说法正确的是（    ）

A．在中，是的充要条件

B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

C．存在实数，使得等式成立

D．在中，若，则是钝角三角形

【答案】ABD

【分析】

根据正弦定理，余弦定理，可判断A、D的正误；根据图象平移原则，可判断B的正误；根据辅助角公式及正弦型函数的性质，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】

对于A：由正弦定理可得，

因为，所以，

同理，若，则有，

所以是的充要条件，故A正确；

对于B：将函数的图象向右平移个单位长度，

可得，故B正确；

对于C：，

所以不存在x，满足，故C错误；

对于D：在中,因为，由正弦定理可得，

所以，所以，为钝角，故D正确.

故选：ABD.

12．（2021·全国高三其他模拟）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于x轴对称，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】

先算出的可能取值，即可进一步计算

【详解】

将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后得

因为所得图象与原图象关于x轴对称

，即ωx+=

或

故选：BC

13．（2021·全国高三其他模拟）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．

B．的一个单调递增区间是

C．的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于点对称

D．，若恒成立，则的最大值为

【答案】ACD

【分析】

A．根据函数图象先确定出周期，由此求解出的值，再根据最高点坐标求解出的值，由此求解出的解析式；

B．采用整体代入的方法判断是否是一个单调递增区间；

C．根据图象平移先求解出的解析式，然后根据的值是否为零进行判断；

D．将问题转化为“，很成立”，先求解出的最小值，即可求解出的取值范围.

【详解】

A．由图象可知，所以，所以，所以，

又因为，所以，所以，

所以且，所以，所以，故正确；

B．当时，，

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以不是的一个单调递增区间，故错误；

C．由题意可知，

又因为，所以的图象关于点对称，故正确；

D．因为，所以，

即“，很成立”，

因为，所以，

所以，所以，即，

所以的最大值为，故正确.

故选：ACD.

三、填空题

14．（2021·全国高三其他模拟）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在区间 上的单调递减区间是 ___________.

【答案】

【分析】

先求出函数的解析式，再求函数在区间上的单调递减区间．

【详解】

由题得,

因为，

因为在上单调递减，故由，得

所以在区间 上的单调递减区间是

故答案为：

四、解答题

15．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数，．

(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；

(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围．

【答案】(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．

【分析】

(1) 把函数通过图像变换变为，然后根据已知单调区间求的最大值；

(2) 利用函数()和()的图象进行分类讨论来解决函数零点问题.

【详解】

(1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数，

因为，所以，

因为，所以，

又因为得到的图象在上单调递增，所以，解，

所以的最大值为.

(2) ，

令，

因为，所以，，

所以，，

令，显然不是其方程的解，所以得，，

画出函数和函数的图象，如下图，

则当时，对应的，而当时，对应的只有一个解，不满足题意；

当时，此时没有的值对应，所以此时无解，不满足题意；

当时，对应的，而当时，对应的有两个解，不满足题意；

当时，对应的，，而此时对应的只有两个解，不满足题意；

当时，令，得或 ，此时对应的，，而当对应的时，对应一个的值，而当时对应两个的值，所以此时有三个解，满足题意；

当时，对应的，而此时对应的只有一个解，不满足题意；

故的取值范围为.

【点睛】

函数零点个数的判断方法：

(1)直接求函数的零点；

(2)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数；

(3)数形结合法：利用函数图象的交点个数判断.