2021年高考理科数学一轮复习：专题9.11 解析几何减少运算量的常见运算技巧 题型全归纳与高效训练突破

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30651" 运算技巧一 解析几何中的“设而不求” PAGEREF _Tc30651 1
\l "_Tc5665" 运算技巧二 巧用平面几何性质 PAGEREF _Tc5665 5
\l "_Tc22704" 运算技巧三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简 PAGEREF _Tc22704 6
\l "_Tc20977" 运算技巧四 巧妙“换元”减少运算量 PAGEREF _Tc20977 7
运算技巧一 解析几何中的“设而不求”
【概述】“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．
类型一 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数
关系的联系，从而设而不求
【例1】在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
类型二 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法
【例2】△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．
类型三 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0
【例3】已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
【例4】已知双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
类型四 求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求
【例5】已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
运算技巧二 巧用平面几何性质
【例6】 已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
运算技巧三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简
【概述】某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
【例7】已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆M，N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
运算技巧四 巧妙“换元”减少运算量
【概述】变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．
【例8】如图，已知椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),2)，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．