2021年高考理科数学一轮复习：专题9.10 高考解答题热点题型（二）定点、定值、探索性问题 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7693" 一、解法指导 PAGEREF _Tc7693 1
\l "_Tc28799" 二、典例分析 PAGEREF _Tc28799 1
\l "_Tc5996" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc5996 4
一、解法指导
1.求解圆锥曲线中定点问题的两种方法
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x，y）＝0,g（x，y）＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
2.存在性问题的求解策略
解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
二、典例分析
【例1】(2020·武汉模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．
【例2】已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，且经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3\r(5),4))).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相切，过点F作FQ⊥l，垂足为Q，求证：|OQ|为定值(其中O为坐标原点)．
【题后反思】直接探求，变量代换
探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
【例3】 (2020·合肥模拟)如图，设点A，B的坐标分别为(－eq \r(3)，0)，(eq \r(3)，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为－eq \f(2,3).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同于A、B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．
【题后反思】探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．
【例3】已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为eq \f(b,3)，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【题后反思】存在性问题的求解策略
解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
三、高效训练突破
1.(2020·六安三模)给定椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为eq \r(a2＋b2)的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(eq \r(2)，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为eq \r(3).
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．
2.(2020·漳州二模)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(1(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若线段MN平行于y轴，满足(eq \(ON,\s\up6(→))－2eq \(OM,\s\up6(→)))·eq \(MN,\s\up6(→))＝0，动点P在直线x＝2eq \r(3)上，满足eq \(ON,\s\up6(→))·eq \(NP,\s\up6(→))＝2.证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.
3.(2020·南昌模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上动点P到两焦点F1，F2的距离之和为4，当点P运动到椭圆C的一个顶点时，直线PF1恰与以原点O为圆心，以椭圆C的离心率e为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝6于不同的两点M，N，则以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
4.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)，点P为其上一动点，且三角形PF1F2面积的最大值为eq \r(3)，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．
5.(2020·重庆模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点M在椭圆C上滑动，若△MF1F2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M使得△MF1F2为直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(0，1)的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，与x轴交于点Q.设eq \(QA,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))，eq \(QB,\s\up6(→))＝μeq \(PB,\s\up6(→))，求证：λ＋μ为定值，并求该定值．
6．(2020·甘肃白银联考)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为eq \f(\r(2),2)，△AF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
7．(2020·湖南五市十校联考)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切．
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E分别相交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．
8．(2020·湖南郴州教学质量监测)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线分别交抛物线于A，B两点．
(1)若以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝16，求抛物线C的标准方程；
(2)过点A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上．