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2021年高考理科数学一轮复习：专题8.7 高考解答题热点题型-立体几何 题型全归纳与高效训练突破
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这是一份2021年高考理科数学一轮复习：专题8.7 高考解答题热点题型-立体几何 题型全归纳与高效训练突破，文件包含专题87高考解答题热点题型-立体几何学生版docx、专题87高考解答题热点题型-立体几何老师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26000" 一、题型综述 PAGEREF _Tc26000 1
\l "_Tc9433" 二 题型全归纳 PAGEREF _Tc9433 1
\l "_Tc25042" 题型一 空间点、线、面的位置关系及空． PAGEREF _Tc25042 1
\l "_Tc11952" 题型二 平面图形的折叠问题 PAGEREF _Tc11952 7
\l "_Tc9828" 题型三 立体几何中的探索性问题 PAGEREF _Tc9828 10
\l "_Tc5554" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc5554 15
一、题型综述
立体几何是每年高考的重要内容，基本上都是一道客观题和一道解答题，客观题主要考查考生的空间想象能力及简单的计算能力．解答题主要采用证明与计算相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系，再利用空间向量进行空间角的计算求解．重在考查考生的逻辑推理及计算能力，试题难度一般不大，属中档题，且主要有以下几种常见的热点题型．
二 题型全归纳
题型一 空间点、线、面的位置关系及空．
1证明点共面或线共面的常用方法
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．
(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．．
(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明空间点共线问题的方法
(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
4.求异面直线所成角的方法
(1)几何法
①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
②证：证明作出的角为所求角．
③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．
(2)向量法
建立空间直角坐标系，利用公式|csθ|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．
【例1】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若二面角E－BD－F的余弦值为eq \f(1,3)，求线段CF的长．
【例2】.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为eq \f(\r(7),21)，求线段AH的长．
【例3】如图，在几何体ACD－A1B1C1D1中，四边形ADD1A1与四边形CDD1C1均为矩形，平面ADD1A1⊥平面CDD1C1，B1A1⊥平面ADD1A1，AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥平面CC1E；
(2)求直线B1C1与平面B1CE所成角的正弦值．
题型二 平面图形的折叠问题
【解法】解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．
(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；
(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．
【例1】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
题型三 立体几何中的探索性问题
【技巧要点】对命题条件的探索的三种途径
途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
途径三：将几何问题转化为代数问题
【例1】(2020·湖北“四地七校”联考)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2eq \r(2)的正方形，平面PAC⊥底面ABCD，PA＝PC＝2eq \r(2).
(1)求证：PB＝PD；
(2)若点M，N分别是棱PA，PC的中点，平面DMN与棱PB的交点为点Q，则在线段BC上是否存在一点H，使得DQ⊥PH？若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．
【例2】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【例3】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．
三、高效训练突破
1.(2020·深圳模拟)已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.
(1)证明：MN⊥PC；
(2)当H为PC的中点，PA＝PC＝eq \r(3)AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．
2．(2020·河南联考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，BC⊥PB，E是AD的中点．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为eq \f(\r(15),4)，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．
3.(2020·云南师范大学附属中学3月月考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝2eq \r(6)，D是CC1的中点，E是A1B1的中点．
(1)证明：DE∥平面A1BC;
(2)求点A到平面A1BC的距离．
4．(2020·湖北十堰4月调研)如图，在三棱锥P－ABC中，M为AC的中点，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝eq \r(2)，AC＝2，∠PAC＝30°.
(1)证明：BM⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
5．(2020·合肥模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．
6.(2020·河南郑州三测)如图①，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为边AB，AC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置(如图②)，且PB＝BE.
(1)证明：EF⊥平面PBE；
(2)设N为线段PF上的动点(包含端点)，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．
7．(2020·山东淄博三模)如图①，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图②所示的二面角，且二面角的大小为60°，点M在线段AB上(包含端点)，连接AD.
(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求此时二面角MECF的余弦值；若不存在，说明理由．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26000" 一、题型综述 PAGEREF _Tc26000 1
\l "_Tc9433" 二 题型全归纳 PAGEREF _Tc9433 1
\l "_Tc25042" 题型一 空间点、线、面的位置关系及空． PAGEREF _Tc25042 1
\l "_Tc11952" 题型二 平面图形的折叠问题 PAGEREF _Tc11952 7
\l "_Tc9828" 题型三 立体几何中的探索性问题 PAGEREF _Tc9828 10
\l "_Tc5554" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc5554 15
一、题型综述
立体几何是每年高考的重要内容，基本上都是一道客观题和一道解答题，客观题主要考查考生的空间想象能力及简单的计算能力．解答题主要采用证明与计算相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系，再利用空间向量进行空间角的计算求解．重在考查考生的逻辑推理及计算能力，试题难度一般不大，属中档题，且主要有以下几种常见的热点题型．
二 题型全归纳
题型一 空间点、线、面的位置关系及空．
1证明点共面或线共面的常用方法
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．
(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．．
(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明空间点共线问题的方法
(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
4.求异面直线所成角的方法
(1)几何法
①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
②证：证明作出的角为所求角．
③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．
(2)向量法
建立空间直角坐标系，利用公式|csθ|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．
【例1】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若二面角E－BD－F的余弦值为eq \f(1,3)，求线段CF的长．
【例2】.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为eq \f(\r(7),21)，求线段AH的长．
【例3】如图，在几何体ACD－A1B1C1D1中，四边形ADD1A1与四边形CDD1C1均为矩形，平面ADD1A1⊥平面CDD1C1，B1A1⊥平面ADD1A1，AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥平面CC1E；
(2)求直线B1C1与平面B1CE所成角的正弦值．
题型二 平面图形的折叠问题
【解法】解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．
(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；
(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．
【例1】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
题型三 立体几何中的探索性问题
【技巧要点】对命题条件的探索的三种途径
途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
途径三：将几何问题转化为代数问题
【例1】(2020·湖北“四地七校”联考)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2eq \r(2)的正方形，平面PAC⊥底面ABCD，PA＝PC＝2eq \r(2).
(1)求证：PB＝PD；
(2)若点M，N分别是棱PA，PC的中点，平面DMN与棱PB的交点为点Q，则在线段BC上是否存在一点H，使得DQ⊥PH？若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．
【例2】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【例3】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．
三、高效训练突破
1.(2020·深圳模拟)已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.
(1)证明：MN⊥PC；
(2)当H为PC的中点，PA＝PC＝eq \r(3)AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．
2．(2020·河南联考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，BC⊥PB，E是AD的中点．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为eq \f(\r(15),4)，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．
3.(2020·云南师范大学附属中学3月月考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝2eq \r(6)，D是CC1的中点，E是A1B1的中点．
(1)证明：DE∥平面A1BC;
(2)求点A到平面A1BC的距离．
4．(2020·湖北十堰4月调研)如图，在三棱锥P－ABC中，M为AC的中点，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝eq \r(2)，AC＝2，∠PAC＝30°.
(1)证明：BM⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
5．(2020·合肥模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．
6.(2020·河南郑州三测)如图①，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为边AB，AC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置(如图②)，且PB＝BE.
(1)证明：EF⊥平面PBE；
(2)设N为线段PF上的动点(包含端点)，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．
7．(2020·山东淄博三模)如图①，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图②所示的二面角，且二面角的大小为60°，点M在线段AB上(包含端点)，连接AD.
(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求此时二面角MECF的余弦值；若不存在，说明理由．
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