2021年高考理科数学一轮复习：专题2.8 函数与方程 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 求函数的零点或判断其所在的区间1
题型二 函数零点个数的判定3
题型三 函数零点的应用4
命题角度一 根据函数零点个数求参数4
命题角度二 根据函数有无零点求参数5
命题角度三 根据函数零点的范围求参数6
二、高效训练突破6
一、题型全归纳
题型一 求函数的零点或判断其所在的区间
【题型要点】确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【例1】(2020广州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C.eq \f(1,2) D．0
【例2】．若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【例3】．(2020·青岛二中模拟)已知函数f(x)＝2x－lgeq \f(1,2)x，且实数a>b>c>0满足f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是( )
A．x0a
C．x0题型二 函数零点个数的判定
【题型要点】判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
【例1】(2020·河南南阳月考)函数f(x)＝eq \r(x)－csx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【例2】(2020·淄博模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【例3】已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数为________．
题型三 函数零点的应用
【题型要点】根据函数零点的情况求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解
命题角度一 根据函数零点个数求参数
【例1】(2020·安徽合肥二模)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|ln x|，x>0，,ex（x＋1），x≤0.))若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e2)，0))
C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
【例2】(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－ex，x≤0，,ln x，x>0))(e为自然对数的底数)，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是( )
A．a>－1 B．－1C．0命题角度二 根据函数有无零点求参数
【例3】(2020·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C.D.
命题角度三 根据函数零点的范围求参数
【例5】若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是______．
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·eq \r(x2－4)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2020·佳木斯摸底)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，eq \f(1,2)
C．0，－eq \f(1,2) D．2，－eq \f(1,2)
4．(2020·福建晋江四校联考)设函数y＝lg3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
5.(2020·湖南娄底二模)若函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
6.(2019·江西三校联考)设函数y＝lg2x－1与y＝22－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
7.(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于( )
A．1 B．－1
C．e D．eq \f(1,e)
8.(2020·河南焦作统考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－x2，x≥0，,1－ln（x＋6），－6A．1 B．2
C．3 D．4
9．(2020·河北张家口模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三个零点，则实数m的取值范围是( )
A. B．
C．(0，1) D．
10.(2019·石家庄模拟)设方程10x＝|lg (－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0二、填空题
1.若函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是________．
2.已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xln x，x>0，,x2－x－2，x≤0，))则其零点为________．
3.已知函数f(x)＝－cs x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．
4.(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
5.(2020·湘赣十四校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax2＋2x＋a（x≤0）,ax－3（x>0）))，有且只有1个零点，则实数a的取值范围是______．
三、解答题
1.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的值；
(2)求函数的零点．
2.(2019·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝lgax有三个不同的实根，求a的取值范围．
3.设函数f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)，x∈R且x≠1.
(1)求＋＋＋＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值；
(2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数．
1
2
3
4
5
6
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6