专题02 三角形中的”动“问题-中考数学中的“动”问题学案

这是一份专题02 三角形中的”动“问题-中考数学中的“动”问题学案，共6页。学案主要包含了参考答案，试题解析，方法点拨等内容，欢迎下载使用。

如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是
A．3B．4C．5D．6
【参考答案】D
【试题解析】如图，连接CF，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，
∴EF+BE的最小值为6，故选D．
【方法点拨】点的运动会引起距离的变化，距离最大或最小的问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
1．如图，在△ABC中，∠B=70°，D是BC边上的一个动点，∠ADC=9x°，则x的值可能是
A．5B．10
C．20D．25
2．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，PE=3，若点F是AB边上的一个动点，则PF的最小值等于
A．3B．4
C．5D．6
3．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度都是1cm/s，点Q的速度都是2cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止．当t=__________时，△PBQ是直角三角形．
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（点D不与点A、B重合），连接CD，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．当△ADE为等腰三角形时，AD的长度为__________．
5．已知△ABC中，AB=AC=BC=6，点P是射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP=CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
参考答案
1．【参考答案】B
【试题解析】∵∠B=70°，∴70°<∠ADC<180°，∵∠ADC=9x°，∴70°<9x°<180°，解得7故选B．
2．【参考答案】A
【试题解析】∵点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，PE=3，
∴当PF⊥AB时，PF最短=PE=3．故选A．
3．【参考答案】或
【试题解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．
∵BP=3–t，BQ=2t，∴3–t=2×2t，解得t=；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，∴2t=2（3–t），解得t=．
答：当t=或时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：或．
4．【参考答案】1或
【试题解析】分两种情况：①当点E在AC上时，AE=ED，
∴∠EDA=∠BAC=30°，
∵DE⊥CD，∴∠BDC=60°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=AB=1，∠B=60°，
∴AC=，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，∠DCA=30°=∠BAC，
∴CD=BC=1，AD=CD=1；
②当点E在射线CA上时，如图所示：
AE=AD，
∴∠E=∠ADE=15°，
∵DE⊥CD，
∴∠CDA=90°–15°=75°，
∴∠ACD=180°–30°–75°=75°=∠CDA，
∴AD=AC=；
综上所述：AD的长度为1或；
故答案为：1或．
5．【试题解析】（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F．
∵点P为AB的中点，∴BP=AB=3，
∵AB=AC=BC，∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∵PF∥AC，∴∠PFB=∠ACB=60°，∠BPF=∠BAC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴BF=FP=BP=3，∴FC=BC–BF=3，
由题意，BP=CQ，∴FP=CQ，
∵PF∥AC，∴∠DPF=∠DQC，
又∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD，
∴CD=DF=FC=；
（2）当点P，Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变
分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时，
如图②，过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB=PF，
∵PE⊥BC，∴BE=EF，
由（1）知△PFD≌△QCD，CD=DF，
∴DE=EF+DF=BC=3，
②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE=3，
∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变．