第2.3讲 圆的基本性质-备战中考数学热点难点突破（教师版）练习题学案

这是一份第2.3讲 圆的基本性质-备战中考数学热点难点突破（教师版）练习题学案，共17页。学案主要包含了垂径定理及其推论，圆周角定理及推论，圆内接四边形的相关计算等内容，欢迎下载使用。

考纲要求:
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念.
2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系.
3．能利用圆的有关概念解决有关简单问题，能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推论解决有关简单问题.
基础知识回顾:
应用举例:
招数一、垂径定理及其推论
【例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【解析】
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
【例2】．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【解析】
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
招数二、圆周角定理及推论
【例3】如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，
此时点D到弦OB的距离最大，
【例4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，∴BD=4；
在Rt△BDE中，,
∴AE2+BE2=16.
故选C.
招数三、圆内接四边形的相关计算
【例5】如图，A、B、C是上的三个点，若，则______．
【答案】
【解析】
如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
，，
，
故答案为：．
【例6】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B＋∠E＝________.
【答案】210°.
故答案为: 210°.
招数四、分类讨论在圆的基本性质计算中的应用
【例7】 点A、B、C在半径为2 cm的⊙O上，若BC＝ cm，∠A的度数是 ．
【答案】60°或120°
分析：应分点A在弦BC所对的优弧上和点A在弦BC所对的劣弧上两种情况．
【例8】如图，在矩形中，，，点在上，，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是__________．
【答案】0或或4
【解析】
当点F与点A重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.
当点F从点A向点B运动时，
当时，共有4个点P使是以为斜边.
当时，有1个点P使是以为斜边.
方法、规律归纳:
1．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等圆中才成立.。
2．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.
3． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形
实战演练:
1.如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为____________．
【答案】
【解析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，
2. ．如图，正△ABC 的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正△ABC绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值为_____．
【答案】
【解析】
解：如图，分别连接 OA、OB、OD；
∵OA＝OB＝ ，AB＝2，
∴△OAB 是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°；
同理可证：∠OAD＝45°，
∴∠DAB＝90°；
∵∠CAB＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴旋转角的正切值是 ，
故答案为：．
3. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，连接AD．
∴sin∠AOB=sin∠ADO=.
故选：D．
4.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 8
【答案】B
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE==6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE=，
故选D．
5.在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角的度数为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】试题解析：
同理
∵∠AOB与∠ADB都对,
∵大角
则弦AB所对的圆周角为或.
故选D.
6. 如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是_____．
【答案】
7. 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′=OA=×1=，
即PA+PB的最小值=．
故选A．
8. 如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为__________．
【答案】4
解：连结EO并延长交CF于点H.
在Rt△OCH中，根据勾股定理得CH===2,
∴CF=2CH=4.
故答案为：4.
9. 如图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧长AB等于弧长AF，BF与AD，AO分别交于点E，G.求证：
（1）∠DAO＝∠FBC；
（2）AE=BE.
（2）连CF，AC，AB．由在同圆中等弧对的圆周角相等得到∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE．
试题解析：
（1）连CF，OF．如图所示：
（2）连CF，AC，AB，如图所示：
∵AB弧长等于AF弧长，
∴∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE．
10. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，若点P是直径AB上的一动点，则PD+PC的最小值为_____．
【答案】10
∴∠C′CD=120°-30°=90°，
∴C′D为圆的直径，
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴PD+PC的最小值为10，
故答案为：10．
知识点一：圆的有关概念
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．[来源:Z+X+X+K][来源:ZXXK]
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四 ：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=1/2∠O.

图a 图b 图c
( 2 )推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.