第1.7讲 求二次函数的最值-备战中考数学热点难点突破（教师版）练习题学案

这是一份第1.7讲 求二次函数的最值-备战中考数学热点难点突破（教师版）练习题学案，共18页。

1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。
2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。
基础知识回顾:
二次函数的图象和性质
应用举例:
招数一、利用二次函数的图像和性质，用最值的公式解决最值问题问题 ．
【例1】如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是____________;
【答案】﹣17
【解析】
由图象的对称轴为直线x=3，得
-．
解得k=-2，
∴二次函数解析式为y=．
∴y=(x-3)2-17,
∴二次函数的最小值是-17.
故答案为：-17.
【例2】已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则整数m的值是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2
【答案】C
招数二、解决与二次函数的增减性有关的最之问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得出结论，不限定自变量的取值范围求最值．
【例3】如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）；（2）当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．
（2）由抛物线的对称性得，
，
当时，，
矩形的周长
，
，
，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，
【例4】已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标；
(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当m=时，S最大，此时Q（，）．
【解析】
（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，
得，解得，
则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ．
则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB
=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3
=-m2+m
=-（m-）2+，
∴当m═时，S最大，此时Q（，）．
招数三、二次函数的最值一定要结合实际问题中自变量的取值范围确定，即限定自变量的取值范围求最值．
【例5】当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
【答案】B
招数四、由函数的最大值，确定的自变量的取值范围。
【例6】（2017辽宁省锦州市）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程有两个相等的实数根，其中正确的结论是 ．（只填序号即可）．
解析：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线的对称轴直线x=，∴a=﹣b．故②错误；
③∵该抛物线的顶点坐标为（，1），∴1=，∴b2﹣4ac=﹣4a．∵b=﹣a，∴a2﹣4ac=﹣4a，∵a≠0，等式两边除以a，得a﹣4c=﹣4，即a=4c﹣4．故③正确；
④∵二次函数的最大值为1，即，∴方程有两个相等的实数根．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为：③④．
方法、规律归纳:
一、二次函数最值的方法与技巧：
1、若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值或最小值。
2、若自变量的取值范围是，若-在自变量的取值范围内，则当x=-时，y=是其中的一个最值。另一个最值在或处取得。若不在自变量的取值范围内，则函数的最值即为函数在，时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的。
二、解决最值应用题要注意两点
①设未知数，在 “当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；
②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在 自变量的取值范围内.
实战演练:
1、二次函数的最大值是，则____．
【答案】
2.如图所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )
A．当点C是AB的中点时，S最小 B．当点C是AB的中点时，S最大
C．当点C为AB的三等分点时，S最小 D．当点C为AB的三等分点时，S最大
【答案】A
3.二次函数（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b
4、抛物线与直线y=-x+5一个交点A（2，m），另一个交点B在x轴上，点P是线段AB上异于A、B的一个动点，过点P做x轴的垂线，交抛物线于点E；
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点P，使线段PE长度最大？若存在求出最大值及此时点P的坐标，若不存在说明理由；
（3）求当ΔPAE为直角三角形时点P的坐标.
【答案】（1）；(2) 当P时，PE长度的最大值为
（3）.
（2）设P的横坐标 m,
则
.
.
m=时,
当P时，PE长度的最大值为
5、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
6、（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y=x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
7、如图，
过抛物线上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣1，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D，连结BD，则线段BD的最小值为______.
【答案】2
如图1中，
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，
∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD=-3=2．
故答案为：2
8、如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
9、（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：
（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？
（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？
（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据进货成本在4300元的限额内且全部销售完后所获利润不低于1400元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，取其整数即可得出各购进方案，再结合（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：，解得：．
答：购进篮球40个，排球20个．
10、为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=，
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【答案】（1）W=；（2）李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）李师傅共可获得160元奖金．
（2）当1≤x＜10时，
W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，
∴当x=8时，W取得最大值，此时W=324，
当10≤x≤15时，
W=﹣20x+520，
∴当x=10时，W取得最大值，此时W=320，
∵324＞320，
∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；
（3）当1≤x＜10时，
令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13，
当W＞299时，3＜x＜13，
∵1≤x＜10，
∴3＜x＜10，
当10≤x≤15时，
令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05，
∴10≤x≤11，
由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），
即李师傅共可获得160元奖金．二次函数的图象和性质
图象
[来源:Z&X&X&K]
[来源:Z§X§X§K][来源:Z#xx#k.Cm]
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标
增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p（元）
7.5
8.5
10
12