第3.1讲 探求规律题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案

这是一份第3.1讲 探求规律题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案，共11页。学案主要包含了数字猜想型，数式规律型，图形规律型，数形结合猜想型，动态规律型等内容，欢迎下载使用。

考纲要求:
探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．
基础知识回顾:
1．数字猜想型：在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
2．数式规律型：通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．
4．数形结合猜想型：首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．
5．动态规律型：要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
应用举例:
类型一、数字猜想型
【例1】．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是_____．
【答案】41．
【解析】
∵23有3、5共2个奇数,33有7、9、11共3个奇数,43有13、15、17、19共4个奇数，
…，
63共有6个奇数，
∴到63“分裂”出的奇数为止，一共有奇数：2+3+4+5+6=20，
又∵3是第一个奇数，
∴第20个奇数为20×2+1=41，
即63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是41.
故答案为：41.
类型二、数式规律型
【例2】观察下面三行数
（1）第①行数的第n个数是 .
（2）请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数,并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是 ； 同理，直接写出第③行数的第n个数是 .
（3）取每行的第k个数，这三个数的和能否等于-509?如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）(-2)n；（2）(-2)n+2；-(-2)n+1；（3）能；k=9.
【解析】
【分析】
（1）第一组，各数后一项是前一项的-2倍，
（2）第二组，各数依次相加了+6，-12，+24，-48，+96……,总结规律得第n个数是(-2)n+2，同理，第三组第n个数是-(-2)n+1，
（3）根据前两问将第k个数表示出来，解关于k的方程即可。
【详解】
（1）(-2)n；
（2）(-2)n+2；
（3）能；
(-2)k+[(-2)k+2]+[-(-2)k+1]=-509，
所以(-2)k=-512，
解得k=9.
类型三、图形规律型：
【例3】把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A． 12 B． 14 C． 16 D． 18
【答案】C
【解析】【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.
类型四、数形结合猜想型：
【例4】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是______，点A2018的坐标是______．
【答案】（6，0）（0，﹣2016）
【解析】
【详解】
解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，﹣（4n+2）），A4n+3=（﹣（4n+3），1）．
∵5=4+1，2016=504×4+2，
∴A5的坐标为（64+2，0）=（6，0），A2016的坐标为（0，﹣2016）．
故答案为：（6，0）；（0，﹣2016）．
类型五、动态规律型：
【例5】如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
【答案】D．
【解析】
考点：1．轨迹；2．矩形的性质；3．旋转的性质；4．规律型；5．综合题．
方法、规律归纳:
数字规律：
①标序数(1，2，3，…，n)；
②找规律，观察：
当所给的一组数字是整数时：
A.数字与序数的关系；B.数字的符号规律，若为正负号交替，则用或表示符号；
代数式规律：
①标序数(1，2，3，…，n)；
②找规律，观察：A.系数、代数式字母的指数与序数的关系；B.符号规律方法同“数字规律”时.
图形规律：
(1)基础图形固定累加：
①标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；
②数图形个数：数出每组图形的个数；
③寻找第n项(某项)的个数与序数n的关系：将后一个
图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差
来观察累加个数，然后按照定量变化推导出关系式；
④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
(2)基础图形递变累加：
①标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；
②数图形个数：数出每组图形的个数；
③寻找第n项(某项)的个数与序数n的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作商来观察图形个数；或将图形个数与n进行对比，寻找是否是与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系；
④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
实战演练:
1、根据以下图形变化的规律，第2016个图形中黑色正方形的数量是______．
【答案】3024
【解析】第1个图形中黑色正方形的个数是2个，
第2个图形中黑色正方形的个数是3个，
第3个图形中黑色正方形的个数是5个，
第4个图形中黑色正方形的个数是6个，
第5个图形中黑色正方形的个数是8个，
第6个图形中黑色正方形的个数是9个，
……
由此可知当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的个数为个 ，
当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的个数是个，
故第2016个图形中黑色正方形的数量是3024个.
2. 在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】B．
【解析】
试题分析：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；
周期为6；
2017÷6=336…1，所以a2017=a1=3．
故选B．
考点：规律型：数字的变化类．
3. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是______．
【答案】( 2017 , 1 )
4. 观察下列格式：
……
请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） ．（写出最简计算结果即可）
【答案】．
【解析】
试题分析：n=1时，结果为：；
n=2时，结果为：；
n=3时，结果为：；
所以第n个式子的结果为：．故答案为：．
5. 已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即当n为大于1的奇数时，Sn=；当n为大于1的偶数时，Sn=﹣Sn﹣1﹣1），按此规律，S2018=_____．
【答案】-
【解析】
【分析】
根据Sn的变化规律，得出Sn的值每6个为一个循环，由2018=336×6+2，可知S2018= S2.
【详解】
由已知可得：
S1=，S2=-，S3=-，S4=-，S5=-（a+1）, S6=a, S7=⋯
根据Sn的变化规律，得出Sn的值每6个为一个循环，
因为，2018=336×6+2，
所以，S2018= S2=-.
故答案为：-
6.观察下列各式：，
……
请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．
【答案】 ．
【解析】
7.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2017的坐标是 ．
【答案】（672，1）．
【解析】
8. 观察下列各式及其验证过程：
，验证：．
，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证；
（3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程．
【答案】（1）见解析；（2），验收见解析；（3）见解析
【解析】
（1）∵，，
∴,验证：
（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴，
验证:
（3） （a为任意自然数，且a≥2），
验证： ．
9. 图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.将图①倒置后与原图①拼成图②的形状,这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=.
如果图③和图④中的圆圈都有13层.

(1)我们自上往下，在图③的每个圆圈中填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是___；
(2)我们自上往下，在图④每个圆圈中填上一串连续的整数−23，−22，−21，−20，…，求最底层最右边圆圈内的数是___；
(3)求图④中所有圆圈中各数之和.(写出计算过程)
【答案】（1）79；（2）67；（3）2002.
【解析】
（1）当有13层时，前12层共有：1+2+3+…+12=78个圆圈，78+1=79，
故答案为：79；
（2）图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+13==91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，
故答案为：67；
（3）图④中共有91个数，分别为-23，-22，-21，…，66，67，
图④中所有圆圈中各数的和为：
-23+（-22）+…+（-1）+0+1+2+…+67==2002.
10. 观察下列等式：
（1）第1个等式：a1=； 第2个等式：a2=；
第3个等式：a3=； 第4个等式：a4=；
…
用含有n的代数式表示第n个等式：an=___________=___________（n为正整数）；
（2）按一定规律排列的一列数依次为，1， ， ， ， ，…，按此规律，这列数中的第100个数是_______________．
【答案】 (-) （2）
【解析】试题分析:(1)观察可得等式的变化规律:分子不变为1,分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1,
(2)通过观察可发现:相邻的两个分数,后一项的的分子与前一项的分子的差是3,后一项的分母与前一项的分母的差是2,所以第n个数为,然后把100代入即可求解.
试题解析:(1) ,
(2) 通过观察可发现可得第n个数为,
所以当n=100时, .