第1.8讲 二次函数的应用-备战中考数学热点难点突破（教师版）练习题学案

这是一份第1.8讲 二次函数的应用-备战中考数学热点难点突破（教师版）练习题学案，共13页。学案主要包含了 二次函数的概念及解析式， 抛物线的平移，二次函数与一元二次方程的关系等内容，欢迎下载使用。

考纲要求:
1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。
2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。
基础知识回顾:
一、 二次函数的概念及解析式
1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的2、2函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点
坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函数与
x轴的交点的横坐标，a≠0.
二、 抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为(h，k)．
2．保持y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如
三、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．
应用举例:
招数一、利用 二次函数的增减性有关的问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得出结论．另外，解答本题也可以代入数值求出对应的函数值，从而进行大小比较．
【例1】若二次函数y＝mx2-6mx＋1（m>0）的图像经过A(2，a)，B(-1，b)，C(3＋，c)三点，则a，b，c从小到大排列是____．
【答案】a＜c＜b
【例2】若二次函数y＝2x2﹣4kx+1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____．
【答案】k≥1．
【解析】
解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上，
二次函数y＝2x2﹣4kx+1的对称轴为直线x＝k，
∵当x≤l时，y随x的增大而减小，
∴k≥1，
故答案为：k≥1．
【例3】下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点
B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．当时，有最大值为0
【答案】C
【解析】
A. 它的图象经过点，A错误；
B. 它的图象的对称轴是直线，B错误；
C. 当时，随的增大而减小，正确；
D. 当时，有最小值为0,D错误.
故选：D
招数二、利用二次函数的图象判断系数的关系 利用图象判定字母系数的关系时，要先通过图象的开口方向确定出a的符号，根据对称轴的位置，确定b的符号或a与b的关系式，根据图象与y轴的交点确定出c的符号；然后通过a，b，c的符号确定有关a，b，c乘积式的符号，根据图象与x轴的交点个数确定b2－4ac的符号；最后结合图象上的特殊值点确定有关a，b，c的算式的符号．此类问题
【例3】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，正确的结论是_____（只填序号）
【答案】②③④
【例4】如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
招数三、 设二次函数解析式的形式一般遵循以下方法：若已知二次函数上三个点的坐标，则选择一般式；若已知二次函数的顶点坐标，则选择顶点式；若已知二次函数与x轴的交点坐标，则选择交点式．需要注意的是，作为解答题，最后结果要化为一般式．
【例6】已知抛物线的顶点为（1，﹣3），且过点（2，1），求这个函数的表达式为________．
【答案】y=4x2﹣8x+1
【例7】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x=2时，y的值为________ ．
【答案】2．
【解析】
试题分析：首先设二次函数的解析式为：y=a(x-3)(x+1)，将(0，2)代入可得：，则二次函数的解析式为：y=，则当x=2时，y=2．
【例8】经过（1，2.6），（4，5），（2，3）三点的二次函数的表达式是_____．
【答案】y=0.2x2﹣0.2x+2.6
【解析】
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把（1，2.6），（4，5），（2，3）代入得，
，解得，
所以抛物线解析式为y=0.2x2-0.2x+2.6．
故答案为y=0.2x2-0.2x+2.6．
方法、规律归纳:
一、 当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式 来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出 ， ，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式.
二、当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大;当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式 (为常数)配方，转化为顶点式求解.也可以利用顶点坐标公式来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增减性完全相反.
实战演练:
1、已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
∴真命题的概率．
故选C．
2. 已知二次函数 y4x24x1，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取时的函数值为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】B
3、抛物线 (是常数)的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4、将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
【答案】D
【解析】
解:抛物线y= x2+2x+3=,顶点坐标(-1,2),再向下平移3个单位得到的点是(-1,-1).可得新函数的解析式为y=，
当y=3时候，即:=3，得：，
解得：x=1或x=-3，
抛物线与直线y=3的交点坐标为（1，3）或（-3，3），
故选D.
5、某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是 元/时，才能在半月内获得最大利润．
6、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数图象，当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件．
【详解】
∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，
∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．
故选：A．
7、如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线与线段AB有交点，则的取值范围是______.
【答案】
8、如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
∴抛物线的函数解析式为；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：
①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，）；
②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；
③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，），M5与M1重合；
综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）．
9、如图，已知抛物线过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
10、如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（2,1），将此矩形绕点O逆时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）将矩形DEFO向右平移，当点E的对应点E’在抛物线上时，求线段DF扫过的面积.
（3）若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求d的值.
【答案】（1）；（2）平行四边形DD’F’F的面积为；（3） 平移的距离或.
⑵如图，由平移可知DF扫过的面积为平行四边形DD’F’F的面积.
当点E向右平移后的对应点E’在抛物线上时，
有，则，解得，，
∴E’（），
∴，
∴平行四边形DD’F’F的面积为.
⑶∵，
∴抛物线的顶点坐标为（），
∵B（2,1），
∴平移的距离或.