2018年广东省深圳市龙岗区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年广东省深圳市龙岗区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 2 的倒数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 在圆锥、圆柱、球当中，主视图、左视图、俯视图完全相同的有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

3. 2017 年龙岗区GDP总量实现历史性突破，生产总值达 386000000000 元，首次跃居全市各区第二．将 386000000000 用科学记数法表示为
A. 3.86×1010B. 3.86×1011C. 3.86×1012D. 386×109

4. 观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列计算正确的是
A. x2⋅x3=x6B. xy2=xy2C. x24=x8D. x2+x3=x5

6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 sinA=13，那么 sinB 的值是
A. 223B. 22C. 24D. 3

7. 如图：能判断 AB∥CD 的条件是
A. ∠A=∠ACDB. ∠A=∠DCEC. ∠B=∠ACBD. ∠B=∠ACD

8. 下列事件中，属于必然事件的是
A. 三角形的外心到三边的距离相等
B. 某射击运动员射击一次，命中靶心
C. 任意画一个三角形，其内角和是 180∘
D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上

9. 一元二次方程 x2−5x−6=0 的根是
A. x1=1，x2=6B. x1=2，x2=3C. x1=1，x2=−6D. x1=−1，x2=6

10. 抛物线 y=2x+12−2 与 y 轴的交点的坐标是
A. 0,−2B. −2,0C. 0,−1D. 0,0

11. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC，BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长等于
A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 8 cm

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图，下列四个结论：
① 4a+c<0；
② mam+b+b>am≠−1；
③关于 x 的一元二次方程 ax2+b−1x+c=0 没有实数根；
④ ak4+bk2其中正确结论的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知 xy=32，则 x−yx+y= ．

14. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*b=a2−2ab+b2，根据这个规则求方程 x−4*1=0 的解为 ．

15. 将一次函数 y=2x+4 的图象向下平移 3 个单位长度，相应的函数表达式为 ．

16. 如图，已知反比例函数 y=kxx＞0 的图象经过点 A3,4，在该图象上面找一点 P，使 ∠POA=45∘，则点 P 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：27−−20+∣1−3∣+2cs30∘．

18. 先化简，再求值：a2a−2−4a−2⋅1a2+2a，其中 a=22．

19. 当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为 A1，A2，A3，A4，现对 A1，A2，A3，A4 统计后，制成如图所示的统计图．
（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；
（2）将条形统计图补充完整，并求出 A1 所在扇形的圆心角的度数；
（3）现从 A1，A2 中各选出一人进行座谈，若 A1 中有一名女生，A2 中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．

20. 六 ⋅ 一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A，B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多 25 元，用 2000 元购进A种服装数量是用 750 元购进B种服装数量的 2 倍．
（1）求A，B两种品牌服装每套进价分别为多少元?
（2）该服装A品牌每套售价为 130 元，B品牌每套售价为 95 元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的 2 倍还多 4 套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过 1200 元，则最少购进A品牌的服装多少套?

21. 2014 年 3 月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在 A 、 B 两个探测点探测到 C 处是信号发射点，已知 A 、 B 两点相距 400 m，探测线与海平面的夹角分别是 30∘ 和 60∘，若 CD 的长是点 C 到海平面的最短距离．
（1）问 BD 与 AB 有什么数量关系，试说明理由；
（2）求信号发射点的深度．（ 结果精确到 1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732 ）

22. 如图，⊙O 的半径 OA=2，AB 是弦，直线 EF 经过点 B，AC⊥EF 于点 C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AC=1，求 AB 的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2−3ax−4a 的图象经过点 C0,2，交 x 轴于点 A，B（A 点在 B 点左侧），顶点为 D．
（1）求抛物线的解析式及点 A，B 的坐标；
（2）将 △ABC 沿直线 BC 对折，点 A 的对称点为 Aʹ，试求 Aʹ 的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 ∠BPC=∠BAC?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. B
4. D
5. C
6. A【解析】sinA=BCAB=13，即 AB=3BC，
∴sinB=ACAB=AB2−BC2AB=223．
7. A
8. C
9. D
10. D
11. C【解析】∵ 菱形 ABCD 的周长为 48 cm，
∴ AD=12 cm，AC⊥BD，
∵ E 是 AD 的中点，
∴ OE=12AD=6cm．
12. D【解析】①因为二次函数的对称轴是直线 x=−1，
由图象可得左交点的横坐标大于 −3，小于 −2，
所以 −b2a=−1，b=2a，
当 x=−3 时，y<0，
即 9a−3b+c<0，9a−6a+c<0，3a+c<0，
∵a<0，
∴4a+c<0，
所以此选项结论正确；
② ∵ 抛物线的对称轴是直线 x=−1，
∴y=a−b+c 的值最大，
即把 x=mm≠−1 代入得：y=am2+bm+c ∴am2+bm mam+b+b所以此选项结论不正确；
③ ax2+b−1x+c=0，
Δ=b−12−4ac，
∵a<0，c>0，
∴ac<0，
∴−4ac>0，
∵b−12≥0，
∴Δ>0，
∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2+b−1x+c=0 有实数根；
④由图象得：当 x>−1 时，y 随 x 的增大而减小，
∵ 当 k 为常数时，0≤k2≤k2+1，
∴ 当 x=k2 的值大于 x=k2+1 的函数值，
即 ak4+bk2+c>ak2+12+bk2+1+c，
ak4+bk2>ak2+12+bk2+1，
所以此选项结论不正确；
所以正确结论的个数是 1 个．
第二部分
13. 15
【解析】设 x=3a 时，y=2a，
则 x−yx+y=3a−2a3a+2a=a5a=15．
14. x1=x2=5
15. y=2x+1
16. 221,2217
【解析】作 AE⊥y 轴于 E，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到 OAʹ，作 AʹF⊥x 轴于 F，
则 △AOE≌△AʹOF，可得 OF=OE=4，AʹF=AE=3，即 Aʹ4,−3，
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 A3,4，
∴ 由勾股定理可知：OA=5，
∴4=k3，OA=5，
∴k=12，
∴y=12x，
∴AAʹ 的中点 K72,12，
∴ 直线 OK 的解析式为 y=17x，
由 y=17x,y=12x 解得 x=221,y=2217 或 x=−221,y=−2217,
∵ 点 P 在第一象限，
∴P221,2217．
第三部分
17. 原式=33−1+3−1+2×32=33−1+3−1+3=53−2.
18. 原式=a2−4a−2⋅1aa+2=a+2a−2a−2⋅1aa+2=1a.
当 a=22 时，
原式=122=24.
19. （1） 总数人数为：6÷40%=15 人．
（2） A2 的人数为 15−2−6−4=3（人）．
补全图形，如图所示．
A1 所在圆心角度数为：215×360∘=48∘．
（3） 画出树状图如图：
故所求概率为：P=36=12．
20. （1） 设A品牌服装每套进价为 x 元，则B品牌服装每套进价为 x−25 元，
由题意得：
2000x=750x−25×2.
解得：
x=100.
经检验：x=100 是原分式方程的解，
x−25=100−25=75.
答：A，B两种品牌服装每套进价分别为 100 元、 75 元．
（2） 设购进A品牌的服装 a 套，则购进B品牌服装 2a+4 套，
由题意得：
130−100a+95−752a+4>1200.
解得：
a>16.
答：至少购进A品牌服装的数量是 17 套．
21. （1） 由图形可得 ∠BCA=30∘，
∴CB=BA=400 米，
∴ 在 Rt△CDB 中又含 30∘ 角，
得 DB=12CB=200 米，
可知，BD=12AB .
（2） 由勾股定理可得 DC=CB2−BD2=4002−2002=2003≈200×1.732≈346 （米）．
∴ 点 C 的垂直深度 CD 是 346 米．
22. （1） ∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠BAC=∠OAB，
∴∠BAC=∠OBA．
∴OB∥AC．
∵AC⊥EF，
∴OB⊥EF．
∴EF 是 ⊙O 的切线．
（2） 过点 O 作 OD⊥AB 于点 D．

则 AD=12AB．
∵∠OAD=∠BAD，∠ODA=∠BCA，
∴△ABC∽△AOD．
∴ACAD=ABAO．
∴112AB=AB2．
∴AB=2．
（3） ∵OB=OA=AB=2，
∴△ABO 是正三角形．
∴∠AOB=60∘．
在 Rt△ABC 中，
BC=AB2−AC2=22−12=3．
∴S梯形OBCA=121+2×3=323．
S扇形OAB=60×22π360=23π．
∴S阴影=323−23π.
23. （1） 把 C0,2 代入 y=ax2−3ax−4a 得 −4a=2，
解得 a=−12．
所以抛物线的解析式为 y=−12x2+32x+2．
令 −12x2+32x+2=0，可得：x1=−1，x2=4．
所以 A−1,0，B4,0．
（2） 如图 1，作 AʹH⊥x 轴于 H，
因为 OAOC=OCOB=12，且 ∠AOC=∠COB=90∘，
所以 △AOC∽△COB，
所以 ∠ACO=∠CBO，
所以 ∠ACB=∠OBC+∠BCO=90∘，
由 AʹH∥OC，AC=AʹC 得 OH=OA=1，AʹH=2OC=4；
所以 Aʹ1,4．
（3） 易得抛物线的对称轴为直线 x=32，分两种情况：
①如图 2，以 AB 为直径作 ⊙M，⊙M 交抛物线的对称轴于 P（BC 的下方），
由圆周角定理得 ∠CPB=∠CAB，
易得：MP=12AB．
所以 P32,−52．
②如图 3，类比第（2）小题的背景将 △ABC 沿直线 BC 对折，点 A 的对称点为 Aʹ，以 AʹB 为直径作 ⊙Mʹ，⊙Mʹ 交抛物线的对称轴于 Pʹ（BC 的上方），连接 CPʹ，BPʹ，MʹPʹ，
则 ∠CPʹB=∠CAʹB=∠CAB．
作 MʹE⊥AʹH 于 E，交对称轴于 F．
则 MʹE=12BH=32，EF=32−1=12．
所以 MʹF=32−12=1．
在 Rt△MʹPʹF 中，PʹF=522−12=212，
所以 Pʹ 点的纵坐标为 2+212．
所以 Pʹ32,2+212．
综上所述，P 的坐标为 32,−52 或 32,2+212．