2019年上海市长宁区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2019年上海市长宁区中考二模数学试卷（期中），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 化简 m3+m3 的结果等于
A. m6B. 2m6C. 2m3D. m9

2. 下列二次根式中，最简二次根式的是
A. 8xB. y2+4C. 1mD. 3a2

3. 某校随机抽查若干名学生，测试了 1 分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于 15 次且小于 20 次的频率是
注：每组可含最小值，不含最大值．
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4

4. 下列方程中，有实数解的是
A. x+2x2−4=0B. 2x2−x+1=0C. x2+4=0D. 6−x=−x

5. 下列命题中，真命题的是
A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等
B. 如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离
C. 如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切
D. 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦

6. 已知四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是
A. ∠ADB=∠CBD，AB∥CDB. ∠ADB=∠CBD，∠DAB=∠BCD
C. ∠DAB=∠BCD，AB=CDD. ∠ABD=∠CDB，OA=OC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 今年春节黄金周上海共接待游客约 5090000 人，5090000 这个数用科学记数法表示为 ．

8. 计算：12−2−23÷24= ．

9. 如果反比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象经过点 −1,2，那么这个反比例函数的图象在第 象限．

10. 方程组 x+y=−3,xy=2 的解是 ．

11. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ．

12. 如果二次函数 y=mxm2−2（m 为常数）的图象有最高点，那么 m 的值为 ．

13. 某商品经过两次涨价后，价格由原来的 64 元增至 100 元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是 ．

14. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中 20 名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是 小时．
睡眠时间小时6789学生人数8642

15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，连接 AE，BD 交于点 F，若 BC=a，BA=b，用 a，b 表示 DF= ．

16. 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8．分别以点 A，C 为圆心画圆，如果点 B 在 ⊙A 上，⊙C 与 ⊙A 相交，且点 A 在 ⊙C 外，那么 ⊙C 的半径长 r 的取值范围是 ．

17. 我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为 4，4，27．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=8，将 △ABC 绕着点 C 旋转，点 A，B 的对应点分别是点 Aʹ，Bʹ，若点 Bʹ 恰好在线段 AAʹ 的延长线上，则 AAʹ 的长等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：x2−4x2+2x÷x2+4x−4，其中 x=3．

20. 解不等式组：26−x>3x+1,x3−x−22≤1. 并把解集在数轴上表示出来．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点 D 是边 AC 的中点，CF⊥BD，垂足为点 F，延长 CF 与边 AB 交于点 E．求：
（1）∠ACE 的正切值；
（2）线段 AE 的长．

22. 某文具店每天售出甲，乙两种笔，统计后发现：甲，乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲，乙两种笔同一天的售出量分别为 x（支），y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲，乙两种笔同一天的售出量）．
甲种笔售出x支⋯468⋯乙种笔售出y支⋯61218⋯
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）
（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为 30 元和 120 元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多 2 元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支?

23. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，点 E 在边 CB 的延长线上，且 ∠EAC=90∘，AE2=EB⋅EC．
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）延长 DB，AE 交于点 F，若 AF=AC，求证：AE=BF．

24. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=49x2+bx+c 经过原点，且与 x 轴相交于点 A，点 A 的横坐标为 6，抛物线顶点为点 B．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 B 的坐标；
（2）过点 O 作 OP∥AB，在直线 OP 上点取一点 Q，使得 ∠QAB=∠OBA，求点 Q 的坐标；
（3）将该抛物线向左平移 mm>0 个单位，所得新抛物线与 y 轴负半轴相交于点 C 且顶点仍然在第四象限，此时点 A 移动到点 D 的位置，CB:DB=3:4，求 m 的值．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，点 P 在边 AC 上（点 P 与点 A 不重合），以点 P 为圆心，PA 为半径作 ⊙P 交边 AB 于另一点 D，ED⊥DP，交边 BC 于点 E．
（1）求证：BE=DE；
（2）若 BE=x，AD=y，求 y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；
（3）延长 ED 交 CA 的延长线于点 F，连接 BP，若 △BDP 与 △DAF 相似，求线段 AD 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】m3+m3=2m3．
2. B【解析】8x=22x，故A选项不是最简二次根式；
y2+4 是简二次根式；
1m=mm，故C选项不是最简二次根式；
3a2=∣a∣，故D选项不是最简二次根式．
3. A【解析】仰卧起坐次数不小于 15 次且小于 20 次的频率是：33+10+12+5=0.1．
4. D【解析】A．原方程变形为 x+2=0，解得 x=−2，x=3 时，x=−2 时，x2−4=0，因此原方程无解，故A错误；
B．Δ=b2−4ac=−12−4×2×1=−7<0，因此原方程无解，故B错误；
C．Δ=b2−4ac=02−4×1×4=−16<0，因此原方程无解，故C错误；
D．原方程变形为 6−x=x2，移项得，x2+x−6=0，Δ=b2−4ac=12−4×1×−6=25>0，因此原方程有两个不相等的实数根，故D正确．
5. D
【解析】A没强调在同圆或等圆中，不正确；
B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；
C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；
D垂径定理的推论，正确．
6. C【解析】A．∵∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；
B．∵∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180∘，
∴∠ABC=∠ADC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不符合题意；
C．∠DAB=∠BCD，AB=CD 不能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；
D．∵∠ABD=∠CDB，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴△AOB≌△CODAAS，
∴OB=OC，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形，故此选项不合题意．
第二部分
7. 5.09×106
【解析】5090000=5.09×106．
8. 312
【解析】原式=4−2−1=4−12=312.
9. 二、四
【解析】∵ 反比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象经过点 −1,2，
∴k=−1×2=−2<0，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−2x，
∴ 这个函数图象在第二、四象限．
10. x=−2,y=−1 或 x=−1,y=−2
【解析】x+y=−3, ⋯⋯①xy=2, ⋯⋯②
由 ① 得，x=−3−y, ⋯⋯③
把 ③ 代入 ② 得，−3−yy=2，
解得：y1=−1，y2=−2，
把 y1=−1，y2=−2 分别代入 ③ 得，x1=−2，x2=−1，
所以原方程的解为 x=−2,y=−1 或 x=−1,y=−2.
11. 12
【解析】掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是 1，2，3，4，5，6 中的任意一个数，共有六种可能，其中 2，3，5 是素数，所以概率为 36=12．
12. −2
【解析】∵ 二次函数 y=mxm2−2（m 为常数）的图象有最高点，
∴m2−2=2,m<0,
解得：m=−2．
13. 25%
【解析】设这个增长率为 x，
依题意，得：641+x2=100，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25（不合题意，舍去）．
14. 7
【解析】∵ 共有 20 名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第 10 和 11 个数的平均数，
∴ 这些测试数据的中位数是 7+72=7 小时．
15. −13a−13b
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴CD=BA=b，AD=BC=a，
∵DE=DC，
∴DE=−12CD=−12b，
∴AE=AD+DE=a−12b，
∵DE∥AB，
∴EF:AF=DE:AB=1:2，
∴EF=13AE，
∴EF=−13AE=−13a+16b，
∴DF=DE+EF=−12b−13a+16b=−13a−13b.
16. 4【解析】在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，
由勾股定理得：AC=62+82=10，
∵ 点 B 在 ⊙A 上，
∴⊙A 的半径是 6，
设 ⊙A 交 AC 于 D，则 AD=6，CD=10−6=4，
∵ 点 A 在 ⊙C 外，
∴⊙C 的半径小于 10，即 r 的取值范围是 417. 6 或 37
【解析】① 如图 1，
由题意得，AB=AC=BD=CD=4，BC=27，
∴ 四边形 ABDC 是菱形，
∴AD⊥BC，BO=CO=12AC=7，AO=OD，
∴AO=AB2−BO2=16−7=3，
∴AD=6>27=BC，
∴ 这个凸四边形的“直径”为 6；
② 如图 2，
由题意得，AB=AC=AD=4，BC=CD=27，
∴AC 垂直平分 BD，
∴AC⊥BD，BO=DO，
设 AO=x，则 CO=4−x，
由勾股定理得，AB2−AO2=BC2−CO2，
∴42−x2=272−4−x2，
解得：x=12，
∴AO=12，
∴BO=AB2−AO2=372，
∴BD=2BO=37，
∵BD=37>4=AC，
∴ 这个凸四边形的“直径”为 37，
综上所述：这个凸四边形的“直径”为 6 或 37．
18. 145
【解析】如图，过点 C 作 CF⊥AAʹ 于点 F．
∵ 旋转，
∴AC=AʹC=5，AB=AʹBʹ=5，BC=BʹC=8，
∵CF⊥AAʹ，
∴AF=AʹF．
在 Rt△AFC 中，AC2=AF2+CF2，
在 Rt△CFBʹ 中，BʹC2=BʹF2+CF2，
∴BʹC2−AC2=BʹF2−AF2，
∴64−25=5+AF2−AF2，
∴AF=75，
∴AAʹ=145．
第三部分
19. 原式=x+2x−2xx+2÷x2−4x+4x=x−2x⋅xx−22=1x−2.
当 x=3 时，
原式=1x−2=13−2=−3−2.
20. 26−x>3x+1, ⋯⋯①x3−x−22≤1. ⋯⋯②
由 ① 得
x<3.
由 ② 得
x≥0.∴
不等式组的解集为 0≤x<3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
21. （1） ∵∠ACB=90∘，
∴∠ACE+∠BCE=90∘，
又 ∵CF⊥BD，
∴∠CFB=90∘，
∴∠BCE+∠CBD=90∘，
∴∠ACE=∠CBD，
∵AC=4 且 D 是 AC 的中点，
∴CD=2，
又 ∵BC=3，在 Rt△BCD 中，∠BCD=90∘．
∴tan∠BCD=CDBC=23，
∴tan∠ACE=tan∠CBD=23．
（2） 过点 E 作 EH⊥AC，垂足为点 H．
在 Rt△EHA 中，∠EHA=90∘，
∴tanA=EHHA，
∵BC=3，AC=4，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴tanA=BCAC=34，
∴EHAH=34，
设 EH=3k，AH=4k，
∵AE2=EH2+AH2，
∴AE=5k，
在 Rt△CEH 中，∠CHE=90∘，
∴tan∠ECA=EHCH=23，
∴CH=92k，
∴AC=AH+CH=172k=4，解得：k=817，
∴AE=4017．
22. （1） 设函数关系式为 y=kx+bk≠0，由图象过点 4,6，6,12，
得：4k+b=6,6k+b=12,
解之得：k=3,b=−6.
所以 y 关于 x 的解析式为：y=3x−6．
（2） 设甲种笔售出 x 支，则乙种笔售出 3x−6 支，
由题意可得：
1203x−6−30x=2.
整理得：
x2−7x−30=0.
解之得：x1=10，x2=−3（舍去）3x−6=24，
答：甲、乙两种这天笔各售出 10 支，24 支．
23. （1） ∵AE2=EB⋅EC，
∴AEEC=EBAE，
又 ∵∠AEB=∠CEA，
∴△AEB∽△CEA，
∴∠EBA=∠EAC，
而 ∠EAC=90∘，
∴∠EBA=∠EAC=90∘，
又 ∵∠EBA+∠CBA=180∘，
∴∠CBA=90∘，
而四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是矩形，即得证．
（2） ∵△AEB∽△CEA，
∴BEAE=ABAC，
即 BEAB=AEAC，∠EAB=∠ECA，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ECA，
∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB，
即 ∠EBF=∠EAB，
又 ∵∠F=∠F，
∴△EBF∽△BAF，
∴BFAF=BEAB，
∴BFAF=AEAC，
而 AF=AC，
∴BF=AE，即 AE=BF 得证．
24. （1） ∵ 点 O0,0，A6,0 在抛物线 y=49x2+bx+c 上，
∴c=0,49×36+6b+c=0,
解得 b=−83,c=0,
∴ 抛物线的解析式为 y=49x2−83x=49x−32−4，
∴ 顶点 B 的坐标是 3,−4．
（2） 如图，
∵A6,0，B3,−4，
∴ 直线 AB 解析式为：y=43x−8，
∵OP∥AB，
∴ 直线 OP 解析式为：y=43x，
设点 Q3k,4k，
∵∠OBA=∠QAB>∠OAB，
∴k>0，
∵OP 平行于 AB，QA 不平行于 OB，
∴ 四边形 OQAP 为梯形，
又 ∵∠QAB=∠OBA，
∴ 四边形 OQAP 为等腰梯形，
∴QA=OB，
∴6−3k2+4k2=25，
∴k=1125 或 k=−1（舍去），
∴Q3325,4425．
（3） 由（1）知 y=49x2−83x=49x−32−4，
设抛物线向左平移 mm>0 个单位后的新抛物线表达式为 y=49x−3+m2−4，
∵ 新抛物线与 y 轴负半轴相交于点 C 且顶点仍然在第四象限，设点 C 的坐标为 C0,c，
∴0如图，过点 B 分别作 x，y 轴垂线，垂足分别为点 E，F，
∴BCBD=BFBE=34，且 ∠BFC=∠BED=90∘，
∴△BCF∽△BDE，
∴CFDE=BCBD=34，
∴CF3−m=34，
∴CF=343−m，
∴OC=4−CF=4−343−m，
又 ∵y=49x−3+m2−4，
∴OC=4−493−m2，
∴4−343−m=4−493−m2，
∴m1=2116 或者 m2=3（舍去），
∴m=2116．
25. （1） ∵ED⊥DP，
∴∠EDP=90∘．
∴∠BDE+∠PDA=90∘．
又 ∵∠ACB=90∘，
∴∠B+∠PAD=90∘．
∵PD=PA，
∴∠PDA=∠PAD．
∴∠BDE=∠B．
∴BE=DE．
（2） ∵AD=y，BD=BA−AD=5−y．
过点 E 作 EH⊥BD 垂足为点 H，
由（1）知 BE=DE，
∴BH=12BD=5−y2．
在 Rt△EHB 中，∠EHB=90∘，
∴csB=BHBE=5−y2x．
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4．
∴AB=5．
∴csB=BCAB=45．
∴5−y2x=45，
∴y=25−8x578≤x<258．
（3） 设 PD=a，则 AD=65a，BD=BA−AD=5−65a．
在等腰 △PDA 中，cs∠PAD=35，易得 cs∠DPA=725，
在 Rt△PDF 中，∠PDF=90∘，cs∠DPA=PDPF=725．
∴PF=25a7，AF=18a7．
若 △BDP∽△DAF 又 ∠BDP=∠DAF，
①当 ∠DBP=∠ADF 时，ADBD=AFPD 即 65a5−65a=18a7a，
解得 a=3，此时 AD=65a=185；
②当 ∠DBP=∠F 时，ADPD=AFBD 即 65aa=18a75−65a，
解得 a=175117，此时 AD=65a=7039．
综上所述，若 △BDP∽△DAF，线段 AD 的长为 185 或 7039．