2018_2019学年上海市静安区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018_2019学年上海市静安区九上期末数学试卷（一模），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 化简 −a2⋅a5 所得的结果是
A. a7B. −a7C. a10D. −a10

2. 下列方程中，有实数根的是
A. x−1+1=0B. x+1x=1C. 2x4+3=0D. 2x−1=−1

3. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8 cm 时，AB 的长为
A. 7.2 cmB. 5.4 cmC. 3.6 cmD. 0.6 cm

4. 下列判断错误的是
A. 如果 k=0 或 a=0，那么 ka=0
B. 设 m 为实数，则 ma+b=ma+mb
C. 如果 a∥e，那么 a=∣a∣e
D. 在平行四边形 ABCD 中，AD−AB=BD

5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 sinA=13，那么 sinB 的值是
A. 223B. 22C. 24D. 3

6. 将抛物线 y1=x2−2x−3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线 y2=ax2+bx+c 重合，现有一直线 y3=2x+3 与抛物线 y2=ax2+bx+c 相交，当 y2≤y3 时，利用图象写出此时 x 的取值范围是
A. x≤−1B. x≥3C. −1≤x≤3D. x≥0

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 ab=cd=13，那么 a+cb+d 的值是 ．

8. 已知线段 AB 长是 2 厘米，P 是线段 AB 上的一点，且满足 AP2=AB⋅BP，那么 AP 长为 厘米．

9. 已知 △ABC 的三边长分别是 2，6，2，△DEF 的两边长分别是 1 和 3，如果 △ABC 与 △DEF 相似，那么 △DEF 的第三边长应该是 ．

10. 如果一个反比例函数图象与正比例函数 y=2x 图象有一个公共点 A1,a，那么这个反比例函数的解析式是 ．

11. 如果抛物线 y=ax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，且 a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么 a 0．（填“<”或“>”）

12. 将抛物线 y=x+m2 向右平移 2 个单位后，对称轴是 y 轴，那么 m 的值是 ．

13. 如图，斜坡 AB 的坡度是 1:4，如果从点 B 测得离地面的铅垂高度 BC 是 6 米，那么斜坡 AB 的长度是 米．

14. 在等腰 △ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=8，点 G 是重心，连接 BG，那么 ∠CBG 的余切值是 ．

15. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AC 上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么 AB= ．

16. 已知梯形 ABCD，AD∥BC，点 E 和 F 分别在两腰 AB 和 DC 上，且 EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设 AD=a，那么向量 EF= ．（用向量 a 表示）

17. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=90∘，BC=6，直线 MN∥BC，且分别交边 AB，AC 于点 M，N，已知直线 MN 将 △ABC 分为面积相等的两部分，如果将线段 AM 绕着点 A 旋转，使点 M 落在边 BC 上的点 D 处，那么 BD= ．

18. 如图，矩形纸片 ABCD，AD=4，AB=3．如果点 E 在边 BC 上，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当 △EFC 是直角三角形时，那么 BE 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3ct45∘cs30∘+12cs60∘+1−tan60∘×sin60∘．

20. 解方程组：x+y=5, ⋯⋯①x−y2−2x−y−3=0. ⋯⋯②

21. 已知：二次函数图象的顶点坐标是 3,5，且抛物线经过点 A1,3．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，求 △ABC 的面积．

22. 如图，在一条河的北岸有两个目标 M，N，现在位于它的对岸设定两个观测点 A，B，已知 AB∥MN，在 A 点测得 ∠MAB=60∘，在 B 点测得 ∠MBA=45∘，AB=600 米．（参考数据：3≈1.732，sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，tan53∘≈1.33，ct53∘≈0.75）
（1）求点 M 到 AB 的距离；（结果保留根号）
（2）在 B 点又测得 ∠NBA=53∘，求 MN 的长．（结果精确到 1 米）

23. 已知：如图，梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点 E 是腰 AD 上一点，作 ∠EBC=45∘，连接 CE，交 DB 于点 F．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）如果 BCBD=56，求 S△BCES△BDA 的值．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=ax2+bx−53 经过点 A−1,0，B5,0．
（1）求此抛物线顶点 C 的坐标；
（2）连接 AC 交 y 轴于点 D，连接 BD，BC，过点 C 作 CH⊥BD，垂足为点 H，抛物线对称轴交 x 轴于点 G，连接 HG，求 HG 的长．

25. 已知：如图，四边形 ABCD 中，0∘<∠BAD≤90∘，AD=DC，AB=BC，AC 平分 ∠BAD．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）如果点 E 在对角线 AC 上，连接 BE 并延长，交边 DC 于点 G，交线段 AD 的延长线于点 F（点 F 可与点 D 重合），∠AFB=∠ACB，设 AB 长度是 a（a 是常数，且 a>0），AC=x，AF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当 △CGE 是等腰三角形时，求 AC 的长．（计算结果用含 a 的代数式表示）
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. C
5. A
【解析】sinA=BCAB=13，即 AB=3BC，
∴sinB=ACAB=AB2−BC2AB=223．
6. C【解析】y1=x−12−4，经过平移之后，为 y2=x2，也就是说 a=1，b=c=0，
y2 与 y3 的交点坐标为 3,9 和 −1,1，
结合图象得到所求 x 的取值范围是 −1≤x≤3．
第二部分
7. 13
8. 5−1
9. 2
10. y=2x
11. <
12. 2
13. 617
14. 4
15. 12
16. 76a
17. 3
【解析】如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，
因为 △ABC 中，AB=AC，∠A=90∘，BC=6，
所以 H 是 BC 的中点，AB=BC2=32，
所以 AH=12BC=BH=3，
因为 MN∥BC，
所以 △AMN∽△ABC，
因为直线 MN 将 △ABC 分为面积相等的两部分，
所以 S△AMNS△ABC=12，
所以 AMAB=12=22，即 AM32=22，解得 AM=3，
所以将线段 AM 绕点 A 旋转，可得 AD 与 AH 重合，
即 BD=BH=12BC=3．
18. 32 或 3
【解析】连接 AC，
∵AD=4，AB=3，四边形 ABCD 为矩形，
∴BC=AD=4，∠B=90∘，
∴AC=AB2+BC2=5，
△EFC 为直角三角形时，分为两种情况：
①当 ∠EFC=90∘ 时，如图 1，
∵∠AFE=∠B=90∘，∠EFC=90∘，
∴ 点 F 在 AC 上，
sin∠ACB=ABAC=EFEC，
∵AE 平分 ∠BAC，
∴BE=EF，
∴BEAB=ECAC，即 BE3=4−BE5，
∴BE=32．
②当 ∠FEC=90∘ 时，如图 2，
∵∠FEC=90∘，
∴∠FEB=90∘，
∴∠AEF=∠BEA=45∘，
∴ 四边形 ABEF 为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE 的长为 32 或 3．
第三部分
19. 原式=2+12−32=1.
20. 由 ② 得
x−y−3x−y+1=0.
则原方程组可化简为
x+y=5,x−y−3=01或x+y=5,x−y+1=0.2
解（1）得
x=4,y=1.
解（2）得
x=2,y=3.∴
原方程组的解为
x=4,y=2或x=2,y=3.
21. （1） 设抛物线解析式为 y=ax−h2+k．
因为抛物线的顶点坐标为 3,5，
所以 h=3，k=5．
所以 y=ax−32+5．
把 A1,3 代入 y=ax−32+5 中，则：3=a1−32+5，−2=4a．
所以 a=−12，
所以
y=−12x−32+5=−12x2+3x+12.
（2） 由题意知，抛物线的对称轴为直线 x=3，
因为 A 的坐标为 1,3，
所以 A 关于对称轴对称的 B 的坐标为 5,3，
所以 AB=4．
抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为 0,12，
所以 S△ABC=12×4×52=5．
22. （1） 作 MC⊥AB 于点 C，如图 1，
设 MC=x 米，
由 ∠MAB=60∘，∠MBA=45∘ 得 AC=33x，BC=x，
∴33+1x=600，
∴x=900−3003，点 M 到 AB 的距离为 900−3003 米．
（2） 如图 2，作 ND⊥AB 于点 D，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴MC∥ND 且 ∠MCD=90∘，
∵MN∥AB，
∴ 四边形 MCDN 为矩形，
∴ND=MC=900−3003，
∵∠NBA=53∘，
∴ct53∘=BDND，
∴BD=675−2253，
∴MN=CD=AB−AC−DB=225−753≈225−75×1.732≈95米.
23. （1） 因为 AD=BD，
所以 ∠A=∠ABD，
因为 ∠ADB=90∘，
所以 ∠A=∠ABD=12×180∘−90∘=45∘，
所以 ∠1+∠2=45∘，
因为 ∠EBC=45∘，
所以 ∠2+∠3=45∘，
所以 ∠1=∠3，
因为 AB∥CD，
所以 ∠4=∠ABD，
因为 ∠A=∠ABD，
所以 ∠A=∠4，
所以 △ABE∽△DBC．
（2） 由 △ABE∽△DBC 得 BCBD=BEBA，
因为 ∠EBC=∠ABD，
所以 △BCE∽△BDA，
所以 S△BCES△BDA=BCBD2=2536．
24. （1） 将 A−1,0，B5,0 代入 y=ax2+bx−53，可得 a−b−53=0,25a+5b−53=0, 解得 a=13,b=−43,
∴ 抛物线的表达式为 y=13x2−43x−53=13x−22−3，
∴C2,−3．
（2） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+c，将 A−1,0，C2,−3 代入得 −k+c=0,2k+c=−3, 解得 k=−1,c=−1,
∴y=−x−1，当 x=0 时，y=−1，
∴D0,−1．
设抛物线的对称轴与 BD 交于点 E，如图，
∵∠CHE=∠BGE=90∘，∠HEC=∠GEB，
∴△HEC∽△GEB，
∴HEGE=ECEB，即 HEEC=GEEB，
又 ∵∠HEG=∠CEB，
∴△HEG∽△CEB，
∴HGCB=GEBE=sin∠GBE=ODBD，
在 Rt△OBD 中，OB=5，OD=1，
∴BD=26，
∴HG32=126，
∴HG=31313．
25. （1） ∵AD=DC，AB=BC，
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，
∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠CAB=∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AD=DC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形．
（2） 由（1）知，AF∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴AFBC=AECE，
∴AFBC+AF=AECE+AE，
∴ya+y=AEx，
∴AE=xya+y，
∵∠AFB=∠ACB，∠DAC=∠CAB，
∴△AEF∽△ABC，
∴AFAC=AEAB，
∴yx=xya+ya，
y=x2a−a，
∵0∘<∠BAD≤90∘，
∴2a≤x<2a．
（3） ∵∠AFB=∠ACB，∠DAC=∠ACB=∠GCE，
∴∠GEC=2∠GCE，
∴CG>GE．
当 △CGE 是等腰三角形时，有两种情况，
①当 CG=CE 时，
∵△GCE∽△BAE，
∴BA=AE，
在 △FAE 和 △CAB 中，
∠F=∠ACB,∠FAE=∠CAB,AE=AB,
∴△FAE≌△CAB，
∴AF=AC 即 x=y，
∴x=x2a−a，
解得 x=5+12a 或 x=1−52a（舍），
AC 的长为 5+12a．
②当 GE=EC 时，
∵∠F=∠EBC，∠F=∠ACB，
∴∠EBC=∠ECB，
∴EC=EB，
∴GE=CE=EB，
∴∠GCB=90∘，
∴ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AC=2AB=2a．
综上所述，AC 为 5+12a 或 2a．