中考数学复习6：一次函数与反比例函数

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中考数学复习6：一次函数与反比例函数
知识集结
知识元
平面直角坐标系
知识讲解
平面直角坐标系及各位置点的特征
1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，记作（a ，b）.
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响.
2.各象限内的点的特点：
第一象限内的点：x＞0，y＞0；
第二象限内的点：x＜0，y＞0；
第三象限内的点：x＜0，y＜0；
第四象限内的点：x＞0，y＜0.
3.坐标轴上的点的特点：
x轴上的点的纵坐标为0；
y轴上的点的横坐标为0.
4.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点：
平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同.
5.各象限的角平分线上的点的坐标特点：
第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；
第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数.
对称和平移对点的坐标的影响
1.与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数
关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
2.用坐标表示平移：

平面直角坐标系中的距离问题
点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；
任意两点的距离为；
若AB//x轴，则的距离为；
若AB//y轴，则的距离为；
点到原点之间的距离为
平面直角坐标系中的简单应用
1.利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系，找出对应点的坐标.
2.在坐标系中平移图形，找出平移之后的坐标，形状，周长，或者面积问题.

例题精讲
平面直角坐标系
例1.
（2018∙金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（　）

A．（5，30）
B．（8，10）
C．（9，10）
D．（10，10）
【答案】C
【解析】
题干解析:
如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2-16=9，
OA=OD-AD=40-30=10，
∴P（9，10）；

例2.
（2019∙阜新）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（　）

A．（1200，）
B．（600，0）
C．（600，）
D．（1200，0）
【答案】B
【解析】
题干解析:
根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上。
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），
∴点C100的横坐标为100×6=600，
∴点C100的坐标为（600，0）．
例3.
（2019∙娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（　）

A．-2
B．-1
C．0
D．1
【答案】B
【解析】
题干解析:
点运动一个用时为÷π=2秒。
如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴CD=AC=×2=1，
∴DE=CE-CD=2-1=1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为-1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019÷4=504…3，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是-1．

例4.
（2019∙湘西州）阅读材料：设=（x1，y1），=（x2，y2），如果∥，则x1∙y2=x2∙y1，根据该材料填空，已知=（4，3），=（8，m），且∥，则m=___．
【答案】
6；
【解析】
题干解析:∵=（4，3），=（8，m），且∥，∴4m=3×8，∴m=6；
例5.
（2019∙连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为_________。

【答案】
（2，4，2）
【解析】
题干解析:根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
例6.
（2019∙百色）阅读理
已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x=，y=．
如图，已知点O为坐标原点，点A（-3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2=9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（　）

A．m2+n2=9
B．（）2+（）2=9
C．（2m+3）2+（2n）2=3
D．（2m+3）2+4n2=9
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵点A（-3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，
∴m=，n=。
∴a=2m+3，b=2n．
又a，b满足等式：a2+b2=9，
∴（2m+3）2+4n2=9．
例7.
（2019∙菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　）

A．（1010，0）
B．（1010，1）
C．（1009，0）
D．（1009，1）
【答案】C
【解析】
题干解析:
A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4=504…3，
所以A2019的坐标为（504×2+1，0），
则A2019的坐标是（1009，0）。
例8.
（2019∙广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为_________________．

【答案】
（-22017，22017）
【解析】
题干解析:由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（-2，2），A4的坐标为（-8，0），A5的坐标为（-8，-8），A6的坐标为（16，-16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为2n-2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为2n-2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n-1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为-2n-2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为-2n-2，∵2019÷6=336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n-2=-22017，纵坐标为22017，
例9.
（2019∙潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为_______．（n为正整数）

【答案】
（n，）
【解析】
题干解析:连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1=1，OP1=2，∴A1P1===，同理：A2P2==，A3P3==，……，∴P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）
函数基础知识
知识讲解
函数基本概念
1.常量和变量的定义
在一个变化过程中：发生变化的量叫做变量；不变的量叫做常量；
2.函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式子叫做函数解析式．
3.自变量x的取值范围
函数图象的识别及分析
初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，能初步学会依据函数的图象分析（或回答）该函数的某些性质（即“看图识性”）．

例题精讲
函数基础知识
例1.
（2018∙舟山）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数；（2）①由函数图象可知，当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8s。
例2.
（2019∙北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定____的长度是自变量，____的长度和____的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为_______cm．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC=2PD，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3和4.0。
例3.
（2019∙丹东）在函数y=中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】
x≤且x≠0
【解析】
题干解析:根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1-2x≥0，即x≤时，二次根式有意义．又因为0做除数无意义，所以x≠0．因此x的取值范围为x≤且x≠0．
例4.
（2019∙鸡西）在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
x≥2
【解析】
题干解析:在函数y=中，有x-2≥0，解得x≥2，故其自变量x的取值范围是x≥2．
例5.
（2019∙哈尔滨）在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
x≠；
【解析】
题干解析:函数y=中分母2x-3≠0，∴x≠；
例6.
（2019∙淄博）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
题干解析:
根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器。
例7.
（2019∙随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
例8.
（2019∙白银）如图①，在矩形ABCD中，AB