2019年北京市丰台区中考二模数学试卷

这是一份2019年北京市丰台区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，下列水平放置的几何体中，从上面看是矩形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是 1 cm），刻度尺上的“0 cm”和“6 cm”分别对应数轴上表示 2 和实数 x 的两点，那么 x 的值为
A. 3B. 4C. 5D. 6

3. 2019 年 4 月 10 日，天文学家召开全球新闻发布会，发布首次直接拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为M 87 的星系当中，距离地球 5500 万光年，质量相当于 65 亿颗太阳，太阳质量大约是 2.0×1030 千克，那么这颗黑洞的质量约是
A. 130×1030 千克B. 1.3×1038 千克C. 1.3×1040 千克D. 1.3×1041 千克

4. 在下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，其中可以看作轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，M 是正六边形 ABCDEF 的边 CD 延长线上一点，则 ∠ADM 的度数是
A. 135∘B. 120∘C. 108∘D. 60∘

6. 如果 m2+m−2=0，那么代数式 2m+1m2+1÷m+1m3 的值是
A. 2B. 22C. 2+1D. 2+2

7. 一家健身俱乐部收费标准为 180 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型办卡费用元每次收费元A类1500100B类300060C类400040
例如，购买 A 类会员年卡，一年内健身 20 次，消费 1500+100×20=3500 元，若一年内在该健身俱乐部健身的次数介于 50∼60 次之间，则最省钱的方式为
A. 购买 A 类会员年卡B. 购买 B 类会员年卡
C. 购买 C 类会员年卡D. 不购买会员年卡

8. 汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗 1 升汽油最多可行使的公里数，下图描述了A，B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．
根据图中信息，下面 4 个推断中，合理的是
①消耗 1 升汽油，A车最多可行使 5 千米；
②B车以 40 千米/小时的速度行驶 1 小时，最少消耗 4 升汽油；
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．
A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图所示的网格是正方形网格，△ABC 的面积 △DEF 的面积．（填“>”，“=”或“<”）

10. 若分式 x−2x+1 的值为 0．则 x 的值是 ．

11. 分解因式：2m3−8m= ．

12. 下图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．
那么可以推断出如果小亚实际投掷一次该品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性 “凹面向上”的可能性，（填“大于”，“等于”或“小于”）．

13. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，OE=CE，则 ∠CAD= ∘．

14. 如图，矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于点 F，交 BC 边于点 E，已知 AB=6，AD=8 ， 则 CE 的长为 ．

15. 学校向同学们征集校园便道地砖铺设的图形设计，琳琳用学校提供的完全相同的小长方形模具（如图 1）拼出了一个大长方形和一个正方形（如图 2，图 3），其中所拼正方形中间留下了一个小正方形的空白，如果所拼图形中空白的小正方形边长等于 3 cm，依据题意，列出关于 a，b 的方程组为： ．

16. 学校运动会额立定跳远和 1 分钟跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为参加这两项比赛的 10 名学生的预赛成绩：
在这 10 名学生中，同时进入两项决赛的只有 6 人，进入立定跳远决赛的有 8 人，如果知道在同时进入两项决赛的 6 人中有“3508 号”学生，没有“3307 号”生，那么 a 的值是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 下面是小明设计的“作一个含 30∘ 角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：直线 l．
求作：△ABC，使得 ∠ACB=90∘，∠ABC=30∘．
作法：如图，
①在直线 l 上任取两点 O，A；
②以点 O 为圆心，OA 长为半径画弧，交直线 l 于点 B；
③以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交弧 AB 于点 C；
④连接 AC，BC．
所以 △ABC 就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
在 ⊙O 中，AB 为直径，
∴∠ACB=90∘①，（填推理的依据）
连接 OC，
∵OA=OC=AC，
∴∠CAB=60∘，
∴∠ABC=30∘②．（填推理的依据）

18. 计算：13−1−3−π0+tan60∘+∣−3∣

19. 解分式方程：xx−2−2x2−4=1

20. 已知关于 x 的一元二次方程 m−2x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．

21. 如图，在 △ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 边的中点，连接 DA，DF，且 AD=2DF，过点 B 作 AD 的平行线交 FD 的延长线于点 E．
（1）求证：四边形 ABED 为菱形；
（2）若 BD=6，∠E=60∘，求四边形 ABEF 的面积．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，过点 P 作 ⊙O 的切线，切点为 D，连接 BD，过点 B 作射线 PD 的垂线，垂足为 C．
（1）求证：BD 平分 ∠ABC；
（2）如果 AB=6，sin∠CBD=13，求 PD 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=kx+bk≠0 与反比例函数 y=x4 的图象的一个交点为 M1,m．
（1）求 m 的值；
（2）直线 l 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 OM，设 △AOB 的面积为 S1，△MOB 的面积为 S2，若 S1≥3S2，求 k 的取值范围．

24. 如图，M 是圆中弧 AB 上一定点，P 是弦 AB 上一动点，过点 A 作射线 MP 的垂线交圆于点 C．连接 PC，已知 AB=5 cm，设 A，P 两点间的距离为 x cm，A，C 两点间的距离为 y1 cm，P，C 两点间的距离为 y2 cm．小帅根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小帅的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：

（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）综合函数图象，解决问题：在点 P 的运动过程中，当 AC 与 PC 的差为最大值时，AP 的长度约为 cm．

25. 某学校在 A，B 两个校区各有九年级学生 200 人，为了解这两个校区九年级学生的数学学业水平的情况，进行了抽样调査，过程如下，请补充完整．
收集数据 从 A，B 两个校区各随机抽取 20 名学生，进行了数学学业水平测试，测试成绩（百分制）如下：
A校区8674788176758670759075798170748087698377B校区8073708271828393778081938173887981704083
（1）整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 80 分及以上为学业水平优秀，70∼90 分为学业水平良好，60∼69 分为学业水平合格，60 分以下为学业水平不合格）
分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
校区平均数中位数众数
其中 m= ；
（2）得出结论 a．估计 B 校区九年级数学学业水平在优秀以上的学生人数为 ；
（3）b．可以推断出 校区的九年级学生的数学学业水平较高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1:y=ax2−2ax−3aa≠0 和点 A0,−3，将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，得到点 B．
（1）求点 B 的坐标；
（2）抛物线 C1 的对称轴；
（3）把抛物线 C1 沿 x 轴翻折，得到一条新抛物线 C2，抛物线 C2 与抛物线 C1 组成的图象记为 G，若图象 G 与线段 AB 恰有一个交点时，结合图象，求 a 的取值范围．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），延长 AE 到点 F．连接 BF，且 ∠AFB=45∘，G 为 DC 边上一点，且 DG=BE，连接 DF，点 F 关于直线 AB 的对称点为 M，连接 AM，BM．
（1）依据题意，补全图形．
（2）求证：∠DAG=∠MAB．
（3）用等式表示线段 BM，DF 与 AD 的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙C，给出如下定义：若 ⊙C 上存在两个点 A，B，使得点 P 在射线 BC 上，且 ∠APB=14∠ACB 0∘<∠ACB<180∘，则称 P 为 ⊙C 的依附点．
（1）当 ⊙O 的半径为 1 时，
①已知点 D−1,0，E0,−2，F2.5,0，在点 D，E，F 中，⊙O 的依附点是 ；
② 点 T 在直线 y=−x 上，若 T 为 ⊙O 的依附点，求点 T 的横坐标 t 的取值范围；
（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=−x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上的所有点都是 ⊙C 的依附点，直接写出圆心 C 的横坐标 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. D
5. B
6. A
7. C
8. C
第二部分
9. =
10. 2
11. 2mm+2m−2
12. 小于
13. 45
14. 92
15. 3a=5b,2b+a=2a+3
16. 161 或 162 或 163
第三部分
17. （1） 略；
（2） ①直径所对的圆周角是直角；
②直角三角形两个锐角互余．
18. 原式=3−1+3+3=2+23.
19.
xx+2−2=x2−4.
x2+2x−2=x2−4.
2x=−2.
x=−1.
经检验：x=−1 是原方程的解．
∴ 原方程的解是 x=−1 .
20. （1） 根据题意得 m−2≠0 且 Δ=4m2−4m−2m+3>0，
解得 m<6 且 m≠2．
（2） m 满足条件的最大整数为 5，
则原方程化为 3x2+10x+8=0，
∴3x+4x+2=0，
∴x1=−43，x2=−2．
21. （1） 在 △ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 边的中点，
∴FD∥AB，FD=12AB．
∵BE∥AD，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形．
∵AD=2DF，
∴AD=AB．
∴ 四边形 ABED 为菱形．
（2） 过点 B 作 BG⊥EF 于 G，
由题意，得 BG=33．
∴ 四边形 ABEF 的面积为 6+9×332=4523．
22. （1） 连接 OD．
∵PC 切 ⊙O 于 D，
∴OD⊥PC，
∴∠ODP=90∘．
∵BC⊥PC，
∴∠BCP=90∘．
∴∠ODP=∠BCP．
∴OD∥BC．
∴∠ODB=∠DBC．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠OBD=∠DBC，
∴BD 平分 ∠ABC．
（2） 连接 AD．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
在 Rt△ADB 中，
∵sin∠ABD=sin∠CBD=ADAB=13,
AB=6，
∴AD=2．
∴BD=42．
在 Rt△CBD 中，
∵sin∠CBD=CDDB=13，
∴CD=423．
∴BC=163．
∵OD∥BC，
∴△PDO∽△PCB．
∴PDPC=ODBC．
∴PDPD+432=3163．
∴PD=1227．
23. （1） m=4．
（2） 由题意，得 OA≥3．
①当直线 l:y=kx+b 过点 3,0 和 1,4 时，
3k+b=0,k+b=4.
解得
k=−2.
②当直线 l:y=kx+b 过点 −3,0 和 1,4 时，
−3k+b=0,k+b=4.
解得
k=1.∴−2≤k<0
或 024. （1） 2.11
（2） 略
（3） 4
25. （1）
77.5；
（2） 120；
（3） b．略．
26. （1） B2,2；
（2） 抛物线 C1 对称轴为 x=−−2a2a=1．
（3） 当抛物线 C1:y=ax2−2ax−3a 过点 A0,−3 时，
−3a=−3，解得 a=1．
当抛物线 C1:y=ax2−2ax−3a 过点 0,−2 时，
−3a=−2，解得 a=23．
由图象知，−1≤a<−23 或 2327. （1） 略．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠ADG=90∘．
∵BE=DG，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE=∠DAG．
∵ 点 F 关于直线 AB 的对称点为 M，
∴∠BAE=∠MAB．
∴∠DAG=∠MAB．
（3） BM2+DF2=2AD2．
连接 BD．
延长 MB 交 AG 的延长线于点 N．
∵∠BAD=90∘，∠DAG=∠MAB，
∴∠MAN=90∘．
由对称性可知 ∠M=∠AFB=45∘，
∴∠N=45∘．
∴∠M=∠N．
∴AM=AN．
∵AF=AM，
∴AF=AN．
∵∠BAN=∠DAF
∴△BAN≌△DAF，
∴∠N=∠AFD=45∘，
∴∠BFD=90∘．
∴BF2+DF2=BD2
∵BD=2AD，BM=BF，
∴BM2+DF2=2AD2．
28. （1） ① E，F；
② −322 （2） −4