2023年北京市丰台区中考一模数学试卷

这是一份2023年北京市丰台区中考一模数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市丰台区中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下面几何体中，主视图是圆的是（   ）
A． B． C． D．
2．习近平在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中指出：十年来，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总产量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二.将一百一十四万亿，即114000000000000用科学记数法表示为（   ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
4．下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（   ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ）
A．4 B． C． D．－4
6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ）

A． B． C． D．
7．小文掷一枚质地均匀的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是（   ）

A． B． C． D．1
8．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（   ）
①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数；
③下表中，n是m的函数；
m



1
2
3
n



6
3
2
④下图中，曲线表示y是x的函数

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④

二、填空题
9．若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_____________．
10．分解因式：__________.
11．方程的解为x＝_____．
12．如图，在中，为弦，于点C，交于点D，E，连接，，则图中存在的相等关系有_________（写出两组即可）．

13．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则k_____0（填“>”或“<”）．
14．如图，中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D，若点D到的距离为1，则_______．

15．为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图，若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为，则，，的大小关系为______（用“<”号连接）．

16．临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个，为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个．
（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为________（用含x，y的代数式表示）；
（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进_______袋．

三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示，你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
已知：如图，在中，．
求证：．

甲的方法：证明：作的平分线交于点D．

乙的方法：证明：作于点．

丙的方法：证明：取中点，连接．


21．如图，在平行四边形 中，，过点 作 交 的延长线于点 ．

(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 交 于点 ，连接 ．若 ，，求 的长．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，．
(1)求这个函数的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于0，直接写出n的取值范围．
23．“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立，小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析，下面是部分信息．
a.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：，，，，）：

b.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是：
63   65   65   65   65   66   67   68   68   68   69   69   69   69
c.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数

m
65，69
根据以上信息，回答下列问题：
(1)截止到第十六届共有_____人获得“华罗庚数学奖”；
(2)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(3)第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________________；
(4)根据以上统计图表描述“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄分布情况．
24．如图，是的直径，，是的两条弦，，过点D作的切线交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．

(1)水面的宽度_______；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系；
(2)抛物线经过点．
①当时，若，则a的值为_______；
②若对于任意的都满足，求a的取值范围．
27．在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且．

(1)如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时．
①求证：；
②用等式表示线段，，的数量关系并证明；
(2)如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系．
28．对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)在点，，，中，_____是正方形的“中称点”；
(2)的圆心在x轴上，半径为1．
①当圆心T与原点O重合时，若直线上存在的“中称点”，求m的取值范围；
②若正方形的“中称点”都是的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】根据几何体的主视图是否为圆进行判断即可．
【详解】A、主视图是长方形，故本选项不符合题意；
B、主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D、主视图是圆，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：114000000000000用科学记数法表示为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3．C
【分析】轴对称图形的概念是：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的概念是：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
4．D
【分析】根据一副三角尺的角度（）能否通过和或差求出所对应的度数即可．
【详解】解：A、，即能用三角尺画出的角，故本选项不符合题意；
B、，即能用三角尺画出的角，故本选项不符合题意；
C、，即能用三角尺画出的角，故本选项不符合题意；
D、根据的组合不得出的角，即不能用三角尺画出的角，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，掌握一副三角尺的角度有是本题的关键．
5．B
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于n的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
6．B
【分析】根据数轴得，，且，再根据实数的加法法则，减法法则和乘法法则，依次判断即可．
【详解】解：由数轴得，，且，
∴，，，故B正确，A、C、D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则和乘法法则．
7．A
【分析】直接利用简单事件的概率公式求解即可得．
【详解】解：因为掷一枚质地均匀的骰子共有6种等可能的结果，
所以第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查了求概率，熟记概率公式是解题关键．
8．C
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；
②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
9．x≠2
【详解】试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0
即：x≠2
10．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：


故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．解题的关键在于正确的分解因式．
11．﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：2x＝x−1，
解得：x＝−1，
经检验x＝−1是分式方程的解，
故答案为：-1．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．；（答案不唯一）
【分析】利用垂径定理和圆周角定理得出相等关系即可.
【详解】∵在中，为弦，，
∴，
∴，
故答案为：；（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，正确应用定理是解题的关键.
13．
【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解．
【详解】∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
14．/
【分析】作，根据角平分线的性质得到，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示，

∵点D到的距离为1，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．
15．
【分析】根据方差概念解答，方差指的是数据波动程度，数据波动程度越大，数据越不稳定，方差越大，图中该月上旬（1日至10日）的最高气温波动程度很大，中旬（11日至20日）的最高气温波动程度较小，下旬（21日至31日）的最高气温波动程度处于中间．
【详解】由图知，该月上旬（1日至10日）的最高气温波动程度很大，中旬（11日至20日）的最高气温波动程度较小，下旬（21日至31日）的最高气温波动程度处于中间，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是方差的概念，解题关键是根据图中数据判断方差的大小．
16． 40
【分析】（1）根据题意可得购进的肉粽袋，即可求解；
（2）根据题意可得购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，从而得到套装为套，套装为套，再由套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，可得，从而得到，然后根据肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，可得，即可．
【详解】解：（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽袋，
∴购进的肉粽的个数为个；
故答案为：
（2）根据题意得：购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，
∵套装豆沙粽2个；B套装肉粽2个．
∴套装为套，套装为套，
∵套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，
∴，
解得：，
∵肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，
∴，
即，
解得：，
∴豆沙粽最多购进40袋；
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据肉粽的进货数量的要求列出不等式求解验证．
17．
【分析】先根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的性质和零指数幂的意义分别化简计算各项，再进行加减计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质和零指数幂的意义等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
18．
【分析】先解每一个不等式，再求公共解集即可．
【详解】解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19．
【分析】根据题意可得，再将代数式化简，代入即可得出答案．
【详解】解：原式
，
，
，
原式．
【点睛】本题考查代数式求值，平方差公式和完全平方公式计算，利用整体代入思想是解题的关键．
20．选择甲的方法，证明见解析．
【分析】选择甲的方法，作的平分线交于点D，得，结合已知即可证明从而得到结论．
【详解】解：选择甲的方法：
证明：作的平分线交于点D．
．
在与中，


．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形判断即可；
（2）先证明是等边三角形，再根据30°的直角三角形的三边关系，利用勾股定理即可计算．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴，
在中，
【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，灵活运用相关性质是解题的关键．
22．(1)；
(2)．

【分析】（1）通过待定系数法将点，代入解析式求出的值，进而可得函数的表达式；
（2）由函数的值大于0，得到；根据，得出，即可求解
【详解】（1）函数图象经过点，，
，解得，
函数表达式为．
（2）∵函数的值大于0，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．
23．(1)30；
(2)见解析；
(3)小；他的获奖年龄比中位数69岁小；
(4)获奖年龄在范围内的人数最多，在范围内的人数最少．（答案不唯一）

【分析】（1）根据年龄范围内有3人，占比，可得总人数为30人；
（2）根据总人数30人，可得年龄在范围内有8人，再补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，中位数等于69，即可得出结论；
（4）答案不唯一，合理即可．
【详解】（1）解： ∵年龄范围内有3人，占比
（人）；
故答案为30；
（2）∵总人数30人，
∴年龄在范围内有人，
补全频数分布直方图如下：

（3）∵中位数等于69

故答案为：小；他的获奖年龄比中位数69岁小
（4）获奖年龄在范围内的人数最多，在范围内的人数最少.（答案不唯一）
【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．(1)见解析；
(2)8．

【分析】（1）连接．由切线的性质可知，根据圆周定理可得，可知，进而可得，可证得结论；
（2）连接，．先证明，，再利用，求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
是的切线，

．

．

．

．
（2）解：连接，．
是的直径，
．
．
，．
，

．
，，
．
，


．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．(1)
(2)4条．

【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
解得或，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：令，得，
∴
解得，．
可设计赛道的宽度为，
∵每条龙舟赛道宽度为，
最多可设计赛道4条．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
26．(1)，；
(2)①；②或．

【分析】（1）根据题意可得顶点坐标为，且开口向上，即可求解；
（2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解；②分两种情况结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
，，
∴顶点坐标为，且开口向上，
∵，
∴；
（2）解：①当时，点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
故答案为：
②对于任意的都满足，
点A、B、C存在如下情况：
情况1，如示意图，当时，有，
．
解得：．

情况2：如示意图；当时，可知，
，
，解得．

综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键．
27．(1)①见解析；②，证明见解析；
(2)图见解析，．

【分析】（1）连接，证明，，可得，，，从而可得答案；②过点E作交于点G，证明，，再证明，可得 ，从而可得结论；
（2）先补全图形，过点E作于N，交于M，证明，可得，由线段的和差关系可求解．
【详解】（1）①证明：连接．

四边形是正方形
，．
点E在对角线上

，
．
，．
，

．
．
②；
证明：过点E作交于点G．
，

．
，，
，
，
，，
，
．
．
（2）补全图形如下：

如图2，过点E作于N，交于M，

∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
即．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28．(1)，；
(2)①；②．

【分析】（1）由题意可知，正方形的“中称点”是以，，，为顶点的正方形内部，如图可知，符合题意；，，不符合题意；
（2）①由题意得：的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线与此圆相切于点D时，求得直线与y轴交于点；同理，相切于点F时，直线与y轴交于点，即可得到m的取值范围；
②如图，由由题意可知，正方形在内部，当经过时，解得；当经过时，解得，即可求出t的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，
正方形的“中称点”是以，，，为顶点的正方形内部，如图：
，在正方形内部，符合题意；
在正方形外，在正方形上，不符合题意；
故答案为：，；

（2）①由题意得：的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，
当直线与此圆相切于点D时，设在，
则，
，
，
，，
，
，
故直线与y轴交于点；
同理，相切于点F时，直线与y轴交于点，
直线上存在的“中称点”，
；

②如图，由由题意可知，正方形在内部，
当经过时，，
，
解得：或（舍去）

当经过时，，
，
解得：或（舍去），

综上所述，
．
【点睛】本题考查了新定义的理解，轴对称，圆的基本性质，勾股定理解直角三角形，以及一次函数图像和性质；解题的关键是理解新定义，找到点的轨迹范围．