河南省南阳市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 Word版含答案

南阳市2021年春期高中二年级期终质量评估

数学试题(理)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.考试时间120分钟，试卷满分150分.

2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区城书写的答案无效，

5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.

第I卷选择题(共60分)

一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.从装有2个白球､3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（    ）

A.至多取到1个黑球    B.至少取到1个白球

C.取到白球的个数    D.取到的球的个数

2.已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.某数列前10项是，按此规律推理，该数列中奇数项的通项公式可以是（    ）

A.    B.    C.    D.

4.某市有10000人参加期末考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布(试卷满分150分，大于等于120分为优秀)，统计结果显示数学成绩分数位于(90，105]的人数占总人数的，则此次数学考试成绩优秀的人数约为（    ）

A.4000    B.3000    C.2000    D.1000

5.设离散型随机变量可能的取值为，若的均值，则等于（    ）

A.    B.0    C.    D.

6.如图，矩形的四个顶点的坐标分别为，正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点，向矩形区域内随机投捨一点，则该点落在阴影区域内的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.二维空间中，圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)三维空间中，球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)应用合情推理，若四维空间中，特级球”的三维测度，则其四维测度（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设随机变哩，记.在研究的最大值时，某数学兴趣小组的同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的股子并实时记录点数1出现的次数.当投郑到第30次时，记录到此时点数1出现7次，若继续再进行70次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为（    ）的概率最大

A.16    B.17    C.18    D.19

9.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从到这部分电路畅通的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知直线与曲线在点处相切，则下列说法正确的是（    ）

A.的极大值为

B.的极小值为

C.在上单调递增

D.的极值存在，但随着的变化而变化

11.为了发挥“名师引领”作用，加强教育资源融合，上级将六位专家型“教学名师”分配到我市第一､第二､第三中学支教，每位专家只去一个学校，且每校至少分配一人，其中不去市一中，则不同的分配方案种数为（    ）

A.160    B.240    C.360    D.420

12.已知命题不等式恒成立，命题在上存在最小值，且(其中的导数是，若或为假命题，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

第II卷非选择题(共90分)

二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.的展开式中，项的系数为__________.

14.同学们，对于本张数学试卷的12个选择题，我们假定：某考生对选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，而对其它三个选项都没有把握，设该生选择题的总得分为分，则__________.

15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，已知取出的两卦有一卦恰有一个阴线，则另一卦至少有两个阴线的__________.

16.若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

三､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

用数学归纳法证明(其中是正整数).

18.(本题满分12分)

已知函数.

（1）当时，求表达式的展开式中二项式系数的最大值；

（2）当时，若，求.

19.(本题满分12分)

某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：

（1）若把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活夭用户”，完成下列列联表，并判断：是否有的把握认为“移动支付活夭用户”与性别有关？

（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”､视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户设抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的事件为，求.

附公式及表如下：，其中.

20.(本题满分12分)

已知函数.

（1）当时，证明：；

（2）若，对任意，总有，求的取值范围.

21.(本题满分12分)

已知函数.

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；

（2）若，曲线在点的切线也是曲线的切线，证明.

22.(本题满分12分)

某校组织学生前往电子科技产业园，参观学习某电子产品的加工制造.该电子产品由两个系统组成，其中系统由3个电子元件组成，系统由5个电子元件组成.各个电子元件能侣正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.

（1）当时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望

（2）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测.从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？

南阳市2021年春期高中二年级期末质量评估数学(理)

参考答案

一､选择题

1-12CABDCABCCBCD

二､填空题

13.    14.    15.    16.

三､解答题

17.【解析】

证明：

①当时，左边，右边.所以，当时，命题成立.

②假设当时，命题成立，即.

那么，当时，因为，所以

根据假设知，

由于，所以.

从而

这表明，当时，命题成立.

根据①②知，该命题成立.

18.【解析】

（1）由题，

所以当时，，

故，

而的展开式共有6项，

故二项式系数的最大值为

（2）当时，，

即，

由

可知，

19.【解析】

（1）由表格数据可得列联表如下：

将列联表中的数据代入公式计算，得

所以有的把握认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.

（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付

达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为.

于是，抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为：

20.【解析】

（1）证明：由题知证成立即可，

则.

当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，.

所以，即.

(当且仅当时取得等号)

（2）由（1）知：

*

由于，所以，

即，

数形结合只需成立即可.

解得.

又当，即时，(*)式取“=”，

结合，可知符合题意.

综上所述：.

21.【解析】

（1）令，得，

即函数与直线在上有两个不同交点，

因为，

当时，；

当时，，

故在上单调递增，

在上单调递减，

所以，

故当时，；

当时，

画出图象，如图所示，

可得.

（2）由题，当时，，

由，知，

故曲线在点的切线为：，

即：，

所以.

又设该切线与相切于点，则由，

易知，

即：.

于是：

从而有，

整理可得：又显然不满足，

因此成立.

22.【解析】

（1）系统需要维修的概率为，.

系统需要维修的概率为，

设为该电子产品需要维修的系统个数，

则.

的分布列为：

（2）系统3个元件至少有2个正常工作的概率为：

，

系统5个元件至少有3个正常工作的概率为：

则.

.令，解得.

所以：

当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；

当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；

当时，系统与系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，系统检测

不分次序.