河南省许昌市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案

许昌市2020—2021学年第二学期高中期末考试

高二文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．下表是某产品1~4月份销量（单位：百件）的一组数据，分析后可知，销量与月份（）之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则预测5月份的销量是（    ）

A． B． C． D．

5．函数在处的切线方程为，则（    ）

A．10 B．20 C．30 D．40

6．函数的最小正周期和最小值分别是

A．和 B．和－2 C．和 D．和－2

7．若，，，，则，，大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

9．已知双曲线的实轴长为，直线与双曲线交于、两点，、两点的横坐标之积为，则离心率=（    ）

A． B． C． D．

10．若，则“”的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C．且 D．或

11．在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（    ）

A． B． C． D．

12．数列的首项，且，令，则（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若命题“若，使得”为假命题，则实数的取值范围为______．

14．已知两条不重合的直线，和两个不重合的平面，，有下列命题：

①若，则；

②若，，则；

③若，是两条异面直线，，，，，则；

④若，，，则

其中正确的命题序号是______．

15．已知向量，，其中，记，图像关于直线对称，则函数的解析式为______．

16．已知抛物线：的焦点为，点、为抛物线上的两个动点，且，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：60分．

17．（12分）

在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若求的值；

（2）若的平分线交于，且，求的最小值．

18．（12分）

我市的教育改革轰轰烈烈，走在了全省前列.我市全面推进基础教育三年攻坚，一手抓“项目建设强基础”，一手抓“改革创新破难题”，基础建设、教育质量、师资力量、改革创新、教师待遇等方面取得了长足进步．教育是市民密切关注的热点问题，并且人们对教育都有较高的期望度．某调查机构通过不同途径进行调查，按照随机抽样的方法抽取了210名许昌市民，其中45岁以下的占抽查总人数的.所抽取的210名市民中对教育满意的共130人，其中45岁以上对许昌教育的满意的有50人．

（1）请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99.9%的把握认为市民的满意度与年龄分布有关?

（2）若按照分层抽样的方法从“感觉不满意”的随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求恰有1人是“45岁以上”的概率．

附：，其中.

19.（12分）

在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，，，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20．（12分）

在中，已知，，交于点，为中点，满足，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程：

（2）过点作直线交曲线于，两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点求出定点，若不过定点说明理由.

21．（12分）

已知函数，．

（1）若，求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为的曲线与曲线：（θ为参数）相交于，两点，曲线是以为直径的圆．

（1）求曲线的极坐标方程.

（2）若过点斜率为的直线与曲线相交于、两点，求线段中点的坐标和线段的长度.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知关于实数的不等式无解，

（1）求实数的取值组成的集合．

（2）已知，，，，且，，求的最小值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】D

10．【答案】C

11．【答案】C

【解析】设所取的两个数分别为、，则事件构成的全部区域为，

区域是边长为1的正方形区域，

事件“这两个数之和小于”构成的区域为，

如下图所示：

直线交直线于点，区域表示的是图中阴影部分区域．

则三角形区域是直角边长为的等腰直角三角形，

区域的面积为，

因此，事件“这两个数之和小于”的概率为．故选：C．

12．【答案】2022

【解析】因为，所以

所以且，所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，

所以，即

代入得

设数列的前n项和为

则

则

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【答案】[0，4）

14．【答案】②③④

15．【答案】；

16．【答案】1

【解析】如图，过，作准线的垂直，垂足分别为，，

设，，则，，

是中点，且，，都与准线垂直，则它们平行，

因此，

，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为1．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：60分．

17．【解析】（1）由正弦定理，得，即；

由余弦定理得，又，所以；

所以．

（2）由题意得，即，

所以，即；

则，

当且仅当，即，时取等号；

所以的最小值为9．

18．【解析】（1）根据题意，完成列联表得：

所以没有99.9%的把握认为市民的满意度与年龄分布有关．

（2）按照分层抽样可知，45岁以下取3人，记为，，，45岁以上抽取1人，记为，所有基本事件为，，，，，，共6种，

其中事件“恰有1人是45岁以上”包含的基本事件为：，，，共3种，

故恰有1人是“恰有1人是45岁以上”的概率．

19．【解析】

（1）证明：在正中，

在中，

又∵∴∴为的中点

∵点是的中点，∴

∵平面，∴

∵，∴

∵，∴

即

∵，∴平面，∴平面

（2）解：设到平面的距离为

在中，，∴

在中，，∴

在中，，，

∴，

又在中，，，，∴

由，且，

∴，解得

∴点到平面的距离为

20．【解析】（1）设，，，

因为，所以，即，

整理得：，即.在中，三顶点不可能共线，所以，

故曲线的方程为

（2）结论：以为直径的圆经过定点（0，-1）

若直线斜率不存在，可得圆：，

若直线斜率为0，可得圆：，解得两个圆的公共点为，

若直线斜率存在且不为0时，设其方程为，

，可得，恒成立，

设点，，

可得韦达定理：

即，以为直径的圆经过定点．

综上所述，以为直径的圆经过定点

21．【解析】（1）若，则，

∴

∴

令，则，∴

令，则，

的单调递增区间为和，单调递减区间为

注意：单调区间两端处取开或者闭均正确.

（2）

令，，

则

令，

则.

∵，∴，∴，∴，

∴在上单调递减，

∴

∴，∴在上单调递减，

∴，故

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【解析】

（1）化为直角坐标方程为①，

化为普通方程为②，

①②联立得，，所以曲线的普通方程为③.

故的极坐标方程为

（2）依已知设直线的参数方程为（为参数）

（3）并代入③式整理得

由于，所以，

所以，，，，

故的坐标为

由的几何意义知．

23．【解析】（1）设，

由于

（当且仅当时等号成立），所以函数的最小值为，

故只需，所以，

（2）由（1）知，

所以

（当且仅当时取等号）．