2019年浙教版数学八年级下学期期末专项复习卷（九）能力提高题（2）

这是一份2019年浙教版数学八年级下学期期末专项复习卷（九）能力提高题（2），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列两数中，可以用来证明命题“若两个数相乘，积为正数，则这两个数都是正数”是假命题的反例是
A. 0 和 2B. 3 和 6C. −4 和 −8D. −2 和 2

2. 若 a<3，则化简 a2−6a+9+4−a 的结果是
A. −1B. 1C. 2a−7D. 7−2a

3. 如果三角形的两边长分别是方程 x2−7x+12=0 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点的三角形的周长可能是
A. 5B. 4C. 3.5D. 3

4. 某商店4月份冰箱的销售量为 500 台，随着天气的变化，销售量增加，第二季度冰箱的销售总量达到 1655 台，设4月份、5月份、6月份平均每月冰箱销售量的增长率都为 x，则下列方程中，正确的为
A. 5001+x2=1655
B. 500+500×2x=1655
C. 500+500×3x=1655
D. 500+5001+x+5001+x2=1655

5. 某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排 21 场比赛．该校八年级共有班级
A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个

6. 在连接 A 地与 B 地的线段上有四个不同的点 D，G，K，Q．下列四幅图中的实线分别表示某人从 A 地到 B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最短的行进路线图是
A. B.
C. D.

7. 如图所示，已知 O 是等边三角形 ABC 内一 点，OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，点 D，E，F 分别在 AB，BC，CA 上．若 OD:OE:OF=1:2:3，则 S四边形ADOF:S四边形BEOD:S四边形CFOE 的值是
A. 1:2:3B. 1:4:9C. 7:8:15D. 7:8:21

8. 如图所示为一个矩形的储物柜，它被分成 4 个大小不同的正方形①②③④和一个矩形⑤，若要计算⑤的周长，则只需要知道哪个小正方形的周长?你的选择是
A. ①B. ②C. ③D. ④

9. 如图所示，在五边形 ABCDE，∠BAE=120∘，AB=BC=1，AE=DE=2，在 BC，DE 上分别找一点 M，N，使 △AMN 的周长最小，则 △AMN 的周长的最小值为
A. 26B. 27C. 42D. 5

10. 如图所示为某建筑公司的标志的设计原稿，该标志由 8 个平行四边形组成，且关于 y 轴对称，点 A1，A2，A3，A4 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，其中点 A11,2，C10,1，则这个标志的面积为
A. 8B. 16C. 32D. 64

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一个多边形截去一个角后，所得多边形的内角和为 540∘，则原多边形的边数为 ．

12. 在平面直角坐标系中，O 是原点，A 是 y 轴上的点，将射线 OA 绕点 O 旋转，使点 A 与反比例函数 y=−3x 上的点 B 重合．若点 B 的横坐标为 −3，则点 A 的纵坐标是 ．

13. 有一组数据：x1，x2，x3，⋯，xn，x1≤x2≤x3≤⋯≤xn，它们的平均数为 10，若去掉其中最大的 xn，余下数据的平均数为 9；若去掉其中最小的 x1，余下数据的平均数为 11．则 x1 关于 n 的表达式为 x1= ，xn 关于 n 的表达式为 xn= ．

14. 在平面直角坐标系中，已知 A−1,3，B2,3，C1,−3，Da,b，若以 A，B，C，D 为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点 D 的坐标为 ．

15. 若 x 表示不超过 x 的最大整数（如 334=3，−π=−4 等），根据定义计算下面算式：12−1×2+13−2×3+⋯+12014−2014×1013= ．

16. 如图所示，过反比例函数 y=3xx>0 和 y=7xx>0 的图象之间的点 P 作两坐标轴的垂线，分别交两坐标轴于点 A，B，交两函数图象于点 C，E，F，D．若四边形 OAPB 与四边形 CDEF 都是正方形，则正方形 CDEF 的面积为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. （1）解方程：x2−1=x．
（2）已知 4x2−8nx+16n 是一个关于 x 的完全平方式，求常数 n 的值．

18. 先化简，再求值：6xyx+3yxy2−4yxy+36xy，其中 x=32，y=27．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2m+1x+m2−2m−3=0 的两个不相等的实数根中，有一个根为 0，是否存在实数 k，使关于 x 的方程 x2−k−mx−k−m2+5m−2=0 的两个根 x1，x2 之差的绝对值为 1?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．

20. 已知一组数据 x1，x2，⋯，x6 的平均数为 1，方差为 53．
（1）求：x12+x22+⋯+x62；
（2）若在这组数据中加入另一个数据 x7，重新计算，平均数无变化，求这 7 个数据的方差（结果用分数表示）．

21. 如图所示，分别以矩形 ABCD 的三边 AB，BC，CD 为边作等边三角形 ABE，BCG，CDF．
（1）如图1所示，当三个等边三角形与矩形都没有重叠时，连接 GA，GE，GF．请分别判断线段 GA 与 GE，GA 与 GF 的数量关系： （只写结论，不需证明）．
（2）如图2所示，当三个等边三角形与矩形都有重叠时，连接 GA，GE，GF，（1）中结论还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
（3）如图3所示，若将题中“矩形 ABCD”改为“平行四边形 ABCD∠ABC≠90∘”，其他条件不变，（1）中结论还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

22. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．
性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图 1，在 △ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，那么 △ACD 和 △BCD 是“友好三角形”，并且 S△ACD=S△BCD．
（1）应用：如图2，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，AE=BF，AF 与 BE 交于点 O．
（i）求证：△AOB 和 △AOE 是“友好三角形”；
（ii）连接 OD，若 △AOE 和 △DOE 是“友好三角形”，求四边形 CDOF 的面积．
（2）探究：在 △ABC 中，∠A=30∘，AB=4，点 D 在线段 AB 上，连接 CD，△ACD 和 △BCD 是“友好三角形”，将 △ACD 沿 CD 所在直线翻折，得到 △AʹCD，若 △AʹCD 与 △ABC 重合部分的面积等于 △ABC 面积的 14，请直接写出 △ABC 的面积．

23. 如图所示，在平面直角坐标系中（单位：cm），B5,4，D−3,0，过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，BA⊥y 轴于点 A．点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 A→B 方向向终点 B 运动；点 Q 从点 D 出发，以 2 cm/s 的速度沿 D→C 方向向终点 C 运动，已知动点 P，Q 同时出发，当点 P，Q 有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ts．
（1）用含 t 的代数式表示：BP= cm，CQ= cm；当 t= 时，四边形 PQCB 为矩形．
（2）在点 P 运动过程中，反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象在第一象限内的一支曲线经过点 P，且与线段 BC 交于点 M．设 △POM 的面积为 Scm2，请写出 S 关于 t 的函数表达式．
（3）在点 P，Q 的运动过程中，是否存在某一时刻．使坐标平面上存在点 R，满足以 P，Q，C，R 为顶点的四边形刚好是菱形?若存在，请求出所有满足条件的 t 的值及对应的点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. D【解析】∵ a<3，
∴原式=a−32+4−a=3−a+4−a=7−2a.
3. A【解析】解方程得两边长分别为 3，4，则三角形周长大于 8，小于 14，
故连接三边中点的三角形周长大于 4 小于 7．
4. D
5. B
【解析】nn−12=21．解得 n=7．
6. B
7. D【解析】连接 OA，OB，OC，
根据条件可知 S△AOD:S△AOF=4:3，S△BOD:S△BOE=1:3，S△OCE:S△COF=2:5．
设 S△AOF=3，则 S△AOD=4，S△BOD=2，S△BOE=6，S△EOC=6，S△COF=15，
∴ S四边形ADOF:S四边形BEOD:S四边形CFPE=3+4:2+6:6+15=7:8:21．
8. C【解析】不妨设正方形①的边长为 x，正方形②的边长为 y，
则正方形③的边长为 x+y，正方形④的边长为 2x+y，
矩形⑤的长为 3x+y，宽为 y−x，
∴ 矩形⑤的周长为 23x+y+y−x=4x+y．
∵ 正方形③的周长为 4x+y，
∴ 只需要知道正方形③的周长即可计算出矩形⑤的周长．
9. B【解析】延长 AB 到 Aʹ，使 AʹB=AB，延长 AE 到 Aʺ，使 AʺE=AE．连接 AʹAʺ，则 △AMN 周长的最小值即为 AʹAʺ 的长度，根据条件可求得 AʹAʺ=27．
10. B
【解析】S平行四边形A1B1C2C1=A1B1⋅B1O=2,
S平行四边形A2B2C3C2=A2B2⋅B2O=2,
同理可知每个平行四边形的面积都为 2，故总面积为 2×8=16．
第二部分
11. 4 或 5 或 6
12. 2 或 −2
【解析】点 B 的横坐标为 −3，且点 B 在 y=−3x 上，则 B−3,1，
∴ OB=2．
∵ OA=OB，
∴ A0,2或0,−2，
则点 A 的纵坐标为 2 或 −2．
13. 11−n，n+9
【解析】由题意，知 x2+x3+⋯+xn÷n−1=11，
∴ x2+x3+⋯+xn=11n−1．
∵ x1+x2+x3+⋯+xn÷n=10，
∴ x1+11n−1÷n=10，
∴ x1=11−n．
又 ∵ x1+x2+x3+⋯+xn−1÷n−1=9，
∴ x1+x2+x3+⋯+xn−1=9n−1，
∴ 由 x1+x2+x3+⋯+xn−1+xn÷n=10，
知 9n−1+xn÷n=10，
∴ xn=n+9．
14. 4,−3；−2,−3 或 0,9
15. 2013
【解析】取 n 为正整数且大于 1，由题可得
1n−nn−1=n+nn−1n2−nn−1=n+nn−1n=1+n−1n,
∵0 ∴1<1+n−1n<2，即 1n−nn−1=1．
∴12−1×2+13−2×3+⋯+12014−2014×2013=1+1+⋯+1=2013.
16. 85
【解析】设 OA=a，PC=b，则 AP=OA=a，FP=PC=PD=EP=b，
∴ Ca,a−b，Ea,a+b，
代入函数得 aa−b=3, ⋯⋯①aa+b=7, ⋯⋯②
∵ a≠0，
∴ ①÷② 得 a−ba+b=37，
化简得 b=25a, ⋯⋯③
把 ③ 代入 ① 得 35a2=3，
解得 a=5 或 a=−5（舍去）．
∴ 解得 a=5,b=255.
∴ S正方形CDEF=2b2=2×2552=85．
第三部分
17. （1） 整理得 x2−x−1=0．
a=1，b=−1，c=−1．
Δ=b2−4ac=1+4=5>0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以
x=−b±b2−4ac2a=1±52.
所以
x1=1+52,x2=1−52.
（2） 由题意得 4x2−8nx+16n=0 有两个相等的解，
所以 Δ=−8n2−4×4×16n=0，
解得 n1=0，n2=4．
18. 原式=6xy+3xy−4xy−6xy=−xy.
当 x=32，y=27 时，
原式=−32×27=−922.
19. ∵ x2−2m+1x+m2−2m−3=0 有两个不相等的实数根，
∴ Δ=4m+12−4m2−2m−3=16m+16>0，即 m>−1．
∵ 该方程有一个根为 0，
∴ 把 x=0 代入方程得 m2−2m−3=0，解得 m=3 或 m=−1（舍去）．
∴ x2−k−mx−k−m2+5m−2=0 可转化为 x2−k−3x−k+4=0．
∵ ∣x1−x2∣=1，
∴ x1−x22=1．
∴x1−x22=x1+x22−4x1x2=k−32+4k−4=k2−2k−7=1.
解得 k=4 或 k=−2．
把 k 的值代入 Δ，Δ=k−32−44−k=k2−2k−7=1>0 成立，
∴ k=4 或 k=−2．
∴ 存在 k=4 或 k=−2，使方程的两根之差的绝对值为 1．
20. （1） 由题意 16x1−12+x2−12+⋯+x6−12=53，
∴x12+x22+⋯+x62−2x1+x2+⋯+x6+6=10，
∴x12+x22+⋯+x62=16．
（2） 易知，x7=1，
∴ 这 7 个数的方差为 17x1−12+x2−12+⋯+x6−12+1−12=107．
21. （1） GA=GE，GA=GF
（2） （1）中结论仍成立，理由如下：在矩形 ABCD 中，∠ABC=∠BCD=90∘，AB=CD，在等边三角形 ABE，BCG，CDF 中，∠ABE=∠GBC=∠DCF=60∘，AB=BE，CD=CF，GB=CG，
∴∠GBE=∠ABE+∠GBC−∠ABC=60∘+60∘−90∘=30∘．
同理，∠DCG=∠GCF=∠FCB=30∘．
在 △ABG 和 △EBG 中，
∵AB=EB，∠ABG=∠GBE，BG=BG，
∴△ABG≌△EBG．
∴GA=GE．
在 △ABG 和 △CFG 中，
∵AB=FC，∠ABG=∠FCG，BG=CG，
∴△ABG≌△FCG．
∴GA=GF．
∴GA=GE，GA=GF．
（3） GA=GF 仍成立，GA=GE 不成立．理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，∠DCB+∠ABC=180∘．
∵△ABE，△BCG，△CDF 都是等边三角形，
∴CD=CF=AB，GB=GC，∠DCF=∠CBG=∠BCG=∠ABE=60∘．
∴∠ABG=∠ABC+∠CBG=∠ABC+60∘，
而
∠FCG=360∘−∠DCF−∠BCG−∠BCD=360∘−60∘−60∘−180∘−∠ABC=∠ABC+60∘,
∴∠ABG=∠FCG，
∴△ABG≌△FCGSAS．
∴GA=GF．
又 ∵∠ABC≠90∘，
∴∠ABG≠∠EBG，△ABG 与 △EBG 不全等．
∴GA≠GE．
22. （1） （i）∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠BFO．
∵∠AOE=∠FOB，AE=BF，
∴△AOE≌△FOB．
∴EO=BO．
∴△AOE 与 △AOB 是“友好三角形”．
（ii）∵△AOE 与 △DOE 是“友好三角形”，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=12AD=3．
∵△AOB 与 △AOE 是“友好三角形”，
∴S△AOB=S△AOE．
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB．
∴S△AOD=S△ABF．
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD−2S△ABF=4×6−2×12×4×3=12．
（2） 2 或 23
【解析】分两种情况，
（1）如图所示，
∵ S△ACD=S△BCD，
∴ AD=BD=12AB，
∵ 沿 CD 折叠 A 和 Aʹ 重合，
∴ AD=AʹD=12AB=12×4=2，
∵ △AʹCD 和 △ABC 重合部分的面积等于 △ABC 面积的 14，
∴ S△DOC=14S△ABC=12S△BDC=12S△ADC=12S△AʹDC，
∴ DO=OB，AʹO=CO，
∴ 四边形 AʹDCB 是平行四边形，
∴ BC=AʹD=2，
过 B 作 BM⊥AC 于 M，
∵ AB=4，∠BAC=30∘，
∴ BM=12AB=2=BC，
即 C 和 M 重合，
∴ ∠ACB=90∘，
由勾股定理得：AC=42−22=23，
∴ △ABC 的面积是 12×BC×AC=12×2×23=23；
（2）如图，
∵ S△ACD=S△BCD，
∴ AD=BD=12AB，
∵ 沿 CD 折叠 A 和 Aʹ 重合，
∴ AD=AʹD=12AB=12×4=2，
∵ △AʹCD 与 △ABC 重合部分的面积等于 △ABC 面积的 14，
∴ S△DOC=14S△ABC=12S△BDC=12S△ADC=12S△AʹDC，
∴ DO=OAʹ，BO=CO，
∴ 四边形 AʹBCD 是平行四边形，
∴ AʹC=BD=2，
过 C 作 CQ⊥AʹD 于 Q，
∵ AʹC=2，∠DAʹC=∠BAC=30∘，
∴ CQ=12AʹC=1，
∴ S△ABC=2S△ADC=2S△AʹDC=2×12×AʹD×CQ=2×12×2×1=2；
即 S△ABC 的面积是 2 或 23．
23. （1） 5−t；8−2t；3
（2） 把 Pt,4 代入 y=kx，得 k=4t，
所以 y=4tx．
故 M5,4t5，
S=S矩形AOCB−S△OAP−S△OCM−S△BPM=20−12×4t−12×5×4t5−12×5−t4−4t5=10−2t250≤t≤4.
（3） 作 PH⊥x 轴于点 H，则 QH=8−2t−5−t=3−t．
①如图1所示，
若 PQ=PC，则 QC=2HC=2PB，得 8−2t=25−t，此方程无解，点 R 不存在．
②如图2所示，
若 PQ=QC，PQ2=3−t2+42，QC=8−2t，得 3−t2+42=8−2t2，化简得 3t2−26t+39=0，解得 t=13±2133．
因为 0≤t≤4，
所以 t=13−2133，对应点 R 的坐标为 11+2133,4．
③如图3所示，
若 PC=QC，PC2=5−t2+42，QC=8−2t，得 5−t2+42=8−2t2，化简得 3t2−22t+23=0，解得 t=11±2133，
因为 0≤t≤4，
所以 t=11−2133，对应点 R 的坐标为 3−213,4．