2018_2019学年南京市秦淮区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年南京市秦淮区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2−x−2a=0 的一个解，则 a 的值为
A. 0B. −1C. 1D. 2

2. 连续二次抛掷一枚硬币，二次正面朝上的概率是
A. 1B. 12C. 14D. 34

3. 抛物线 y=2x2+1 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是
A. y=2x−12+3B. y=2x+12−3
C. y=2x−12−1D. y=3x−12+1

4. 如图，⊙O 中，直径 CD=10 cm，弦 AB⊥CD 于点 M，OM:MD=3:2，则 AB 的长是
A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 8 cm

5. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
① a，b 同号；
②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；
③ 4a+b=0；
④当 −1其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

6. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度分别沿 A→B→C 和 A→D→C 的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s），四边形 PBDQ 的面积为 y（单位：cm2），则 y 与 x（0≤x≤8）之间的函数关系可以用图象表示为
A. B.
C. D.

二、填空题（共10小题；共50分）
7. 已知 xy=35，则 y+xy−x= ．

8. 已知方程 x2+mx−3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ．

9. 晨光中学规定学生的体育成绩满分为 100 分，其中早操及体育课外活动占 20%，期中考试成绩占 30%，期末考试成绩占 50%，小惠的三项成绩依次是 95 分，90 分，85 分，小惠这学期的体育成绩为 分．

10. 据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适．因此夏天使用空调时，如果人的体温按 36.5 度算，那么室内温度约调到 ∘C 最适合．（结果保留到个位数字）

11. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 是 ⊙O 上的两点，若 ∠ABD=62∘，则 ∠BCD= ．

12. 2014 年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为 24 cm 的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为 10 cm，那么这张扇形纸的面积是 cm2．

13. 抛物线的部分图象如图所示，则当 y<0 时，x 的取值范围是 ．

14. 如表是二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的自变量 x 与函数值 y 的对应关系，一元二次方程 ax2+bx+c=310a≠0 的一个解 x 的取值范围是 ．
+bx+c−0.3−

15. 如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为 12 m 时，拱顶离水面 4 m，当水面下降 3 m 时，水面的宽为 m．

16. 如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE⊥EF，EF⊥FC，并且 AE=3，EF=4，FC=5，则正方形 ABCD 的外接圆的半径是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 解下列方程：
（1）x2−4x−1=0；
（2）x2x−3=3−2x．

18. 中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选 5 名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
平均数中位数众数方差甲班8.58.5 乙班8.5 101.6
（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．

19. 不透明布袋内装有形状、大小、质地完全相同的 4 个小球，分别标有数字 1，2，3，4．
（1）从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字不为 2 的概率；
（2）从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 x，不将取出的小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为 y，这样就确定点 E 的一个坐标为 x,y，求点 E 落在直线 y=x+1 上的概率．

20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的 △ABC 就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点 C 的坐标为 0,−1．
（1）在如图的方格纸中把 △ABC 以点 O 为位似中心扩大，使放大前后的位似比为 1:2，画出 △A1B1C1（△ABC 与 △A1B1C1 在位似中心 O 点的两侧，点 A，B，C 的对应点分别是点 A1，B1，C1）．
（2）利用方格纸标出 △A1B1C1 外接圆的圆心 P，点 P 点坐标是 ，⊙P 的半径 = ．（保留根号）

21. 已知二次函数 y=ax2+bx−3 的图象经过点 A2,−3，B−1,0．
（1）求二次函数的解析式；
（2）要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴向上平移 个单位．

22. 如图，在等边 △ABC 中，点 P 为 BC 上一点，点 D 为 AC 上一点，且 ∠APD=60∘，BP=1，CD=23．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）求 △ABC 的边长．

23. 某学习小组在研究函数 y=16x3−2x 的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
x⋯−4−3.5−3−2−101233.54⋯y⋯−83−74832831160−116−83−3274883⋯
（1）请补全函数图象；
（2）方程 16x3−2x=−2 实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．

24. 如图，身高 1.6 米的小明站在距路灯底部 O 点 10 米的点 A 处，他的身高（线段 AB）在路灯下的影子为线段 AM，已知路灯灯杆 OQ 垂直于路面．
（1）在 OQ 上画出表示路灯灯泡位置的点 P；
（2）小明沿 AO 方向前进到点 C，请画出此时表示小明影子的线段 CN；
（3）若 AM=2.5 米，求路灯灯泡 P 到地面的距离．

25. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 20 元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：y=−2x+8020≤x≤40．设这种健身球每天的销售利润为 w 元．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于 28 元，该商店销售这种健身球每天要获得 150 元的销售利润，销售单价应定为多少元?

26. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，PD 切 ⊙O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DE⊥PO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB 是 ⊙O 的切线．
（2）若 PB=3，DB=4，求 DE 的长．

27. 如图，已知抛物线 y=−34x2+bx+c 与坐标轴交于 A，B，C 三点，点 A 的横坐标为 −1，过点 C0,3 的直线 y=−34tx+3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，PH⊥OB 于点 H．若 PB=5t，且 0（1）确定 b，c 的值；
（2）写出点 B，Q，P 的坐标（其中 Q，P 用含 t 的式子表示）；
（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使 △PQB 为等腰三角形?若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】∵x=2 是方程的解，
∴4−2−2a=0，
∴a=1．
2. C
3. C【解析】根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线 y=2x2+1 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是 y=2x−12−1．
4. D【解析】连接 OA，如图所示：
∵AB⊥CD，
∴∠OMA=90∘，AM=BM=12AB，
∵CD=10 cm，OM:MD=3:2，
∴OA=OD=5 cm，OM=3 cm，
∴AM=OA2−OM2=52−32=4cm，
∴AB=2AM=8 cm．
5. C
【解析】∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 对称轴 x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a<0，
∴a，b 异号，故①错误；
∵ 对称轴 x=2，
∴x=1 和 x=3 时，函数值相等，故②正确；
∵ 对称轴 x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a，
∴4a+b=0，故③正确；
∵ 抛物线与 x 轴交于 −1,0，对称轴为 x=2，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 5,0，
∴ 当 −1故正确的结论为②③④三个．
6. B【解析】① 0 ∵ 正方形的边长为 4 cm，
∴ y=S△ABD−S△APQ=12×4×4−12⋅x⋅x=−12x2+8，
② 4 y=S△BCD−S△CPQ=12×4×4−12⋅8−x⋅8−x=−128−x2+8，
∴ y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
第二部分
7. 4
【解析】x=35y，y+xy−x=y+35yy−35y=4．
8. −3
【解析】设方程的另一根为 x1，
根据根与系数的关系可得：x1⋅1=−3，
解得 x1=−3．
9. 88.5
【解析】小惠这学期的体育成绩=95×20%+90×30%+85×50%=88.5（分）．
10. 23
【解析】36.5∘C×0.618=23∘C．
所以如果人的体温按 36.5 度算，那么室内温度约调到 23∘C 最适合．
11. 28∘
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABD=62∘，
∴∠DAB=90∘−∠ABD=28∘，
∴∠BCD=∠DAB=28∘．
12. 240π
【解析】∵ 圆锥的底面周长为 20π cm2，
∴ 扇形纸片的面积 =12×20π×24=240π cm2．
13. x<−1 或 x>3
14. 6.2【解析】由表格中的数据看出 −0.1 和 0.2 更接近于 0，故 x 应取对应的范围 6.215. 67
【解析】以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的解析式为 y=ax2，
∵ 点 6,−4 在函数图象上，
∴−4=a×62，得 a=−19，
∴y=−19x2，
当 y=−7 时，−7=−19x2，
得 x1=−37，x2=37，
∴ 当水面下降 3 m 时，水面的宽为：37−−37=67 m．
16. 25
【解析】连接 AC，设 AC 与 EF 交于点 M．
∵AE⊥EF，EF⊥FC，
∴∠E=∠F=90∘，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴AECF=EMFM，
∵AE=3，EF=4，FC=5，
∴EMFM=35，
∴EM=1.5，FM=2.5，
在 Rt△AEM 中，AM=AE2+EM2=352，
在 Rt△FCM 中，CM=CF2+FM2=552，
∴AC=45，
∴ 正方形 ABCD 的外接圆的半径是 25．
第三部分
17. （1） 方程整理得：
x2−4x=1.
配方得：
x2−4x+4=5.
即
x−22=5.
开方得：
x−2=±5.
解得：
x1=2+5,x2=2−5.
（2） 方程整理得：
x2x−3+2x−3=0.
分解因式得：
2x−3x+1=0.
解得：
x1=1.5,x2=−1.
18. （1） 8.5；0.7；8
【解析】甲的众数为：8.5 分，
方差为：158.5−8.52+7.5−8.52+8−8.52+8.5−8.52+10−8.52=0.7 分，
乙的中位数是：8 分．
（2） 从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
19. （1） P=34．
（2）
满足条件的点有：1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3，共 12 个，
其中落在直线 y=x+1 上的有 1,2，2,3，3,4 三个，
∴P=312=14．
20. （1） 如图，△A1B1C1 为所作；
（2） 3,1；10
【解析】点 P 的坐标为 3,1，
PA1=12+32=10，即 ⊙P 的半径为 10．
21. （1） 由已知，有 4a+2b−3=−3,a−b−3=0, 即 4a+2b=0,a−b=3, 解得 a=1,b=−2,
∴ 所求的二次函数的解析式为 y=x2−2x−3．
（2） 4
【解析】∵−b2a=1，4ac−b24a=−4，
∴ 顶点坐标为 1,−4．
∵ 二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，
∴ 应把图象沿 y 轴向上平移 4 个单位．
22. （1） ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60∘，
∴∠BAP+∠APB=180∘−60∘=120∘，
∵∠APD=60∘，
∴∠APB+∠DPC=180∘−60∘=120∘，
∴∠BAP=∠DPC，
即 ∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD．
（2） 设 BC=x，
∵△ABP∽△PCD，
∴ABCP=BPCD，
∵CD=23，CP=BC−BP=x−1，BP=1，
即 xx−1=123，
解得：x=3．
即 △ABC 的边长为 3．
23. （1） 补全函数图象如图所示．
（2） 3
【解析】如图 1，作出直线 y=−2 的图象，
由图象知，函数 y=16x3−2x 的图象和直线 y=−2 有三个交点，
∴ 方程 16x3−2x=−2 实数根的个数为 3．
（3） 由图象知：
1 、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值；
2 、此函数在 x<−2 和 x>2，y 随 x 的增大而增大；
3 、此函数图象过原点；
4 、此函数图象关于原点对称．
24. （1） 如图：
（2） 如图：
（3） ∵AB∥OP，
∴△MAB∽△MOP，
∴ABOP=AMOM，即 1.6OP=2.510+2.5，
解得 OP=8．
即路灯灯泡 P 到地面的距离是 8 米．
25. （1） 根据题意可得：
w=x−20⋅y=x−20−2x+80=−2x2+120x−1600,
w 与 x 的函数关系式为：w=−2x2+120x−1600．
（2） 根据题意可得：w=−2x2+120x−1600=−2x−302+200，
∵−2<0，
∴ 当 x=30 时，w 有最大值．w 最大值为 200．
答：销售单价定为 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元．
（3） 当 w=150 时，可得方程 −2x−302+200=150．
解得 x1=25，x2=35．
∵35>28，
∴x2=35 不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种健身球每天想要获得 150 元的销售利润，销售单价定为 25 元．
26. （1） 因为 ∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
所以 ∠E=∠PBO=90゜，
所以 PB 是 ⊙O 的切线．
（2） 因为 PB=3，DB=4，
所以 PD=5．
设 ⊙O 的半径的半径是 r，连接 OC．
因为 PD 切 ⊙O 于点 C，
所以 OC⊥PD．
所以 CD2+OC2=OD2，
所以 22+r2=4−r2，
所以 r=32．
所以 PO=325．
因为 △DEP∽△OBP．
所以 DEOB=DPOP．
解得 DE=5．
27. （1） 已知抛物线过 A−1,0，C0,3，
则有：−34−b+c=0,c=3, 解得 b=94,c=3, 因此 b=94，c=3．
（2） 令抛物线的解析式中 y=0，则有 −34x2+94x+3=0，
解得 x=−1 或 x=4，
∴B4,0，OB=4，
因此 BC=5，
在直角三角形 OBC 中，OB=4，OC=3，BC=5，
∴sin∠CBO=35，cs∠CBO=45，
在直角三角形 BHP 中，BP=5t，
因此 PH=3t，BH=4t；
∴OH=OB−BH=4−4t，
因此 P4−4t,3t．
令直线的解析式中 y=0，则有 0=−34tx+3，x=4t，
∴Q4t,0．
（3） 存在 t 的值，有以下三种情况：
①如图 1，当 PQ=PB 时，
∵PH⊥OB，则 QH=HB，
∴4−4t−4t=4−4−4t，
∴t=13；
②当 PB=QB 得 4−4t=5t，
∴t=49；
③过点 Q 作 QD⊥BC 于点 D，
当 PQ=QB 时，在 Rt△PHQ 中有 QH2+PH2=PQ2，
∴8t−42+3t2=4−4t2，
∴57t2−32t=0，
∴t=3257，t=0（舍去），
又 ∵0 ∴ 当 t=13或49或3257 时，△PQB 为等腰三角形．